kubische Funktionen: anders betrachtet
Das Schaubild einer kubischen Funktion ist eine Kurve 3. Ordnung.
Zugleich ist das Schaubild auch eine Kurve 3. Klasse: das ist eine Kurve mit der Eigenschaft:
in einem offenen Bereich gehen durch jeden Punkt genau 3 Tangenten an die Kurve!
In welchem Bereich ist das für das Schaubild oben der Fall?
Kurven 3. Klasse besitzen eine interessante Eigenschaften:
In dem angesprochenen offenen Bereich erzeugen die Kurven-Tangenten ein 6-Eck-Gewebe!
Statt umständlich zu erklären, was ein 6-Eck-Gewebe ist, geben wir hier ein Rezept an, wie man ein solches Gewebe
konstruiert:
Man lasse das Schaubild einer kubischen Funktion zeichnen und suche eine Gegend,
in welcher 3 Kurven-Tangenten durch einen vorgegebene Punkt zu erwarten sind.
In geogebra ist dazu die kubische Gleichung zu lösen (in ).
Wir verwendeten den eigentlich nur für die CAS-Ansicht vorgesehenen geogebra-Befehl Lösungen[Gleichung]
und erhielten eine Liste mit 3 -Werten. Eingesetzt ergaben sich 3 Tangenten-Berührpunkte ,
verbunden mit erscheinen die 3 Tangenten durch .
Auf einer der Tangenten verfahre man mit einem weiteren Punkt fast analog:
da jedoch eine Tangente und ein Tangenten-Berührpunkt schon bekannt sind, ist eigentlich nur noch eine
quadratische Gleichung zu lösen.
Entlang der neu entstehenden Tangenten bewegen wir uns einmal um herum und gelangen zu einem Punkt ,
der Schnittpunkt von 3 verschiedenen Tangenten zu sein scheint.
Tatsächlich schließt sich die 6-Eck-Figur mit einer Genaugkeit von 15-Nachkommastellen, was kein Beweis ist!
Das Gewebe läßt sich nun fortsetzen mit entstehenden Schnittpunkten und Verbindungsgeraden.
Nach einer weiteren Runde ist die Genauigkeit nicht mehr so groß: Rundungsfehler?
Dass es sich wirklich um 6-Eck-Gewebe handelt, wurde 1924 von H. Graf & R. Sauer bewiesen:
"Über dreifache Geradensysteme in der Ebene, welche Dreiecksnetze bilden"
Sitzungsberichte d. bayer. Akad. d. Wissensch. München 1924.
Mit 20 Figuren, die ohne Software, also per Hand, Zirkel und Lineal angefertigt wurden!
Beispiele für Kurven 3. Klasse:
- 3 verschiedene Punkte: Tangenten sind die Geraden durch die Punkte, also die Geraden von 3 Geraden-Büschel, Parallelen-Büschel inclusive.
- Ein Kegelschnitt und ein Punkt: Tangenten sind die Kegelschnitt-Tangenten und die Geraden durch den Punkt.
- Die Tangenten an eine STEINER-Kurve