[table][tr][td][url=https://www.geogebra.org/m/y9cj4aqt#material/gqpmqb76][img]data:image/png;base64,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[/img][/url][/td][td] [size=50]Diese Aktivität ist eine Seite des [color=#980000][b]geogebra-books[/b][/color] [br] [color=#0000ff][u][b][/b][/u][/color][url=https://www.geogebra.org/m/nzfg796n][color=#0000ff][u][b]Elliptische Funktionen & Bizirkulare Quartiken & ...[/b][/u][/color][/url] ([color=#ff7700][i][b]21.06.2023[/b][/i][/color])[/size][/td][/tr][/table]
[size=85][b][color=#cc0000]2[/color][/b]-teilige [b][i][color=#ff7700]bizirkulare Quartiken[/color][/i][/b] besitzen [b][color=#cc0000]4[/color][/b] paarweise [b][i][color=#0000ff]orthogonale[/color][/i][/b] [b][i][color=#bf9000]Symmetrie-Kreise[/color][/i][/b], [br]auf der "[b]Hauptachse[/b]" liegen die [b][color=#cc0000]4[/color][/b] [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b]. Das Koordinatensystem kann [b][i][color=#0000ff]möbiusgeometrisch[/color][/i][/b] stets so gewählt werden,[br]dass die [math]x[/math]-Achse [b]Hauptachse[/b] ist und die [math]y[/math]-Achse, der [b][i][color=#bf9000]Einheitskreis[/color][/i][/b] und der dazu orthogonale imaginäre [b][i]Kreis[/i][/b][br]die weiteren [b][i][color=#bf9000]Symmetrie-Kreise[/color][/i][/b] sind: wir nennen diese Darstellung die [b][i][color=#0000ff]Normalform[/color][/i][/b] der [b][i][color=#ff7700]bizirkularen Quartik[/color][/i][/b].[br][math]f,-f,\frac{1}{f},-\frac{1}{f}[/math] mit [math]f\in\mathbb{R},f>1[/math] sind dann die [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b].[br]Zu jeder [b][i][color=#bf9000]Symmetrie[/color][/i][/b] gehört eine Schar [b][i][color=#999999]doppelt berührender[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b]. [br]Die Konstruktion mittels der [b][i][color=#0000ff]Leitkreise[/color][/i][/b] ist jedoch nur für die von der von der [b][i][color=#bf9000]Hauptachsen-Symmetrie[/color][/i][/b] [br]verschiedenen [b][i][color=#bf9000]Symmetrien[/color][/i][/b] möglich:[br]Spiegelt man einen der [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] - im Applet wird [b][color=#00ff00]f[/color][/b] ausgezeichnet - an den [b][i][color=#ff0000]Kreisen[/color][/i][/b] einer dieser Scharen, so liegen die [br]Spiegelpunkte auf einem [b][i][color=#ff0000]Kreis[/color][/i][/b]: dem zugehörigen [b][i][color=#0000ff]Leitkreis[/color][/i][/b]. Zu jedem Punkt [b][color=#00ffff]q[/color][/b] auf dem [b][i][color=#0000ff]Leitkreis[/color][/i][/b] gibt es genau einen[br][b][i][color=#999999]doppelt-berührenden[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreis[/color][/i][/b] [b][color=#999999]cdp[/color][/b] aus der Schar, an welchem invertiert [b][color=#00ff00]f [/color][/b]und [b][color=#00ffff]q[/color][/b] vertauscht werden.[br]Die zugehörige [b][i][color=#bf9000]Symmetrie[/color][/i][/b] zerlegt die [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] in [b][color=#cc0000]2[/color][/b] [b][i][color=#00ff00]Brennpunkt[/color][/i][/b]-Paare {[b][color=#00ff00] f[/color][/b] , [b][color=#00ff00]f[sub]2[/sub] [/color][/b]}; { [b][color=#00ff00]f[sub]3[/sub][/color][/b], [b][color=#00ff00]f[sub]4[/sub][/color][/b] }.[br]Der [b][i][color=#ff0000]Kreis[/color][/i][/b] [b][color=#ff0000]cw[/color][/b] durch [size=85][b][color=#00ff00]f[sub]3[/sub][/color][/b], [b][color=#00ff00]f[sub]4[/sub][/color][/b][/size] und [b][color=#00ffff]q[/color][/b] schneidet den [b][i][color=#999999]doppelt-berührenden[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreis[/color][/i][/b] in den [b][i][color=#ff7700]Berührpunkten[/color][/i][/b].[br]Der an [b][color=#999999]cdb[/color][/b] gespiegelte [b][i][color=#ff0000]Kreis[/color][/i][/b] [b][color=#ff0000]cw[/color][/b] ist ein [b][i][color=#ff0000]Kreis[/color][/i][/b] [b][color=#ff0000]cw'[/color][/b] durch [b][color=#00ff00]f[/color][/b] und [b][color=#00ff00]f[sub]2[/sub][/color][/b]. [b][i][color=#999999]cdb[/color][/i][/b] und damit die [b][i][color=#ff7700]Quartik[/color][/i][/b] sind [b][i][color=#0000ff]winkelhabierende[/color][/i][/b] der[br]beiden [b][i][color=#ff0000]Büschelkreise[/color][/i][/b] [b][color=#ff0000]cw[/color][/b] und [b][color=#ff0000]cw'[/color][/b].[br]Der Mittelpunkt des [b][i][color=#ff0000]Büschelkreises[/color][/i][/b] [/size][size=85][b][color=#ff0000]cw[/color][/b][/size][size=85] ist der Schnittpunkt der [math]y[/math]-Achse mit der Tangente in [b][color=#00ffff]q[/color][/b] an den [b][i][color=#0000ff]Leitkreis[/color][/i][/b]![br]Diese Konstruktion ist auch für die [b][color=#cc0000]1[/color][/b]-teiligen [b][i][color=#ff7700]Quartiken[/color][/i][/b] wie für die [b][i][color=#0000ff]möbiustransformierten[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff7700]Kegelschnitte[/color][/i][/b] gültig![br][br]Die [b][i][color=#0000ff]Winkelhalbierenden[/color][/i][/b]-Eigenschaft zeigt, dass die [b][i][color=#ff7700]Quartiken[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff00ff]Lösungskurven[/color][/i][/b] der zu den [b][i][color=#00ff00]Brennpunkten[/color][/i][/b] [br]gehörenden [b][i][color=#9900ff]elliptischen Differentialgleichung[/color][/i][/b] sind. [/size]
[size=85]Für [b][color=#cc0000]1[/color][/b]-teilige [b][i][color=#ff7700]bizirkulare Quartiken[/color][/i][/b] liegen die [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] spiegelbildlich auf [b][color=#cc0000]2[/color][/b] [b][i][color=#0000ff]orthogonalen[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreisen.[/color][/i][/b][br]In der [b][i][color=#0000ff]Normalform[/color][/i][/b] sind das die Achsen, [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] sind [math]f,-f,\frac{i}{f},-\frac{i}{f}[/math] mit [math]f\in\mathbb{R},f>1[/math].[br]Der [i][b][color=#0000ff]Leitkreis[/color][/b][/i] zu [b][color=#00ff00]f[/color][/b] für die [math]y[/math]-achsensymmetrischen [b][i][color=#999999]doppelt-berührenden[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b] geht durch [math]\frac{i}{f},-\frac{i}{f}[/math] und den Spiegelpunkt von [b][color=#00ff00]f[/color][/b][br]an dem [b][i][color=#ff7700]Scheitelkreis[/color][/i][/b] durch die [math]x[/math]-Achsen-[b][i][color=#ff7700]Scheitel[/color][/i][/b]. [b][color=#ff0000]cw[/color][/b] ist nun der [b][i][color=#ff0000]Kreis[/color][/i][/b] aus dem [b][i][color=#ff0000]hyperbolischen Kreisbüschel[/color][/i][/b] um [math]\frac{i}{f},-\frac{i}{f}[/math][br]durch die jeweiligen Punkte [b][color=#00ffff]q[/color][/b] auf dem [b][i][color=#0000ff]Leitkreis[/color][/i][/b].[br]Die [b][i][color=#0000ff]Winkelhalbierenden-Eigenschaft[/color][/i][/b] entspricht der von oben.[/size]
[size=85]Das Applet oben soll zeigen, wie für den Fall, dass zwei der [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] zusammenfallen, [b][color=#cc0000]2[/color][/b] der [b][i][color=#0000ff]Leitkreise[/color][/i][/b] ebenfalls [br]zusammenfallen. [br]Wählt man den zusammenfallenden [b][i][color=#00ff00]Brennpunkt[/color][/i][/b] als [math]\infty[/math], so sind die [b][i][color=#ff7700]bizirkulare Quartiken[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff7700]Mittelpunktskegelschnitte[/color][/i][/b]. [br]Der zusammenfallende [b][i][color=#0000ff]Leitkreis[/color][/i][/b] ist der [b][i][color=#0000ff]Leitkreis[/color][/i][/b] für die [b][i][color=#666666]Tangenten[/color][/i][/b] an den [b][i][color=#ff7700]Kegelschnitt[/color][/i][/b].[br]Dies rechtfertigt, die [/size][size=85][b][i][color=#666666]Tangenten[/color][/i][/b][/size][size=85] doppelt zu zählen, zum Beispiel für die Konstruktion von [b][i][color=#ff7700]6-Eck-Netzen[/color][/i][/b] aus[b][i][color=#ff0000] Kreisen[/color][/i][/b].[br]Der [b][color=#cc0000]3[/color][/b]. [b][i][color=#0000ff]Leitkreis[/color][/i][/b] wird zur [b][i][color=#0000ff]Leitgeraden[/color][/i][/b] für die [math]y[/math]-Achsen-symmetrischen [b][i][color=#999999]doppelt-berührenden[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b].[/size]