[math]\text{Gegeben seien die Polynomfunktionen}[/math][br][br][math]\begin{array}{c}g_{1}(x)=x\left(x^{2}+1\right), \quad g_{2}(x)=x^{2}-1, \quad g_{3}(x)=7, \quad g_{4}(x)=x\left(x^{2}-5 x-1\right) \\ h_{1}(x)=x^{2}, \quad h_{2}(x)=3 x^{2}+3 x+3, \quad h_{3}(x)=9\end{array}[/math][br][br][math]Dann \; ist\; \mathcal{A}=\left(g_{1}, g_{2}, g_{3}, g_{4}\right) [/math] [br][math]\text{eine Basis des Vektorraums der (höchstens) kubischen Polynomfunktionen}[/math][br][br][math]\large \mathcal{P}_{3}=\left\{f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \mid f(x)=\sum \limits_{i=0}^{3} a_{i} x^{i}, a_{i} \in \mathbb{R}\right\}[/math][br][br][math] und\; \mathcal{B} \text{ eine Basis des Vektorraums der quadratischen Polynomfunktionen} \mathcal{P}_{2} \; \text{(siehe Tutorium 5, A1 oder Vorlesung). Sei}[/math][br][br][math]\large f: \mathcal{P}_{3} \longrightarrow \mathcal{P}_{2}, \quad \sum \limits_{i=0}^{3} a_{i} x^{i} \longmapsto \sum \limits_{i=1}^{3} i a_{i} x^{i-1}[/math][br][br][math]\text{Weiter seien }\mathcal{S}_{2}=\left(1, x, x^{2}\right) \; bzw. \; \mathcal{S}_{3}=\left(1, x, x^{2}, x^{3}\right) \text{die Standardbasis von } \mathcal{P}_{2} \; bzw.\; \mathcal{P}_{3} . [/math][br][br][math]Bestimmen \;Sie [/math][br][br][math]\large M_{\mathcal{S}_{2}}^{\mathcal{S}_{3}}(f), M_{\mathcal{S}_{2}}^{\mathcal{A}}(f), M_{\mathcal{B}}^{S_{3}} \; und \; M_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}}(f) [/math]

Technische Hinweise[br][sub]A[/sub]id[sub]B[/sub] Basistransformation B nach A - schreibweise I[sub]A[/sub]ID[sub]B[/sub] [br][sub]B[/sub]X Vektor zur Basis B [br]Abbildung f zur Basis A - Matrixschreibweise [sub]A[/sub]M[sub]A[/sub] ==> f_[sub]A[/sub]M[sub]A[br][/sub]Zeile (4)(5) ergänze für Coefficients einen dummy Summand a für die höchste Potenz damit die Koeffezientenvektoren gleiche Länge haben![br][br]Die Scheibweise erzwingt das gleiche Basisindizes aufeinander treffen: [br][sub]A[/sub]id[b][sub]B[/sub] [sub]B[/sub][/b]X ... [sub]A[/sub]id[b][sub]A[/sub] [sub]A[/sub][/b]M[sub]B[/sub] ==> I[sub]A[/sub]ID[b][sub]A[/sub][/b] f[b][sub]A[/sub][/b]M[sub]B [/sub][br]