[table][tr][td][url=https://www.geogebra.org/m/nzfg796n#material/gsppprhh][img]data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAACUAAAA2CAYAAABA3FA2AAAAAXNSR0IArs4c6QAAAARnQU1BAACxjwv8YQUAAAAJcEhZcwAADsQAAA7EAZUrDhsAAACpSURBVGhD7dkxCsJAFEXR/wZiJWJhIW7MUnApriwLEFdhZy0iiN8M2tjdLr94h8wEUt3yQaRhyMiMiH7mpulRv0vU/Gm/dymOohxFOYpyFOUoylGUoygdd9tye0qv1upFTUVenoSjKEdRjqIcRTmKchTlKErX/abgyLvUG3nKs5cn4ijKUZSjKEdRjqIcRRWN6j9six2dxkMu9YiV7t+Ps8l45iJu73V8AE/fHKUjFbbZAAAAAElFTkSuQmCC[/img][/url][/td][td][size=50] this activity is a page of [color=#980000][i][b]geogebra-book[/b][/i][/color][br] [url=https://www.geogebra.org/m/y9cj4aqt][color=#0000ff][u][i][b]elliptic functions & bicircular quartics & . . .[/b][/i][/u][/color][/url]([color=#ff7700][i][b]27.04.2023[/b][/i][/color])[/size][/td][/tr][/table][size=85][i][color=#ff00ff][right]translation is in progress[/right][/color][/i][/size]

[size=85][b][color=#cc0000]2[/color][/b]-teilige [b][i][color=#ff7700]bizirkulare Quartiken[/color][/i][/b] besitzen [b][color=#cc0000]4[/color][/b] paarweise [b][i][color=#0000ff]orthogonale[/color][/i][/b] [b][i][color=#bf9000]Symmetrie-Kreise[/color][/i][/b], [br]auf der "[b]Hauptachse[/b]" liegen die [b][color=#cc0000]4[/color][/b] [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b]. Das Koordinatensystem kann [b][i][color=#0000ff]möbiusgeometrisch[/color][/i][/b] stets so gewählt werden,[br]dass die [math]x[/math]-Achse [b]Hauptachse[/b] ist und die [math]y[/math]-Achse, der [b][i][color=#bf9000]Einheitskreis[/color][/i][/b] und der dazu orthogonale imaginäre [b][i]Kreis[/i][/b][br]die weiteren [b][i][color=#bf9000]Symmetrie-Kreise[/color][/i][/b] sind: wir nennen diese Darstellung die [b][i][color=#0000ff]Normalform[/color][/i][/b] der [b][i][color=#ff7700]bizirkularen Quartik[/color][/i][/b].[br][math]f,-f,\frac{1}{f},-\frac{1}{f}[/math] mit [math]f\in\mathbb{R},f>1[/math] sind dann die [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b].[br]Zu jeder [b][i][color=#bf9000]Symmetrie[/color][/i][/b] gehört eine Schar [b][i][color=#999999]doppelt berührender[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b]. [br]Die Konstruktion mittels der [b][i][color=#0000ff]Leitkreise[/color][/i][/b] ist jedoch nur für die von der von der [b][i][color=#bf9000]Hauptachsen-Symmetrie[/color][/i][/b] [br]verschiedenen [b][i][color=#bf9000]Symmetrien[/color][/i][/b] möglich:[br]Spiegelt man einen der [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] - im Applet wird [b][color=#00ff00]f[/color][/b] ausgezeichnet - an den [b][i][color=#ff0000]Kreisen[/color][/i][/b] einer dieser Scharen, so liegen die [br]Spiegelpunkte auf einem [b][i][color=#ff0000]Kreis[/color][/i][/b]: dem zugehörigen [b][i][color=#0000ff]Leitkreis[/color][/i][/b]. Zu jedem Punkt [b][color=#00ffff]q[/color][/b] auf dem [b][i][color=#0000ff]Leitkreis[/color][/i][/b] gibt es genau einen[br][b][i][color=#999999]doppelt-berührenden[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreis[/color][/i][/b] [b][color=#999999]cdp[/color][/b] aus der Schar, an welchem invertiert [b][color=#00ff00]f [/color][/b]und [b][color=#00ffff]q[/color][/b] vertauscht werden.[br]Die zugehörige [b][i][color=#bf9000]Symmetrie[/color][/i][/b] zerlegt die [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] in [b][color=#cc0000]2[/color][/b] [b][i][color=#00ff00]Brennpunkt[/color][/i][/b]-Paare {[b][color=#00ff00] f[/color][/b] , [b][color=#00ff00]f[sub]2[/sub] [/color][/b]}; { [b][color=#00ff00]f[sub]3[/sub][/color][/b], [b][color=#00ff00]f[sub]4[/sub][/color][/b] }.[br]Der [b][i][color=#ff0000]Kreis[/color][/i][/b] [b][color=#ff0000]cw[/color][/b] durch [size=85][b][color=#00ff00]f[sub]3[/sub][/color][/b], [b][color=#00ff00]f[sub]4[/sub][/color][/b][/size] und [b][color=#00ffff]q[/color][/b] schneidet den [b][i][color=#999999]doppelt-berührenden[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreis[/color][/i][/b] in den [b][i][color=#ff7700]Berührpunkten[/color][/i][/b].[br]Der an [b][color=#999999]cdb[/color][/b] gespiegelte [b][i][color=#ff0000]Kreis[/color][/i][/b] [b][color=#ff0000]cw[/color][/b] ist ein [b][i][color=#ff0000]Kreis[/color][/i][/b] [b][color=#ff0000]cw'[/color][/b] durch [b][color=#00ff00]f[/color][/b] und [b][color=#00ff00]f[sub]2[/sub][/color][/b]. [b][i][color=#999999]cdb[/color][/i][/b] und damit die [b][i][color=#ff7700]Quartik[/color][/i][/b] sind [b][i][color=#0000ff]winkelhabierende[/color][/i][/b] der[br]beiden [b][i][color=#ff0000]Büschelkreise[/color][/i][/b] [b][color=#ff0000]cw[/color][/b] und [b][color=#ff0000]cw'[/color][/b].[br]Der Mittelpunkt des [b][i][color=#ff0000]Büschelkreises[/color][/i][/b] [/size][size=85][b][color=#ff0000]cw[/color][/b][/size][size=85] ist der Schnittpunkt der [math]y[/math]-Achse mit der Tangente in [b][color=#00ffff]q[/color][/b] an den [b][i][color=#0000ff]Leitkreis[/color][/i][/b]![br]Diese Konstruktion ist auch für die [b][color=#cc0000]1[/color][/b]-teiligen [b][i][color=#ff7700]Quartiken[/color][/i][/b] wie für die [b][i][color=#0000ff]möbiustransformierten[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff7700]Kegelschnitte[/color][/i][/b] gültig![br][br]Die [b][i][color=#0000ff]Winkelhalbierenden[/color][/i][/b]-Eigenschaft zeigt, dass die [b][i][color=#ff7700]Quartiken[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff00ff]Lösungskurven[/color][/i][/b] der zu den [b][i][color=#00ff00]Brennpunkten[/color][/i][/b] [br]gehörenden [b][i][color=#9900ff]elliptischen Differentialgleichung[/color][/i][/b] sind. [/size]

[size=85]Für [b][color=#cc0000]1[/color][/b]-teilige [b][i][color=#ff7700]bizirkulare Quartiken[/color][/i][/b] liegen die [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] spiegelbildlich auf [b][color=#cc0000]2[/color][/b] [b][i][color=#0000ff]orthogonalen[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreisen.[/color][/i][/b][br]In der [b][i][color=#0000ff]Normalform[/color][/i][/b] sind das die Achsen, [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] sind [math]f,-f,\frac{i}{f},-\frac{i}{f}[/math] mit [math]f\in\mathbb{R},f>1[/math].[br]Der [i][b][color=#0000ff]Leitkreis[/color][/b][/i] zu [b][color=#00ff00]f[/color][/b] für die [math]y[/math]-achsensymmetrischen [b][i][color=#999999]doppelt-berührenden[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b] geht durch [math]\frac{i}{f},-\frac{i}{f}[/math] und den Spiegelpunkt von [b][color=#00ff00]f[/color][/b][br]an dem [b][i][color=#ff7700]Scheitelkreis[/color][/i][/b] durch die [math]x[/math]-Achsen-[b][i][color=#ff7700]Scheitel[/color][/i][/b]. [b][color=#ff0000]cw[/color][/b] ist nun der [b][i][color=#ff0000]Kreis[/color][/i][/b] aus dem [b][i][color=#ff0000]hyperbolischen Kreisbüschel[/color][/i][/b] um [math]\frac{i}{f},-\frac{i}{f}[/math][br]durch die jeweiligen Punkte [b][color=#00ffff]q[/color][/b] auf dem [b][i][color=#0000ff]Leitkreis[/color][/i][/b].[br]Die [b][i][color=#0000ff]Winkelhalbierenden-Eigenschaft[/color][/i][/b] entspricht der von oben.[/size]

[size=85]Das Applet oben soll zeigen, wie für den Fall, dass zwei der [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] zusammenfallen, [b][color=#cc0000]2[/color][/b] der [b][i][color=#0000ff]Leitkreise[/color][/i][/b] ebenfalls [br]zusammenfallen. Wählt man den zusammenfallenden [b][i][color=#00ff00]Brennpunkt[/color][/i][/b] als [math]\infty[/math], so sind die [b][i][color=#ff7700]bizirkulare Quartiken[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff7700]Mittelpunktskegelschnitte[/color][/i][/b]. [br]Der zusammenfallende [b][i][color=#0000ff]Leitkreis[/color][/i][/b] ist der [b][i][color=#0000ff]Leitkreis[/color][/i][/b] für die [b][i][color=#666666]Tangenten[/color][/i][/b] an den [b][i][color=#ff7700]Kegelschnitt[/color][/i][/b].[br]Dies rechtfertigt, die [/size][size=85][b][i][color=#666666]Tangenten[/color][/i][/b][/size][size=85] doppelt zu zählen, zum Beispiel für die Konstruktion von [b][i][color=#ff7700]6-Eck-Netzen[/color][/i][/b] aus[b][i][color=#ff0000] Kreisen[/color][/i][/b].[br]Der [b][color=#cc0000]3[/color][/b]. [b][i][color=#0000ff]Leitkreis[/color][/i][/b] wird zur [b][i][color=#0000ff]Leitgeraden[/color][/i][/b] für die [math]y[/math]-Achsen-symmetrischen [b][i][color=#999999]doppelt-berührenden[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b].[/size]