[size=85](*) Para visualizar en modo RA (realidad aumentada), usar la actividad [url=https://www.geogebra.org/m/pxgsvpdh]https://www.geogebra.org/m/pxgsvpdh[/url].[br]Esta no se puede, pues contiene dos applets.[/size]

Para modelizar el macetero, el primer paso será analizar qué elementos matemáticos lo componen:[br][list][*]El cuerpo es un [b]paraboloide [/b]de revolución (se obtiene girando una [b]parábola [/b]alrededor de un eje).[/*][*]Las patas son tres [b]esferas [/b]del mismo radio, tangentes al paraboloide, cuyos centros forman un triángulo equilátero.[/*][/list]Para abrir las opciones de configuración del macetero del modelo anterior, pulsa sobre la esfera de color marrón, y podrás mover los puntos con los que:[br][list][*]modificar la altura del macetero,[/*][*]modificar hasta qué altura baja,[/*][*]cambiar su apertura (apertura de la parábola) y[/*][*]elegir el punto de tangencia de las esferas.[br][/*][/list]

Para crear este modelo, tendremos que resolver diferentes problemas matemáticos.[br][list][*]En primer lugar, dibujar la parábola cuyo perfil genera el paraboloide (al girar alrededor del eje Y).[/*][*]Al situar un punto sobre la parábola, encontrar la esfera tangente en ese punto, que también es tangente al eje X, para que así, la esfera apoye en el suelo.[br][/*][/list]

[list][*]Situando el vértice de la parábola en el eje Y, podemos escribir su ecuación como[br][/*][/list][size=150][center][math]y=a x^2+h_0[/math][/center][/size]donde [math]h_0[/math] es la altura mínima del macetero. En nuestro caso, elegimos [math]h_0[/math] directamente en el applet.[br][list][*]La altura h, hasta la que llegará el macetero y la apertura [i]p[/i] que tendrá en ese momento, se determinan mediante un punto [i](p,h)[/i] del borde superior del macetero.[br][/*][/list]Según nuestra ecuación, debe ocurrir[br][math]h=a\cdot p^2+h_0[/math], de donde podemos deducir el valor [math]a=\frac{h-h_0}{p^2}[/math].[br][br][list][*]Por último, el [b]dominio[/b] de nuestra función (el macetero no es infinito), será para valores de [i]x[/i] entre [i]-p[/i] y [i]p[/i] (también podemos tomar entre [i]0[/i] y [i]p[/i], pues vamos a calcular la superficie de revolución).[br]Tal y como hemos elegido la fórmula, su recorrido será entre [math]h_0[/math] y [math]h[/math].[br][/*][/list][br][list][*]Una vez obtenida la parábola, para obtener el macetero, basta con generar la superficie de revolución correspodiente.[br][/*][/list]

[list][*]Dado un punto [math]P=(x,ax^2+h_0)[/math] de la parábola, nuestro problema es encontrar el centro de la circunferencia tangente que dista igual del eje X que de la parábola. [/*][*]Como la circunferencia debe ser tangente a la parábola, este punto debe encontrarse en la recta perpendicular a la parábola P, pues el radio de la circunferencia es perpendicular a su recta tangente.[/*][*]Por tanto, tendremos que calcular la recta perpendicular a la parábola en P, y luego elegir el punto de esa recta que dista igual de P y del eje X.[br][/*][/list][br][list][*]Derivando en la ecuación de la parábola, [math]y'=2ax[/math] obtenemos un vector tangente en P, [math]\overrightarrow{(x,2ax)}[/math], de módulo [math]l=\sqrt{1+4a^2x^2}[/math].[/*][/list][br]Por tanto, un vector normal unitario a la parábola en P es [math]\frac{1}{l}\overrightarrow{(2ax,-1)}[/math], y cualquier punto de la recta perpendicular a la parábola puede expresarse como [math]C=P+t\cdot\frac{1}{l}\overrightarrow{(2ax,-1)}[/math], donde [math]t[/math], y también será el [b]radio de la esfera tangente[/b].[br][br]Calculando la componente en Y en la expresión de C, obtenemos [math]y(C)=y(P)+t\cdot\frac{-1}{l}[/math].[br]Resolviendo la ecuación [math]t=y(P)-t\cdot\frac{1}{l}[/math], resulta [math]t=\frac{y(P)}{1+\frac{1}{l}}[/math].[br]Por tanto, para [math]P=(x,ax^2+h_0)[/math], [math]l:=\sqrt{1+4a^2x^2}[/math],[br][list][*]el [b]centro de la esfera[/b] es [math]C=P+\frac{l\cdot y(P)}{l+1}\cdot \frac{1}{l}\overrightarrow{(2ax,-1)}[/math]. Simplificando, [math]C=P+\frac{y(P)}{l+1}\overrightarrow{(2ax,-1)}[/math] y [/*][*]el [b]radio de la esfera[/b] es [math]r=\frac{l\cdot y(P)}{l+1}[/math].[/*][/list]Para terminar la construcción, bastará con generar la primera esfera, con los datos anteriormente calculados, y después las otras dos, aplicando giros de 120º alrededor del eje Y.