Wie kann man zwei Punkte [color=#00ff00][b]A[/b][/color] und [color=#00ff00][b]B[/b][/color] auf der Kugel durch eine [color=#1e84cc][i][b]Kurve[/b][/i][/color] verbinden?[br]Die einfachsten Kurven auf der Kugel sind die [color=#1e84cc][i][b]Kreise[/b][/i][/color]. [br]Sie entstehen als Schnitte der Kugel mit Ebenen.[br]Durch zwei Kugel-Punkte geht ein ganzes Büschel von Kreisen; wohlgemerkt: über die Schnitt-Ebenen ist nichts weiter vorausgesetzt - die beiden Kugel-Punkte, und damit die ganze Raum-Gerade durch die beiden Punkte müssen auf der [color=#0000ff][i][b]Ebene[/b][/i][/color] liegen. Jede Ebene durch die Raumgerade ist (zunächst) zugelassen.[br][br]Ein [color=#1e84cc][i][b]Kreis[/b][/i][/color] durch zwei [color=#00ff00][i][b]Punkte[/b][/i][/color] legt [i][b]zwei[/b][/i] Strecken zwischen den Punkten fest. Bestimmt ist eine dieser Strecken durch einen weiteren [color=#00ff00][i][b]Punkt[/b][/i][/color] dazwischen. Generell ist ein [color=#1e84cc][i][b]Kreis[/b][/i][/color] [icon]/images/ggb/toolbar/mode_circle3.png[/icon] auf der Kugel durch [i][b]drei [/b][color=#00ff00][b]Punkte[/b][/color][/i] [icon]/images/ggb/toolbar/mode_planethreepoint.png[/icon]bestimmt.[br][br]Wir wollen ausloten, was man über [color=#ff0000][i][b]Dreiecke[/b][/i][/color] auf der Kugel aussagen kann. [br]Dies wird allerdings [size=150][color=#444444][b]keine Kugel-Dreiecks-Lehre[/b][/color][/size] werden, denn[br][br][list][*][b][color=#ff0000][size=150]Achtung und Vorsicht: [/size][/color] [/b] In diesem [b]ge[/b][icon]/images/ggb/toolbar/mode_conic5.png[/icon][b]gebra.book[/b] wird keine der Aussagen über Dreiecke bewiesen oder begründet werden. Die Aussagen könnten also auch falsch sein![/*][/list][br]Benutzt werden für fast alle [b]3D[/b]-Konstruktionen die Eigenschaften der [b]Polarität[/b] für eine [i][b]Quadrik vom Typ der Kugel[/b][/i]. Man könnte die Bilder auch für ein [color=#980000][i][b]Ellipsoid[/b][/i][/color] herstellen: die Schnitte der Quadrik mit Ebenen sind dann die "[color=#0000ff][i][b]Kreise[/b][/i][/color]". Verwendet man nämlich in dem zugrundeliegenden Vektorraum eine geeignete Basis in Richtung der Hauptachsen, so kann man die Quadrik vom Typ der Kugel durch die Gleichung [math]x^2+y^2+z^2-1=0[/math] beschreiben und alles verhält sich so wie in der obigen [b]3D[/b]-Ansicht![br][br][color=#980000][size=50][right]Diese Seite ist eine Aktivität des [b]geogebra-books[/b] [url=https://www.geogebra.org/m/efbe93k6]kugel-dreiecke[/url] (August 2018)[/right][/size][/color]

[color=#980000][b][size=100][size=150]Stereographische Projektion[/size][/size][/b][/color][br][br]Mit Hilfe der [i][b]stereographischen Projektion[/b][/i] werden wir viele Aussagen über [color=#ff0000][i][b]Kugel-Dreiecke[/b][/i][/color] auch [i][b]eben[/b][/i] als Kreis-Dreiecke darstellen können, siehe das Applet unten![br]Das wichtigste Hilfsmittel [icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_tool.png[/icon] für ebene Kreis-Konstruktionen ist die [i][b]Spiegelung am Kreis [icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_mirroratcircle.png[/icon][/b][/i], oft auch [i][b]Inversion am Kreis[/b][/i] genannt.

[size=85]Leider bietet [b]ge[/b][/size][icon]/images/ggb/toolbar/mode_conic5.png[/icon][size=85][b]gebra[/b] für räumliche Konstruktionen mit Quadriken wenige [icon]/images/ggb/toolbar/mode_tool.png[/icon] Werkzeuge an: [br][/size][list][*][size=85][i][b]Polarität [/b][/i]Punkt - Ebene bezüglich einer [i][b]Quadrik[/b][/i], [/size][/*][*][size=85]oder Polarität [i][b]Gerade - Polargerade[/b][/i], [/size][/*][*][size=85]oder [i][b]Spiegelung[/b][/i] an einer Schnitt-Ebene[/size][/*][*][size=85]oder [i][b]Tangentialebene[/b][/i][/size][/*][/list][size=85]sind mehr oder weniger mühsam selber zu konstruieren.[/size] [size=85]Unsere Erfahrungen mit "[color=#ff0000][i][b]Mach's doch selber![/b][/i][/color]" und dem daraus sich ergebenden erheblichen Zeitaufwand (siehe [color=#980000][b][url=https://www.geogebra.org/m/mQgUFHZh]Kegelschnitt-Werkzeuge[/url][/b][/color]) hindert uns, solches noch einmal selber zu versuchen![/size]