[b] Vogliamo approssimare [b] con un polinomio[/b], in un intorno di [math]x=0[/math],  la funzione [math]y=sinx[/math]. [/b][br][br]Ripassiamo le proprietà della funzione [math]y=sinx[/math][br][list][*]La funzione y=sinx ha come dominio tutti i reali, come codominio l'insieme [math]\lfloor-1,+1\rfloor[/math][/*][*]E' una funzione periodica di periodo [math]2\pi[/math] [/*][*]La funzione [math]y=sinx[/math] è una funzione dispari[/*][/list][br][b]Per rispettare la simmetria della funzione,[/b] anche l’approssimazione deve essere fatta con [b]polinomio[/b] [b]dispari[/b] , cioè un polinomio con solo potenze dispari: [math]x^1,x^3,x^5,x^7.........[/math] perchè avrebbe la stessa proprietà di simmetria.[br]Un polinomio con termini pari romperebbe questa simmetria, quindi le proprietà della funzione seno.

[list][*]Approssimiamo la funzione [math]y=sinx[/math] con un polinomio di primo grado , primo polinomio di grado dispari. Un polinomio di grado 1° è semplicemente una [b]retta[/b]: ovvero [math]P_1\left(x\right)=mx+q[/math] . Siccome il polinomio deve passare per l'origine, perchè sin(0)=0, abbiamo [math]P_1\left(0\right)=sin\left(0\right)=0[/math] , quindi [math]q=0[/math]e la retta passa per l'origine[/*][/list]Di conseguenza il polinomio approssimante di primo grado è: [math]P_1\left(x\right)=mx[/math][br]Ci chiediamo quale potrebbe essere il il valore di [math]m[/math] che renda l'approssimazione del coefficiente del termine di primo grado migliore possibile[br]Per determinare il valore di m, coefficiente del termine di 1° grado, possiamo fare valutazioni di diversa natura:[br][list][*]una valutazione intuitiva utilizzando Geogebra[/*][*]una valutazione algebrica utilizzando un foglio di calcolo[/*][/list][br][br][br][br][br][br]

Usa geogebra: [br]1. inserire la funzione seno, [br]2. inserisci il polinomio [math]P_{_1}\left(x\right)=mx[/math][br]3. Si crea automaticamente uno slider [math]m[/math][br][br]Per capire quale potrebbero essere il segno e il valore di m, fai dei tentativi, variando il valore dello slider. Ricordati che puoi animare lo slider, regolando la velocità del movimento, per osservare meglio la posizione tra la funzione e il polinomio. Se necessario, modifica nelle impostazioni dello slider, il valore minimo e il valore massimo.

Se rappresenti entrambe le funzioni su un file di geogebra, ti accorgerai che l'approssimazione è buona solo in un intorno piccolissimo di [math]x=0[/math]. Infatti, fissa un valore di[math]x[/math], a tale valore corrisponderà un punto S sulla curva esponenziale e un punto P sulla funzione polinomiale. La [b]distanza SP[/b] tra le ordinate di tali punti (|[math]\left|y_C-y_P\right|[/math]) può fornire una indicazione del grado di approssimazione tra le due curve: più la distanza CP tra le due curve è piccola più è buona l'approssimazione. Completa la seguente tabella inserendo opportune formule nel foglio di calcolo. [br]Nella finestra grafica, invece, sposta il punto P (e quindi la sua ascissa) e visualizza come l'approssimazione indicata dalla distanza SP , tra la funzione seno e il polinomio, migliori man mano che l'ascissa di P si avvicina a 0.

Usa il foglio elettronico di Geogebra per valutare quanto sia buona l'approssimazione con un polinomio di primo grado.[br]Il polinomio di 1° grado determinato è una retta passnte per l'origine. Se rappresenti entrambe le funzioni su un file di geogebra, ti accorgerai che l'approssimazione è buona solo in un intorno piccolissimo di x=0. Infatti fissa un valore di x, a tale valore corrisponderà un punto S sulla funzione seno e un punto P sulla retta approssimante. La distanza SP tra le ordinate di tali punti[math]\left|y_P-y_S\right|[/math], può fornire una indicazione del grado di approssimazione tra le due curve: più la distanza tra le due curve è piccola, più è buona l'approssimazione.[br]Completa la seguente tabella inserendo opportune formule nel foglio di calcolo. Nella finestra grafica, invece, sposta il punto R (e quindi la sua ascissa) e visualizza come l'approssimazione indicata dalla distanza RS , tra la funzione seno e il polinomio, migliori man mano che l'ascissa di R si avvicini a 0.

Usando geogebra costruisci, la visualizzazione della distanza che c'e tra la funzione e il polinomio approssimante al variare delle [math]x[/math] prese in un intorno di [math]x=0[/math]. [br]N.B. devi:[list=1][*]traccia la funzione seno [math]y=sinx[/math];[/*][*]traccia la funzione polinomiale [math]P_1\left(x\right)=x[/math] ;[/*][*]traccia la retta [math]x=a[/math] ;[/*][*]si introdurrà automaticamente uno slider che mi farà variare le scelte; [/*][*]visualizzare, con il comando intersezione, i punti R e S che appartengono rispettivamente alle due funzioni e corrispondenti alla [math]x[/math] scelta;[/*][*]visualizzare il segmento RS che rappresenta la distanza tra tali punti;[/*][*]visualizzare il valore numerico di tale distanza usando il comando di Geogebra, .[/*][/list]

Aggiungiamo un altro termine al polinomio di primo grado per migliorare l'approssimazione[br]Dato che la funzione y= sinx è dispari, il polinomio che potrebbe migliorare l'approssimazione deve essere di 3° grado. Aggiungiamo al polinomio di grado 1 , un termine di terzo grado, . [br]Chiamiamo il polinomio approssimante : [color=#ff0000][br][br][img width=112,height=22]data:image/png;base64,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[/img][br][br][/color]Per determinare il valore del coefficiente del termine di 3° grado possiamo fare valutazioni di diversa natura:[br][list][*]Una valutazione intuitiva utilizzando Geogebra[/*][*]Una valutazione algebrica utilizzando un foglio di calcolo[/*][/list][br]Usa Geogebra per una valutazione "intuitiva": [br][list=1][*]inserisci la funzione seno y=sinx;[/*][*]inserisci il polinomio [img width=112,height=22]data:image/png;base64,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[/img][br][/*][*]si crea automaticamente uno slider b[/*][/list]Per capire quale potrebbero essere il segno e il valore di b , fai dei tentativi, variando il valore dello slider . Ricordati che puoi anche "animare" lo slider , regolando la velocità del movimento, per osservare meglio la posizione reciproca tra il polinomio e la funzione.

[b]Per determinare il coefficiente del polinomio di terzo grado, seguiremo un ragionamento molto semplice[/b] : [br]    [br][list][*]Prendiamo un valore abbastanza vicino allo zero, per esempio x=0,2[/*][*] calcoliamo il seno di 0,2 , [math]sin\left(0,2\right)[/math] [/*][/list][list][*] calcoliamo il valore del Polinomio di terzo grado in x=0,2 [math]P_3\left(0,2\right)[/math][/*][*]ricaviamo b risolvendo la seguente equazione : [img width=125,height=22]data:image/png;base64,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[/img][/*][/list] Avremmo potuto scegliere anche un al  altro valore di x. prossimo allo 0. ottenendo approssimativamente lo stesso risultato.

Il valore di b trovato è approssimativamente [math]-\frac{1}{6}[/math]

A questo punto, ti suggerisco la formula del polinomio approssimante la funzione y= sin x in un intorno di x=0[br][img width=181,height=55]data:image/png;base64,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[/img][br][br]Sviluppando questa sommatoria, potrai renderti conto che:[br][list][*] per k=0, si ottiene x,[/*][*]per k=1, si ottiene [math]\frac{1}{6}=\frac{1}{3!}[/math][/*][*]per k=2, si ottiene [math]\frac{1}{120}=\frac{1}{5!}[/math][br][br][br][/*][/list]

Per velocizzare l'inserimento del polinomio approssimante in Geogebra usa il comando Somma, [math]\sum[/math], che permette di sommare espressioni, serie e liste di dati specificando l'espressione, la variabile, il valore iniziale e quello finale. [br][br]Comando principale: [code]Somma(, , , ), ove per l' espressione, utilizzi la formula data precedentemente, come variabile , k, che varia da 0 a 9. [br][br][br][/code]

Usando Geogebra , se inserisci un valore più grande di 9 come estremo superiore nella sommatoria, puoi osservare quanto l'approssimazione sia migliore! il mpolinomio si sovrappone alla funzione y= sin anche Possiamo fare ancora meglio: definisci un nuovo slider intero che va da 1 a 100, e ponilo come estremo superiore della sommatoria. Ti accorgerai di quanto questo polinomio , costituito da 101 monomi , approssimi bene la funzione seno!!