[size=150][b][br]Definição[/b][/size][br]Seja [math]f:Dom\left(f\right)\subseteq\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}[/math] uma função diferenciável em [math]\left(x_0,y_0\right)\in A\left(aberto\right)\subseteq Dom\left(f\right)[/math]. O plano[br][br] [math]z=f\left(x_0,y_0\right)+\frac{\partial f}{\partial x}\left(x_0,y_0\right)\left(x-x_0\right)+\frac{\partial f}{\partial y}\left(x_0,y_0\right)\left(y-y_0\right)[/math][br][br]é denominado plano tangente ao gráfico da função [math]f[/math] no ponto [math]\left(x_0,y_0,f\left(x_0,y_0\right)\right)[/math].[br][br]Apenas definimos plano tangente para algum [math]\left(x_0,y_0\right)\in A\left(aberto\right)\subseteq Dom\left(f\right)[/math] se [math]f[/math] for diferenciável em [math]\left(x_0,y_0,f\left(x_0,y_0\right)\right)[/math]. Se [math]f[/math] não for diferenciável em [math]\left(x_0,y_0\right)[/math], mas admitir derivadas parciais nesse ponto, o plano existirá, porém não será tangente.[br][br]Abaixo apresentamos um grupo seleto de applets com funções cujo gráfico está contido em uma superfície quádrica. O ponto A no gráfico é móvel. Sinta-se a vontade para mover o ponto pela superfície e observar o plano tangente ao gráfico da função no ponto A onde a função for diferenciável. Divirta-se!

Seja [math]f\left(x,y\right)=x^2+y^2[/math]. Como [math]f[/math] é uma função polinomial do segundo grau, logo é diferenciável para todo ponto em seu gráfico. Podemos concluir que [math]f[/math] é diferenciável no ponto [math]\left(0,0,0\right)[/math].

[justify]Observe que as funções abaixo são compostas por um polinomio em [math]\mathbb{R}^2[/math] e a função [math]f\left(x\right)=\sqrt{x}[/math]. Tendo em vista que a função [math]f\left(x\right)[/math] é diferenciavel em todos os pontos com exceção da origem, por nesse ponto a reta tangente ao gráfico torna-se vertical.[br]Podemos nos questionar, Será que acontecerá o mesmo fenomeno já ocorrido nessas funções? O que acontece com duas derivadas parciais perto da origem? E o que acontecerá com o plano tangente?[/justify]

[justify]Seja [math]f:Dom\left(f\right)\subseteq\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}[/math] e [math]X=\left(x_0,y_0\right)\in Dom\left(f\right)[/math]. Seja [math]C_{10}[/math] a curva gerada pela interseção da função [math]f[/math] com o plano [math]y=y_0[/math] e [math]C_{20}[/math] a curva gerada pela interseção da função [math]f[/math] com o plano [math]x=x_0[/math]. A inclinação das retas tangentes as curvas [math]C_{!0}[/math] e [math]C_{20}[/math] no ponto [math]\left(x_0,y_0,f\left(x_0,y_0\right)\right)[/math], são as derivadas parciais da função [math]f[/math] com respeito as variáveis [math]x[/math] e [math]y[/math],respectivamente, no ponto [math]\left(x_0,y_0\right)[/math](em caso de dúvida, procure a sessão [b]Derivadas parciais[/b]). Lembremos que, caso tenhamos uma reta vertical, não podemos definir sua inclinação, pois esta é baseada na tangente do ângulo, que seria 90° graus! [br][br]No caso da função [math]f\left(x,y\right)=\sqrt{x^2+y^2}[/math], para um ponto [math]\left(x_0,y_0\right)\in Dom\left(f\right)[/math], temos que curva [math]C_{10}[/math] e a curva [math]C_{20}[/math] são[br][br] [math]C_{10}:\text{\begin{cases} z = \sqrt{ x^2 + y_0^2} \\ y = y_0 \end{cases}}[/math] e [math]C_{20}:\text{\begin{cases} z = \sqrt{x_0^2 + y^2} \\ x = x_0 \end{cases}}[/math].[br][br] Note que as curvas [math]C_{10}[/math] e [math]C_{20}[/math] não apresentam reta tangente no ponto [math]\left(0,0\right)[/math], pois tomando [math]\left(x_0,y_0\right)=\left(0,0\right)[/math] teremos que [br] [br] [math]C_{10}:\text{\begin{cases} z = \sqrt{x^2} = |x| \\ y = 0 \end{cases}}[/math] e [math]C_{20}:\text{\begin{cases} z = \sqrt{y^2} = |y| \\ x = 0 \end{cases}}[/math].[br][br]Como não apresenta as retas tangentes no ponto, pelo conceito apresentado, não temos derivadas parciais no ponto e, consequentemente, a função [math]f[/math] não é diferenciável em [math]\left(0,0,0\right)[/math].[/justify]

Seja a função [math]f\left(x,y\right)=\sqrt{-x^2-y^2+9}[/math] e [math]\left(x_0,y_0\right)\in Dom\left(f\right)[/math], temos que a curva [math]C_{10}[/math] e [math]C_{20}[/math] são:[br][br] [math]C_{10}:\text{\begin{cases} z = \sqrt{ -x^2 -y_0^2 + 9} \\ y = y_0 \end{cases}}[/math] e [math]C_{20}:\text{\begin{cases} z = \sqrt{-x_0^2 -y^2 +9} \\ x = x_0 \end{cases} }[/math].[br][br]Note que, para o ponto [math]\left(3,0\right)[/math] temos que [math]C_{10}[/math] e [math]C_{20}[/math] [br][br] [math]C_{10}:\text{\begin{cases} z = \sqrt{ -x^2 + 9} \\ y = 0 \end{cases}}[/math] e [math]C_{20}:\text{\begin{cases} z = \sqrt{-y^2} \\ x = 3 \end{cases}}[/math] [br][br][justify]Então, a curva [math]C_{10}[/math] apresenta reta tangente vertical quando [math]x=\pm3[/math] e a curva [math]C_{20}[/math] é um ponto, tendo sua reta tangente inclinação 0. Com isso, a função não apresenta a derivada parcial com respeito a variável [math]x[/math] em [math]\left(3,0,0\right)[/math]. Podemos concluir então, sem dificuldades, que a função [math]f[/math] também não será diferenciável no ponto, por mais que exista derivadas parciais em [math]\left(3,0,0\right)[/math] com relação a variável [math]y[/math].[br][br]Observe que os pontos escolhidos são pontos contidos na interseção do gráfico de [math]f[/math] com o plano [math]XY[/math], ou seja, no equador da semi-esfera. Utilize as retas tangentes presentes no applet e observe o que ocorre em outros pontos presentes no equador.[/justify]

Note que a função [math]f\left(x,y\right)=\sqrt{25-x^2-\frac{y^2}{4}}[/math], para um ponto [math]\left(x_0,y_0\right)\in Dom\left(f\right)[/math], temos que a curva [math]C_{10}[/math] e [math]C_{20}[/math] são[br][br] [math]C_{10}:\text{\begin{cases} z = \sqrt{[br]25 - x^2 - \frac{y_0^2}{4}} \\ y = y_0 \end{cases}}[/math] e [math]C_{20}:\text{\begin{cases} z = \sqrt{25 -x_0^2 - \frac{y^2}{4}} \\ x = x_0 \end{cases}}[/math].[br][br]Note que, para o ponto [math]\left(5,0\right)[/math] temos que [math]C_{10}[/math] e [math]C_{20}[/math] [br][br] [math]C_{10}:\text{\begin{cases} z = \sqrt{25 -x^2 }\\ y =0 \end{cases}}[/math] e [math]C_{20}:\text{\begin{cases} z = \sqrt{ \frac{-y^2}{4}}\\ x = 5 \end{cases}}[/math][br][justify][br]Então, a curva [math]C_{10}[/math] apresenta reta tangente vertical quando [math]x=\pm5[/math] e a curva [math]C_{20}[/math] é um ponto, tendo sua reta tangente inclinação 0. Com isso, a função não apresenta a derivada parcial com respeito a variável [math]x[/math] em [math]\left(5,0,0\right)[/math]. Podemos concluir então, sem dificuldades, que a função [math]f[/math] também não será diferenciável no ponto, por mais que exista derivadas parciais em [math]\left(5,0,0\right)[/math] com relação a variável [math]y[/math].[br][br]Observe que os pontos escolhidos são pontos contidos na interseção do gráfico de [math]f[/math] com o plano [math]XY[/math], ou seja, no equador da semi-elipsóide. Utilize as retas tangentes presentes no applet e observe o que ocorre em outros pontos presentes no equador.[/justify]

No último applet disponibilizamos uma caixa onde é possível inserir qualquer função com domínio em [math]\mathbb{R}^2[/math], Esperamos que ajude em seu aprendizado. Boa sorte!

[b][i]* O conteúdo apresentado foi gerado através das notas da professora Denise de Oliveira Pinto, do Departamento de Matemática Aplicada da Universidade Federal Fluminense*[/i][/b]