[size=85]Das [b][i][color=#6aa84f]Schaubild[/color][/i][/b] einer [b][i][color=#6aa84f]kubischen Funktion[/color][/i][/b] ist eine [b]Kurve 3. Ordnung[/b].[br]Zugleich ist das[b][i][color=#6aa84f] Schaubild[/color][/i][/b] auch eine [b]Kurve 3. Klasse[/b]: das ist eine Kurve mit der Eigenschaft:[br]in einem offenen Bereich gehen durch jeden [b][i][color=#ff0000]Punkt [/color][/i]genau[/b] [b][color=#980000]3[/color][/b] [b][i][color=#0000ff]Tangenten[/color][/i][/b] an die Kurve![br][br]In welchem Bereich ist das für das Schaubild oben der Fall?[br][br][b]Kurven 3. Klasse[/b] besitzen eine interessante Eigenschaften:[br]In dem angesprochenen offenen Bereich erzeugen die [b][i][color=#0000ff]Kurven-Tangenten[/color][/i][/b] ein [b][i][color=#ff7700]6-Eck-Gewebe[/color][/i][/b]![br][br]Statt umständlich zu erklären, was ein [/size][size=85][b][i][color=#ff7700]6-Eck-Gewebe[/color][/i][/b][/size][size=85] ist, geben wir hier ein Rezept an, wie man ein solches [b][i][color=#ff7700]Gewebe[/color][/i][/b][br]konstruiert:[br][br]Man lasse das Schaubild einer [b][i][color=#6aa84f]kubischen Funktion[/color][/i][/b] [math]x\mapsto f\left(x\right)[/math] zeichnen und suche eine Gegend, [br]in welcher [b][color=#980000]3[/color][/b] [b][i][color=#0000ff]Kurven-Tangenten[/color][/i][/b] durch einen vorgegebene Punkt [math]p_0=\left(x_0,y_0\right)[/math] zu erwarten sind.[br]In [b][i][color=#980000]geogebra[/color][/i][/b] ist dazu die [b][i][color=#6aa84f]kubische Gleichung[/color][/i][/b] [math]f'\left(x\right)\cdot\left(x_0-x\right)+f\left(x\right)-y_0=0[/math] zu lösen (in [math]x[/math]).[br]Wir verwendeten den eigentlich nur für die [b]CAS[/b]-Ansicht vorgesehenen [b][i][color=#980000]geogebra[/color][/i][/b]-Befehl[b] Lösungen[/b][Gleichung][br]und erhielten eine [b]Liste[/b] mit [b][color=#980000]3[/color][/b] [math]x[/math]-Werten. Eingesetzt ergaben sich [b][color=#980000]3[/color][/b] [b][i][color=#0000ff]Tangenten-Berührpunkte[/color][/i][/b] [math]\left(x,f\left(x\right)\right)[/math],[br]verbunden mit [math]p_0[/math] erscheinen die [b][color=#980000]3[/color][/b] [b][i][color=#0000ff]Tangenten[/color][/i][/b] durch [math]p_0[/math].[br]Auf einer der [b][i][color=#0000ff]Tangenten[/color][/i][/b] verfahre man mit einem weiteren Punkt [math]p_1[/math] fast analog: [br]da jedoch eine [b][i][color=#0000ff]Tangente[/color][/i][/b] und ein [b][i][color=#0000ff]Tangenten-Berührpunkt [/color][/i][/b]schon bekannt sind, ist eigentlich nur noch eine [br][b][i][color=#a61c00]quadratische [/color][/i][/b]Gleichung zu lösen. [br]Entlang der neu entstehenden Tangenten bewegen wir uns einmal um [math]p_1[/math] herum und gelangen zu einem Punkt [math]p_6[/math],[br]der Schnittpunkt von [b][color=#980000]3[/color][/b] verschiedenen Tangenten zu sein scheint.[br]Tatsächlich schließt sich die [b][i][color=#ff7700]6-Eck-Figur[/color][/i][/b] mit einer Genaugkeit von 15-Nachkommastellen, was kein Beweis ist! [br]Das [b][i][color=#ff7700]Gewebe[/color][/i][/b] läßt sich nun fortsetzen mit entstehenden [b][i][color=#ff0000]Schnittpunkten[/color][/i][/b] und [b][i][color=#0000ff]Verbindungsgeraden.[br][/color][/i][/b]Nach einer weiteren Runde ist die Genauigkeit nicht mehr so groß: Rundungsfehler?[/size]

[size=85]Dass es sich wirklich um [b][i][color=#ff7700]6-Eck-Gewebe[/color][/i][/b] handelt, wurde [b]1924[/b] von [b]H. Graf[/b] & [b]R. Sauer[/b] bewiesen:[br]"[i]Über dreifache Geradensysteme in der Ebene, welche Dreiecksnetze bilden[/i]"[/size][br][size=50]Sitzungsberichte d. bayer. Akad. d. Wissensch. München 1924.[/size][br][size=85][i]Mit 20 Figuren, die ohne Software, also per Hand, Zirkel und Lineal angefertigt wurden![/i][/size][br][size=85][b][i][u][color=#cc0000]Beispiele für Kurven 3. Klasse:[/color][/u][/i][/b][br][/size][list][*][size=85][b][color=#980000]3 [/color][/b]verschiedene [b][i][color=#ff0000]Punkte[/color][/i][/b]: [b][i][color=#0000ff]Tangenten[/color][/i][/b] sind die Geraden durch die [b][i][color=#ff0000]Punkte[/color][/i][/b], also die Geraden von [b][color=#980000]3[/color][/b] [b][i][color=#ff0000]Geraden-Büschel[/color][/i][/b],[/size][br][size=85][b][i][color=#ff0000]Parallelen-Büschel[/color][/i][/b] inclusive.[/size][/*][*][size=85]Ein [b][i][color=#ff7700]Kegelschnitt[/color][/i][/b] und ein[b][i][color=#ff0000] Punkt[/color][/i][/b]: [b][i][color=#0000ff]Tangenten[/color][/i][/b] sind die [b][i][color=#ff7700]Kegelschnitt-Tangenten[/color][/i][/b] und die Geraden durch den [b][i][color=#ff0000]Punkt[/color][/i][/b].[/size][/*][*][size=85]Die [b][i][color=#0000ff]Tangenten[/color][/i][/b] an eine [b][i][color=#6aa84f]STEINER-Kurve[/color][/i][/b][/size][/*][/list][size=85][math]\hookrightarrow[/math] [b][i][color=#980000]geogebra-book[/color][/i][/b] [url=https://www.geogebra.org/m/z8SGNzgV][i][u][color=#0000ff][b]Sechseck-Netze[/b][/color][/u][/i][/url][br][math]\hookrightarrow[/math] [b][color=#980000]chapter[/color][/b] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#chapter/413711][b][i][u][color=#0000ff]Sechs-Eck-Gewebe aus Geraden[/color][/u][/i][/b][/url] des [b][i][color=#980000]geogebra-books[/color][/i][/b] [b][i][color=#0000ff]Möbiusebene[/color][/i][/b]. [/size]