[b]A PARTIR DE LA FÓRMULA SENO SUMA DE ÁNGULOS[br][br][/b]RECORDEMOS ALGUNAS IDENTIDADES :[br][br][math]Sen\left(2x\right)=2Sen\left(x\right)Cos\left(x\right)[/math][br][br][math]Cos\left(2x\right)=Cos^2\left(x\right)-Sen^2\left(x\right)[/math][br][url=https://scontent.flim2-2.fna.fbcdn.net/v/t39.30808-6/280388193_404425088358567_3901373735785754293_n.jpg?stp=dst-jpg_s600x600&_nc_cat=106&ccb=1-7&_nc_sid=730e14&_nc_eui2=AeHOeaHnn9_x5iYd0T8EQKD_ChdVGaRVITMKF1UZpFUhM_mTOdboJDT3e0mHikYSE0_45Oh67b-yttAeow7k7HUF&_nc_ohc=qzrtDd6EH0AAX_MwdTC&_nc_ht=scontent.flim2-2.fna&oh=00_AT_XraQcP1fJm8z6n6VZRoO9kEh2OI9z-Z-Kcnln1_ShKA&oe=62D8C1B2][br][math]Tan\left(2x\right)=\frac{2Tan\left(x\right)}{1-Tan^2\left(x\right)}[/math][br][br][math]Sen\left(x+y\right)=Sen\left(x\right)Cos\left(y\right)+Sen\left(y\right)Cos\left(x\right)[/math][br][br][math]Cos\left(x+y\right)=Cos\left(x+y\right)=Cos\left(x\right)Cos\left(y\right)-Sen\left(x\right)Sen\left(y\right)[/math][br][br][/url][url=https://scontent.flim2-2.fna.fbcdn.net/v/t39.30808-6/280388193_404425088358567_3901373735785754293_n.jpg?stp=dst-jpg_s600x600&_nc_cat=106&ccb=1-7&_nc_sid=730e14&_nc_eui2=AeHOeaHnn9_x5iYd0T8EQKD_ChdVGaRVITMKF1UZpFUhM_mTOdboJDT3e0mHikYSE0_45Oh67b-yttAeow7k7HUF&_nc_ohc=qzrtDd6EH0AAX_MwdTC&_nc_ht=scontent.flim2-2.fna&oh=00_AT_XraQcP1fJm8z6n6VZRoO9kEh2OI9z-Z-Kcnln1_ShKA&oe=62D8C1B2][math]Tan\left(x+y\right)=\frac{Tan\left(x\right)+Tan\left(y\right)}{1-Tan\left(x\right)Tan\left(y\right)}[/math][/url][br][br]APLICACIÓN :[br][br][b]- Seno del Ángulo Triple [/b][br][br][math]Sen\left(3x\right)=Sen\left(2x+x\right)=Sen\left(2x\right)Cos\left(x\right)+Sen\left(x\right)Cos\left(2x\right)[/math][br][br][math]Sen\left(3x\right)=2Sen\left(x\right)Cos\left(x\right)Cos\left(x\right)+\left(Sen\left(x\right)\right)\left(Cos^2\left(x\right)-Sen^2\left(x\right)\right)[/math][br][br][math]Sen\left(3x\right)=2Sen\left(x\right)Cos^2\left(x\right)+Sen\left(x\right)Cos^2\left(x\right)-Sen^3\left(x\right)=3Sen\left(x\right)Cos^2\left(x\right)-Sen^3\left(x\right)[/math][br][br][math]Sen\left(3x\right)=3Sen\left(x\right)\left(1-Sen^2\left(x\right)\right)-sen^3\left(x\right)=3Sen\left(x\right)-3Sen^3\left(x\right)-Sen^3\left(x\right)[/math][br][br][math]Sen\left(3x\right)=3Sen\left(x\right)-4Sen^3\left(x\right)[/math] [br][br][b]- Coseno del Ángulo Triple [br][br][math]Cos\left(3x\right)=Cos\left(2x+x\right)=Cos\left(2x\right)Cos\left(x\right)-Sen\left(2x\right)Sen\left(x\right)[/math][br][br][math]Cos\left(3x\right)=\left(Cos^2\left(x\right)-Sen^2\left(x\right)\right)Cos\left(x\right)-\left(2Sen\left(x\right)Cos\left(x\right)\right)Sen\left(x\right)[/math][br][/b][br][math]Cos\left(3x\right)=Cos^3\left(x\right)-Sen^2\left(x\right)Cos\left(x\right)-2Sen^2\left(x\right)Cos\left(x\right)=Cos^3\left(x\right)-3Sen^2\left(x\right)Cos\left(x\right)[/math][br][br][math]Cos\left(3x\right)=Cos^3\left(x\right)+3Cos\left(x\right)\left(Cos^2\left(x\right)-1\right)=Cos^3\left(x\right)+3Cos^3\left(x\right)-3Cos\left(x\right)[/math][br][br][math]Cos\left(3x\right)=4Cos^3\left(x\right)-3Cos\left(x\right)[/math][br][br][b]- Tangente del Ángulo Triple[br][/b][br][math]Tan\left(3x\right)=\frac{Sen\left(3x\right)}{Cos\left(3x\right)}=\frac{3Sen\left(x\right)-4Sen^3\left(x\right)}{4Cos^3\left(x\right)-3Cos\left(x\right)}[/math][br][br][math]Tan\left(3x\right)=\frac{3-4Sen^2\left(x\right)}{4Cos^2\left(x\right)-3}Tan\left(x\right)=\frac{3Sec^2\left(x\right)-4Tan^2\left(x\right)}{4-3Sec^2\left(x\right)}Tan\left(x\right)=\frac{3\left(Tan^2\left(x\right)+1\right)-4Tan^2\left(x\right)}{4-3\left(Tan^2\left(x\right)+1\right)}Tan\left(x\right)[/math][br][br][br][math]Tan\left(3x\right)=\frac{3Tan^2\left(x\right)+3-4Tan^2\left(x\right)}{4-3Tan^2\left(x\right)-3}Tan\left(x\right)=\frac{3-Tan^2\left(x\right)}{1-3Tan^2\left(x\right)}Tan\left(x\right)[/math][br][br][math]Tan\left(3x\right)=\frac{3Tan\left(x\right)-Tan^3\left(x\right)}{1-3Tan^2\left(x\right)}[/math][br][br]Hasta aquí hemos hallado las expresiones más comunes del ángulo triple cada identidad relacionada con su respectiva 3ra parte de ángulo. Si bien esta es la forma más obvia obtener las expresiones mediante la funciones trigonométricas existe un método más simple a partir [b]La Ecuación de Moivre.[/b]

[b]- Introducción[br][br][/b]Los trabajos de Euler y Moivre están íntimamente relacionados la[b] [url=https://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_de_De_Moivre]ecuación de moivre[/url][/b] es consecuencia directa de la [b][url=https://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_de_Euler]fórmula de euler[/url].[br][/b]Al desarrollar la parte izquierda de la igualdad y comparando la parte real con la imaginaria, es posible obtener expresiones muy útiles para [math]Cos\left(nx\right)[/math] y [math]Sen\left(nx\right)[/math] en términos de [math]Cos\left(x\right)[/math] y [math]Sen\left(x\right)[/math]. Además, esta fórmula puede ser utilizada para encontrar expresiones explícitas para la n-ésimo múltiplo del ángulo[br][b][br]- Desarrollo para n=3[br][br][math]Cos\left(3x\right)+iSen\left(3x\right)=\left(Cos\left(x\right)+iSen\left(x\right)\right)^3[/math][br][br][math]\left(Cos\left(x\right)+iSen\left(x\right)\right)^3=Cos^3\left(x\right)+3iSen\left(x\right)Cos^2\left(x\right)+3\left(iSen\left(x\right)\right)^2Cos\left(x\right)+\left(iSen\left(x\right)\right)^3[/math][br][br][math]Cos\left(3x\right)+iSen\left(3x\right)=Cos^3\left(x\right)+3iSen\left(x\right)Cos^2\left(x\right)-3Sen\left(x\right)^2Cos\left(x\right)-iSen\left(x\right)^3[/math][br][br]- Parte Imaginaria Función Seno 3x[br][br][math]iSen\left(3x\right)=3iSen\left(x\right)Cos^2\left(x\right)-iSen\left(x\right)^3[/math][br][/b][br][math]Sen\left(3x\right)=3Sen\left(x\right)Cos^2\left(x\right)-Sen\left(x\right)^3[/math][br][br][math]Sen\left(3x\right)=3Sen\left(x\right)\left(1-Sen^2\left(x\right)\right)-sen^3\left(x\right)=3Sen\left(x\right)-3Sen^3\left(x\right)-Sen^3\left(x\right)[/math][br][br][math]Sen\left(3x\right)=3Sen\left(x\right)-4Sen^3\left(x\right)[/math] [br][br][b]- Parte Real Función Coseno 3x[/b][br][br][math]Cos\left(3x\right)=Cos^3\left(x\right)-3Sen^2\left(x\right)Cos\left(x\right)[/math][br][br][math]Cos\left(3x\right)=Cos^3\left(x\right)+3Cos\left(x\right)\left(Cos^2\left(x\right)-1\right)=Cos^3\left(x\right)+3Cos^3\left(x\right)-3Cos\left(x\right)[/math][br][br][math]Cos\left(3x\right)=4Cos^3\left(x\right)-3Cos\left(x\right)[/math]

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