Differentiaalvergelijkingen

Paul Verheyen, May 4, 2025

We bespreken (gewone) differentiaalvergelijkingen, d.w.z. vergelijkingen die een verband uitdrukken tussen afgeleiden van een onbekende functie, de functie zelf en de onafhankelijke variabele.

Table of Contents

  1. Oplossingen
    1. Oplossingen DaV
    2. Eenvoudig voorbeeld
    3. LDaVOrde1CC
    4. Scheiding Variabelen
    5. Integrerende Factor
  2. Integraalkrommen
    1. Lijnelementenveld DaV
    2. Lijnelementenveld (invulvak)
    3. Integraalkrommen
    4. Integraalkrommen (dropdown)
    5. Integraalkrommen_Impliciet
  3. Continue groeimodellen
    1. Constante Groei
    2. Exponentiële Groei
    3. Logistische Groei
  4. Slingerbewegingen
    1. Ongedempte Slinger
    2. Gedempte Slinger
    3. Ongedempte TrekVeer
    4. Gedempte TrekVeer

1.

Oplossingen

We berekenen en tekenen oplossingen van een differentiaalvergelijking. We korten deze term differentiaalvergelijking af tot DaV. In het bijzonder gaan we in op de methodes [i]scheiding van variabele[/i]n en [i]integrerende factor[/i].

  • 1. Oplossingen DaV
  • 2. Eenvoudig voorbeeld
  • 3. LDaVOrde1CC
  • 4. Scheiding Variabelen
  • 5. Integrerende Factor

1.1.

Oplossingen DaV

Een [b]oplossing[/b] van een differentiaalvergelijking  [math]Ψ(x,f(x),f'(x),...,f^{\left(n\right)}\left(x\right))=0[/math] is een functie [math]f[/math], gedefinieerd op een open interval, die voldoet aan deze voorwaarde.[br]Een dergelijke oplossing [math]f[/math] heeft een grafiek [math]y=f(x)[/math], die men een [b]oplossingskromme[/b] (of ook kortweg oplossing) van de differentiaalvergelijking noemt.[br][br]Meestal herschrijft men de differentiaalvergelijking als [math]\Psi \left(x,y,y',...,y^{(n)}\right)=0[/math] .[br]We concentreren ons in wat volgt op de situatie [math]y'=\Phi(x,y)[/math].
Rechtsbovenaan zie je de CASoplossing (met constanten) en rechts onderaan enkele oplossingskrommen.
– Paul Verheyen

1.2.

–

1.3.

–

1.4.

–

1.5.

–

2.

Integraalkrommen

Meestal is het niet mogelijk om een algebraïsche expliciete oplossing te vinden voor een differentiaalvergelijking. Daarom gaat men eerder op zoek naar numerieke oplossingen of naar grafische oplossingen via integraalkrommen (m.b.v. richtingsvelden, lijnelementenvelden, raakvelden).

  • 1. Lijnelementenveld DaV
  • 2. Lijnelementenveld (invulvak)
  • 3. Integraalkrommen
  • 4. Integraalkrommen (dropdown)
  • 5. Integraalkrommen_Impliciet

2.1.

Lijnelementenveld DaV

Beschouw de differentiaalvergelijking [math]y'=\Phi (x,y)[/math] met [math]\Phi:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}[/math].[br]Teken in elk punt [math](x,y)[/math] van [math]\mathbb{R}^2[/math] een lijnstuk met richtingscoëfficiënt [math]\Phi(x,y)[/math], dan ontstaat een zogenaamd [b]richtingsveld[/b] of [b]lijnelementenveld[/b]. [br]We tekenen hier in de roosterpunten [math]\left(a,b\right)[/math] (met [math]a,b \in \{ -5,-4,-3,-1,0,1,2,3,4,5 \}[/math]) een lijnstuk met dit punt als midden en met een bepaalde lengte. Soms gebruikt men daarbij pijlen.
– Paul Verheyen, Jeske

2.2.

–

2.3.

–

2.4.

–

2.5.

–

3.

Continue groeimodellen

Differentiaalvergelijkingen kunnen gebruikt worden om de grootte van een populatie in de tijd te bestuderen.

  • 1. Constante Groei
  • 2. Exponentiële Groei
  • 3. Logistische Groei

3.1.

Constante Groei

Het constante-populatiegroeimodel wordt gegeven door [math]y'=a[/math], met [math]a[/math] constant, en heeft als oplossing eerstegraadsuitdrukkingen [math]y=ax+c[/math] voor een constant reëel getal [math]c[/math].[br]
– Paul Verheyen

3.2.

–

3.3.

–

4.

Slingerbewegingen

Een slinger bestaat uit een massa opgehangen aan het uiteinde van een staaf die aan de bovenzijde draaibaar is. Als de massa opzij getrokken wordt en daarna losgelaten, zal deze massa heen en weer bewegen onder invloed van de zwaartekracht. De massa oscilleert dus heen en weer en passeert elk vast tijdsinterval dezelfde positie indien de wrijving met de lucht verwaarloosd kan worden: we spreken over een ongedempte slinger. Indien we rekening moeten houden met de wrijving met de lucht, zal de slinger steeds kleinere oscillaties maken totdat hij volledig stopt: we spreken over een gedempte slinger. Een gelijkaardige oscillatie ontstaat bij een trekveer waaraan een massa is bevestigd.

  • 1. Ongedempte Slinger
  • 2. Gedempte Slinger
  • 3. Ongedempte TrekVeer
  • 4. Gedempte TrekVeer

4.1.

Ongedempte Slinger

Op de verticale as staan de uitwijkingen van de slinger ten opzichte van de stilstaande evenwichtspositie.[br][br]Deze app is gebaseerd op [url=https://www.geogebra.org/m/KNqZnqx8]Precalculus - De harmonische trilling: wiskundige slinger van Koen De Naeghel[/url].
– Paul Verheyen

4.2.

–

4.3.

–

4.4.

–

Information