Man kann Funktionsgleichugnen auf unterschiedliche Art und Weise aufschreiben. Je nach dem, wleche Eigenschaften einer Funktion man schon kennt oder gerne haben möchte, ist mal die eine und mal die andere Schreibweise günstiger:
Ein Polynom ist eine Summe aus Potenzfunktionen. Wenn alle Klammern in einer quadratischen Funktion ausmultipliziert sind, dann erhält man immer die Polynomdarstellung:[br][br][math]\text{\Large{\[\boxed{f(x)=a\, x^2+b\,x+c}\]}}[/math][br][br]Beispiele: [math]f(x)=3\,x^2+2\,x+1[/math] oder [math]g(x)=-10x^2+\frac{1}{5}x-8[/math][br]Was bedeuten die Parameter [math]a[/math], [math]b[/math] und [math]c[/math]?[br]Probieren Sie es mit dem folgenden Geogebra-Applet aus:
Beschreiben Sie in Ihren Worten: Was bedeuten die Parameter [math]a[/math] und [math]c[/math]?[br](der Parameter [math]b[/math] ist tatsächlich nicht so einfach zu beschreiben)[br][br]Um die Lösungen der folgenden Aufgaben zu sehen, geben Sie in die Lösungsfelder ein beliebiges Zeichen ein und drücken dann auf "Antwort überprüfen". Aber versuchen Sie es lieber erst mal selbst.
[list][*][math]a[/math] bechreibt den Streckungsfaktor, um den die Normalparabel [math]x^2[/math] entlang der Ordinate (y-Achse) gestreckt ist[/*][*][math]c[/math] beschreibt den Wert, an dem der Funktionsgraf die Ordinate schneidet[/*][/list]
Die Scheitelpunktsdarstellung ist immer dann eine günstige Beschreibung, wenn der Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion bekannt ist:[br][br][math]\text{\Large{\[ \boxed{f(x)=a\,(x-s_x)^2+s_y} \]}}[/math][br][br]Beispiele: [math]f(x)= 4\,(x-4,2)^2+6,8[/math] oder [math]g(x)=-\frac{1}{5}(x-10)^2+100[/math][br]Was bedeuten die Parameter [math]a[/math], [math]s_x[/math] und [math]s_y[/math]?[br]Probieren Sie es mit dem folgenden Geogebra-Applet aus. [b][color=#980000]Verschieben Sie auch den Scheitelpunkt[/color][/b] [math]\fgcolor{#980000}{\mathbf {S}}[/math]:
Was bedeuten die Parameter [math]a[/math], [math]s_x[/math] und [math]s_y[/math]?
[list][*][math]a[/math] ist wieder der Streckungsfaktor der Normalparabel [math]x^2[/math] entlang der Ordinate.[/*][*][math]s_x[/math] ist die x-Koordinate des Scheitelpunktes[/*][*][math]s_y[/math] ist die y-Koordinate des Scheitelpunktes[/*][/list]
Ein Linearfaktor ist eine Klammer der Form [math](x-z)[/math], wobei das [math]z[/math] eine beliebige Zahl sein kann. [br]Die Linearfaktordarstellung einer quadratischen Funktion lautet:[br][br][math]\text{\Large{\[ \boxed{f(x)=a\,(x-x_{N1})\,(x-x_{N2})} \]}}[/math][br][br]Beispiele: [math]f(x)= 6\,(x-4)\, (x-5)[/math] oder [math]g(x)= - \frac 12 (x+9)\,(x+1)[/math][br][br]Was bedeuten die Parameter [math]a[/math], [math]x_{N1}[/math] und [math]x_{N2}[/math]?[br]Probieren Sie es mit dem folgenden Geogebra-Applet aus. [b][color=#980000]Verschieben Sie auch die Punkte[/color][/b] [math]\fgcolor{#980000}{\mathbf {N_1}}[/math] [b][color=#980000]und[/color][/b] [math]\fgcolor{#980000}{\mathbf {N_2}}[/math]:
Was bedeuten die Parameter [math]a[/math], [math]x_{N1}[/math] und [math]x_{N2}[/math]?
[list][*][math]a[/math] ist wieder der Streckungsfaktor der Normalparabel [math]x^2[/math] entlang der Ordinate[/*][*][math]x_{N1}[/math] ist eine Nullstelle der Funktion, also die Zahl, an der die Abszisse, die x-Achse, geschnitten wird.[/*][*][math]x_{N2}[/math] ist die zweite Nullstelle der Funktion[/*][/list]
Warum gibt es nicht zu jeder quadratischen Funktion eine Linearfaktordarstellung?
Weil es quadratische Funktionen gibt, die keine Nullstellen haben. Da die Parameter [math]x_{N1}[/math] und [math]x_{N2}[/math] die Nullstellen der Funktion sind, kann es keine Linearfaktordarstellung geben, wenn es keine Nullstellen gibt.[br][br]Es gibt keine Nullstellen, wenn der Scheitelpunkt einer nach oben geöffneten Parabel über der Abszisse liegt oder wenn der Scheitelpunkt einer nach unten geöffneten Parabel unter der Abszisse liegt.