Geradlinige Bewegung

Beispiel

Ein Käfer befindet sich zum Zeitpunkt [i]t[/i] = 0 s im Punkt P.[br]Er bewegt sich auf einer Geraden mit konstanter Geschwindigkeit, [br]der Geschwindigkeitsvektor sei [math]\vec{v}[/math] (in Längeneinheiten pro Sekunde).[br]

Aufgabe 1

a) Gib die Koordinaten von P und [math]\vec{v}[/math] an.[br][br]b) An welchem Ort X befindet sich der Käfer nach 1 s, 2 s, 3 s, [math]\frac{1}{2}[/math] s, vor 1 s?[br] Gib zu jedem [i]t[/i]-Wert (in [i]s[/i]) in der Tabelle die Koordinaten von X an.[br][br][math]\begin{array}\bf\it{t} & 0 & 1 & 2 & 3 & \frac{1}{2} & -1\\\bf\it{X} &... &... &... &... &... &... \end{array} [/math]

Aufgabe 2

Wie kann man X mit Hilfe von P und [math]\vec{v}[/math] berechnen? [br]Gib zu jedem [i]t[/i]-Wert in der Tabelle den passenden Term an.[br][br][math]\begin{array}\bf\it{t} & 0 & 1 & 2 & 3 & \frac{1}{2} & -1\\\bf\it{X} &\ \ \ \ &\ \ \ \ &\ \ \ \ &\ \ \ \ &\ \ \ \ &\ \ \ \ \end{array} [/math][br]

Bewege X, indem du t änderst.

Du erkennst:

[list][*]Jedem Wert von [i]t[/i] entspricht genau ein Punkt X der Geraden.[/*][*]Jedem Punkt X der Geraden entspricht genau ein Wert von [i]t[/i].[/*][/list] [math]t\leftrightarrow X[/math] [br] [br]Die Formel [math] \bold{X = P + t \cdot \vec{v}}[/math] beschreibt also - auch unabhängig von einer Bewegung - die Gerade, die durch den Punkt P und den Vektor [math]\vec{v}[/math] festgelegt ist.[br]Man nennt die Formel eine [b]Par[u]a[/u]meterdarstellung[/b] der Geraden.[br][math]\vec{v}[/math] nennt man einen[i] Richtungsvektor [/i]der Geraden, [i]t[/i] heißt [i]Par[u]a[/u]meter[/i].[br][br]Richtungsvektoren werden oft mit dem gleichen Buchstaben wie die Gerade bezeichnet, also z.B.[br] [i]g[/i]: X = P + [i]t[/i][math]\cdot\vec{g}[/math][br] [i]h[/i]: X = Q + [i]t[/i][math]\cdot\vec{h}[/math][br]

Aufgabe 3

a) Gib eine Parameterdarstellung der oben dargestellten Geraden [i]g[/i] (mit konkreten Zahlen) an.

b) Stelle durch Rechnung fest, ob der Punkt A = (3 | 2,5) auf [i]g[/i] liegt.

c) Bestimme y so, dass der Punkt B = (3 | y) auf [i]g[/i] liegt.

d) Berechne den Schnittpunkt S von [i]g[/i] mit der x-Achse.

Aufgabe 4a

Die Gerade [i]h[/i] geht durch die Punkte A = (-2 | -5) und B = (3 | 5).[br]Stelle fest, welche der folgenden Aussagen richtig sind.[br]([i]Nebenrechnungen und/oder Skizzen könnten hilfreich sein.[/i])

Die Gerade mit der Parameterdarstellung [math]X=\binom{0}{1}+t\cdot\binom{2}{1}[/math] ist zu [i]h[/i] parallel. [math]X=\binom{3}{5}+r\cdot\binom{1}{2}[/math] ist eine Parameterdarstellung von [i]h.[/i] [i]h[/i] schneidet die y-Achse im Punkt S = (0 | -1). [math]X=\binom{-2}{-5}+t\cdot\binom{3}{5}[/math] ist eine Parameterdarstellung von [i]h.[/i] Der Punkt P = (1 | 1) liegt auf [i]h[/i]. Die Gerade mit der Parameterdarstellung [math]X=\binom{0}{1}+t\cdot\binom{-2}{1}[/math] steht normal auf [i]h[/i].

Aufgabe 4b

Begründe, warum die obigen Aussagen richtig bzw. falsch sind.