Materialul modelează următoarea situaţie: un vas, în formă de prismă triunghiulară regulată, prevăzut cu capac, este aşezat pe o suprafaţă orizontală şi conţine o coloană de lichid ideal, a cărei înălţime reprezintă fracţia [b]f[/b] din înălţimea vasului.[br]Vasul se poate roti în jurul unei muchii a bazei,[b] [BC][/b], până când faţa laterală [b]BCC'B'[/b] ajunge pe suprafaţa de sprijin.[br]
Să se determine înălţimea stratului de lichid, după ce vasul este aşezat pe faţa laterală.
Notaţii:[br]h[sub]a[/sub]= înălţimea stratului de aer,după ce vasul este aşezat pe faţa laterală.[br]h[sub]l[/sub] = înălţimea stratului de lichid,după ce vasul este aşezat pe faţa laterală. [br]h[sub]b[/sub]=înălţimea feţei triunghiulare a vasului cu lichid.[br]V[sub]aer[/sub]=(1-f) V[sub]vas[/sub] (1)[br]Dacă [math]r=\frac{h_a}{h_b}[/math], atunci [math]\frac{V_{aer}_{ }}{V_{vas}}=r^2[/math](2). [br]Din (1) şi (2) se obţine [math]r=\sqrt{1-f}[/math]. (3)[br][math]r=1-\frac{h_l}{h_b}[/math] (4)[br]Din (3) şi (4) se obţine [math]\frac{h_l}{h_b}=1-\sqrt{1-f}[/math].
Cât lichid trebuie turnat în vas, pentru ca, după aşezarea vasului pe faţa laterală, înălţimea stratului de lichid să fie [b]h[/b][sub]l [/sub]?
Fie [math]r=\frac{h_l}{h_b}[/math]. [math]\Longrightarrow\frac{h_a}{h_b}=1-r[/math] [br][math]\frac{V_{aer}}{V_{vas}}=1-f=\left(1-r\right)^2[/math] [math]\Longrightarrow f=1-\left(1-r\right)^2=r\left(2-r\right)[/math]
Cât lichid trebuie turnat în vas, pentru ca, în decursul rotaţiei, la un moment dat, muchia [B'C'] şi vârful A, să fie, simultan, în suprafaţa liberă a lichidului ?[br] Care este , în acest caz, măsura unghiului de rotaţie ?
Pentru situaţia descrisă în enunţ, spaţiul ocupat de aer este o piramidă triunghiulară, de bază [math]\Delta A'B'C'[/math] şi înălţime muchia [math]\left[AA'\right][/math], ce are volumul egal cu o treime din volumul vasului. Prin urmare, volumul lichidului reprezintă două treimi din volumul vasului, deci [math]f=\frac{2}{3}H[/math].[br][math]tg\left(\alpha\right)=\frac{H}{h_b}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\cdot\frac{H}{L}[/math].
Determinaţi centrul de greutate (masă) al lichidului, în situaţia descrisă în întrebarea 3 (muchia [B'C'] şi vârful A, să fie, simultan, în suprafaţa liberă a lichidului).[br][i]Indicaţie[/i][br]Observaţi imaginea din fişierul PDF anterior.
Notaţii:[br][b]G[sub]l[/sub] [/b]: centrul de greutate al lichidului existent în vas;[br][b]G[/b][b][sub]L[/sub][/b]: centrul de greutate al lichidului care ar umple vasul;[br][b]G[sub]a[/sub][/b] :centrul de greutate al lichidului necesar pentru a umple vasul .[br]Este util să se utilizeze sistemul ortogonal de (semi)axe de coordonate din figura anterioară.[br][b]G[/b][sub]L [/sub]([math]\frac{H}{2},\frac{L\sqrt{3}}{6}[/math]), [b]Ga[/b] ([math]\frac{3}{4}H,L\frac{\sqrt{3}}{4}[/math])[br]Se poate scrie:[br][math]\frac{2}{3}V_{vas}\cdot G_LG_l=\frac{1}{3}V_{vas}G_LG_a\Longrightarrow G_LG_l=\frac{1}{2}G_LG_a\Longrightarrow G_l=G_L+\frac{1}{2}\left(G_L-G_a\right)=\frac{3}{2}G_L-\frac{1}{2}G_a.+[/math] [br]Se obţine [math]G_l=\left(\frac{3}{8}H,L\frac{\sqrt{3}}{8}\right)[/math]
Pentru [math]f=\frac{2}{3}[/math], determinaţi dependenţa înălţimii coloanei de lichid, de unghiul de rotaţie, [math]\alpha[/math].[br][u][i]Indicaţie[/i][/u][br]Bifaţi caseta [i]auxiliare [/i]şi observaţi figura corespunzătoare secţiunii mediane!
În răspuns, se utilizează notaţiile din fereastra "Secţiunea mediană".[br]Determinarea unghiului limită ([math]\alpha_l[/math]), corespunzător situaţiei descrise în [i]întrebarea 3.[/i][br][math]tg\left(\alpha_l\right)=\frac{H}{L\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{3}}\frac{H}{L}[/math][br]1) [math]0^\circ\le\alpha\le\alpha_l[/math][br][math]tg\left(\alpha\right)=\frac{\lambda_1+\lambda_2}{L\frac{\sqrt{3}}{2}}\Longleftrightarrow\lambda_1+\lambda_2=L\frac{\sqrt{3}}{2}tg\left(\alpha\right)\left(1\right)[/math][br][math]\frac{1}{3}L\frac{\sqrt{3}}{2}L\left(\lambda_1+\lambda_2\right)=\lambda_2L^2\frac{\sqrt{3}}{4}\Longrightarrow\lambda_2=2\lambda_1\left(2\right)[/math][br]Din (1) , (2) [math]\Longrightarrow\lambda_1=L\frac{\sqrt{3}}{6}tg\left(\alpha\right)\left(3\right)[/math][br][math]h_l=\left(\frac{2}{3}H+\lambda_1\right)cos\left(\alpha\right)\left(4\right)[/math][br]Din (3), (4) [math]\Longrightarrow h_l=\left(\frac{2}{3}H\cdot cos\left(\alpha\right)+L\frac{\sqrt{3}}{6}\cdot sin\left(\alpha\right)\right)\left(5\right)[/math][br]2) [math]\alpha_l\le\alpha\le90^\circ[/math][br][math]\lambda_5-\lambda_6=H\cdot ctg\left(\alpha\right)\Longleftrightarrow\lambda_5=H\cdot ctg\left(\alpha\right)+\lambda_6\left(1'\right)[/math][br][math]\frac{H}{3}\left(\frac{\lambda_5^2+\lambda_6^2+\lambda_5\cdot\lambda_6}{\sqrt{3}}\right)=\frac{H}{3}\cdot\frac{L^2\sqrt{3}}{4}\Longrightarrow\left(\lambda_5-\lambda_6\right)^2+3\cdot\lambda_5\cdot\lambda_6=\frac{3}{4}L^2\left(2'\right)[/math][br]Din (1') , (2')[math]\Longrightarrow\lambda_6^2+\lambda_6\cdot H\cdot ctg\left(\alpha\right)+\frac{1}{3}\cdot\left(H\cdot ctg\left(\alpha\right)\right)^2-\frac{1}{4}\cdot L^2=0\left(3'\right)[/math][br][math]\lambda_6=\frac{1}{2}\sqrt{L^2-\frac{1}{3}H^2\cdot ctg^2\left(\alpha\right)}-\frac{1}{2}H\cdot ctg\left(\alpha\right)\left(4'\right)[/math][br][math]h_l=\left(L\frac{\sqrt{3}}{2}-\lambda_6\right)\cdot sin\left(\alpha\right)\left(5'\right)[/math][br]Din (4'), (5') [math]\Longrightarrow h_l=\frac{1}{2}\left(\sqrt{3}\left(L\cdot sin\left(\alpha\right)+\frac{H}{\sqrt{3}}\cdot cos\left(\alpha\right)\right)-\sqrt{\left(L\cdot sin\left(\alpha\right)\right)^2-\left(\frac{H}{\sqrt{3}}\cdot cos\left(\alpha\right)\right)^2}\right)\left(6'\right)[/math][br][br][br][br]
