A matematikában [i][url=https://hu.wikipedia.org/wiki/Lemma]lemmának[/url][/i] nevezzük az olyan kisebb összefüggéseket, feladatokat (tételeket) amelyet egy másik probléma megoldása során szeretnénk felhasználni. Erre a feladatra - amely önmagában is szép (euklideszi) elemi geometria probléma - később (lemmaként) fogunk hivatkozni.

Legyen [i]A, B, C, D[/i] egy egyenes négy pontja, továbbá legyen[i] M[/i] a [i]CD[/i] szakasz felező merőlegesén mozgó pont! Legyen [i]C'[/i] a C pontnak az [i](AM)[/i] egyenesre, [i]D'[/i] a [i]D[/i] pontnak a[i] (BM[/i]) egyenesre vonatkozó tükörképe![br]Mit állíthatunk a [i](C’D’)[/i] egyenesről? Vizsgáljuk meg ugyanezt a kérdést a P-modellen is!

Anélkül, hogy részleteznénk a feladat megoldását, remélhetően elegendő egy másik elemi geometriai összefüggésre (lemmára) hivatkoznunk.[br][list][*][color=#333333]Az euklideszi geometriában [/color][b] [color=#0000ff]a körhöz külső pontból húzott szelők szelődarabjainak a szorzata bármely szelőre nézve ugyanannyi. [/color][/b][/*][/list][color=#333333]Jelen esetben a szerkesztésből adódóan a [i]C, D, C', D' [/i]pontok egy [i]M[/i] középpontú körön helyezkednek el.[br]Egy már megszerkesztett [i]P[/i] pont, valamint a [i]C[/i] és [i]D[/i] pont ezt az állandót - vagyis a [i]P[/i] pontnak az összes [i]C[/i]-re és [i]D[/i]-re illeszkedő körre vonatkozó hatványát - ez a három pont egyértelműen meghatározza, [i]M[/i] megadásától függetlenül.[/color]

A feladat kérdésére tehát azt válaszolhatjuk, hogy az a [i](C'D'[/i]) egyenesek mértani helye egy [i]P[/i] tartójú sugársor, amelyet az [i]A[/i] és [i]B[/i] pont határoz meg. (Ha [i]A[/i] és [i]B[/i] szimmetrikus [i]t[/i]-re, akkor egy [i]e[/i] irányú párhuzamos sugársort kapunk.) [br][br]Felvetődhet azonban a kérdés, hogy miként függ a P pont A és B megválasztásától? Ehhez nyilvánvalóan a koordináta geometria eszköztárához kell nyúlnunk. (Erre kényszerültünk volna akkor is, ha kör szelődarabjainak a szorzatára vonatkozó tétel nincs az eszköztárunkban, nem alkalmazható, vagy nem jut eszünkbe.)

A feladatban szereplő pontok koordinátáit praktikusan megadva viszonylag egyszerű - akár "kézzel" is megoldható, bár kicsit hosszadalmas - számolást kellene elvégeznünk. Azonban a GeoGebra CAS rendszere le tudja venni a vállunkról ezt a terhet. [br][br]Mivel ez a munka nem igényel olvasóinktól semmilyen aktivitást, itt csak a számolás menetét, és eredményét mutatjuk be. Úgy véljük, az alábbi táblázat elemzése nem igényel különösebb magyarázatot. [br][br]Megjegyezzük azonban, hogy a rendszer - egyelőre - nem tudja végrehajtani paraméteres alakban megadott objektumokkal a [b]Tükrözés(Pont,Egyenes)[/b] parancsot. Ezért pl. a [i]C'[/i] pont koordinátáit három lépésben kaptuk meg: merőlegest állítottunk [i]C[/i]-ből az [i]e[/i][sub][i]A[/i] [/sub]egyenesre, megkerestük a [i]CC'[/i] szakasz [i]T[/i][sub][i]A [/i][br][/sub]felezőpontját, majd ebből számoltuk ki [i]C'[/i] koordinátáit. (7. , 8. és 9. lépés.) Ugyanígy kaptuk meg [i]D'[/i] koordinátáit is..[br][br]Amint látjuk, a 16. lépésben megkaptuk a P pont koordinátáit, amely csak az [i]a [/i]és [i]b[/i] paramétereket tartalmazza, [i]m[/i]-et nem. Ezt kellett igazolnunk.[br][br]Mintegy "melléktermékként" választ kaptunk arra a kérdésre is, hogy miként függ [i]A[/i] és [i]B [/i]megválasztásától a[i] P[/i] pont.

Megjegyezzük, hogy ugyanez az eredmény kiszámítható egy egyszerű aránypárral is az alapján, hogy a P pont az A középpontú C kerületi pontú és a B középpontú, D kerületi pontú körnek az egyik hasonlósági pontja. [br][br][br]

A feladatban kitűzött szerkesztés az abszolút geometria eszköztárával könnyen megvalósítható. Az eredményét itt csak sejtésként fogalmazzuk meg. Megjegyezzük azonban, hogy -mint már több helyen láttunk rá példát - az így kapott eredmények többnyire abszolút geometriai összefüggések.

Az [i]M[/i] pontot mozgatva [i]C'[/i] egy [i]A[/i] középpontú, [i]C [/i]kerületi pontú körön mozog. Ugyanígy [i]D' [/i]illeszkedik a [i]B[/i] középpontú [i]D[/i] kerületi pontú körre. [br][br]Az euklideszi esetet vizsgálva könnyen belátható, hogy ha az [i](AC')[/i] egyenes merőleges[i] (C'D')[/i]-re, akkor [i](BD')[/i] is merőleges[i] (C'D')[/i]-re. vagyis a sugársor elemei között [i]ott van[/i] e két kör közös érintője is. Megmutatható, hogy ez a P-modellen is így van. [url=https://www.geogebra.org/m/NSQ9meGe#material/gneujdvn]Ezt itt fogjuk majd kihasználni.[/url]