En esta actividad, utilizaremos la [b]hoja de cálculo[/b] de GeoGebra como puente conceptual: las celdas nos permitirán hacer visible la t[i]asa de variación[/i] y usar la propia sintaxis del programa como una primera aproximación amable al lenguaje algebraico formal.

Imaginemos que en un comedor escolar unimos mesas cuadradas en fila. [b]Una mesa[/b] aislada acomoda a [b]4[/b] alumnos. Si unimos [b]dos mesas[/b], caben [b]6 alumnos[/b]. Si unimos [b]tres[/b], caben [b]8[/b].

Observad la columna C. ¿Cómo ayuda visualmente a los alumnos ver que la diferencia siempre es 2 para asentar el concepto de "crecimiento constante"?

Al escribir [code]=2*A2 + 2[/code], obligamos al alumno a utilizar la celda [code]A2[/code] como variable independiente. ¿Qué ventajas tiene esta sintaxis informática frente a pedirles directamente que escriban la expresión en papel?

Imagina que tienes fichas y quieres formar triángulos así:[br][list][*]Triángulo 1: solo 1 ficha (el vértice)[/*][*]Triángulo 2: 3 fichas (una fila de 1, una fila de 2)[/*][*]Triángulo 3: 6 fichas (filas de 1, 2 y 3)[/*][*]Triángulo 4: 10 fichas (filas de 1, 2, 3 y 4)[/*][/list][br]¿Cuántas fichas necesitas para formar el triángulo número 10? ¿Y el triángulo número 50? ¿Existe una fórmula que te permita calcular el número de fichas para cualquier posición n?[br][br]Vamos a usar la hoja de cálculo de GeoGebra para descubrirlo.

[b]Paso 1.[/b] En la celda A2 escribe [code]1[/code]. Esta es la posición del primer triángulo.[br][br][b]Paso 2.[/b] En la celda A3 escribe [code]=A1+1[/code]. Esto genera la posición 2.[br][br][b]Paso 3.[/b] Selecciona la celda A3, haz clic en la esquina inferior derecha de la celda y arrastra hacia abajo hasta A11. GeoGebra rellenará automáticamente las posiciones 1, 2, 3... hasta 10.[br][br][b]Paso 4.[/b] En la celda B2 escribe [code]1[/code]. Este es el número de fichas del triángulo 1.[br][br][b]Paso 5.[/b] En la celda B3 escribe [code]=B2+A3[/code]. Esto suma al total anterior la nueva fila que acabas de añadir (que tiene tantas fichas como la posición).[br][br][b]Paso 6.[/b] Arrastra B3 hacia abajo hasta B11, igual que hiciste con la columna A.[br][br][b]Paso 7.[/b] Observa la columna B. ¿Reconoces la secuencia 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55?[br][br][b]Resultado esperado:[/b] dos columnas, una con las posiciones n (1, 2, 3...) y otra con los números triangulares correspondientes.

A la izquierda tienes un modelo de los [b]Números Triangulares[/b]. Mueve el deslizador y observa cómo crece la figura. A la derecha, vamos a "[i]fabricar[/i]" la fórmula que predice las bolas para cualquier tamaño.[br][list=1][*][b]Columna A:[/b] Pon los números del 1 al 10 (valor de [code]n[/code]).[/*][*][b]Columna B:[/b] Escribe el recuento real de bolas que ves en el applet para cada [code]n[/code]: 1, 3, 6, 10...[/*][*][b]Columna C (Primer Intento):[/b] Sospechamos que el crecimiento tiene que ver con cuadrados. Escribe [code]=A2^2[/code] y arrastra. ¡Nos pasamos mucho! (1, 4, 9, 16...).[/*][*][b]Columna D (Ajuste):[/b] Probemos con la mitad de ese cuadrado. Escribe [code]=C2/2[/code] y arrastra. (0.5, 2, 4.5, 8...). Nos acercamos a la columna B, pero falta un poco.[/*][*][b]Columna E (El residuo):[/b] ¿Qué nos falta exactamente? Calculemos la diferencia entre la realidad (B) y nuestro ajuste (D). Escribe [code]=B2-D2[/code] y arrastra.[/*][*][b]El descubrimiento:[/b] Observa los valores de E (0.5, 1, 1.5, 2...). ¡Es la mitad de la columna A! Es decir, [code]=A2/2[/code].[/*][*][b]Fórmula Final:[/b] Suma tus hallazgos algebraicos: [math]$\frac{n^2}{2} + \frac{n}{2}$[/math].[/*][/list]

[list=1][*]¿Cuántas fichas necesitas para el triángulo 10? ¿Y para el triángulo 15?[/*][*]Sin usar la hoja de cálculo, ¿puedes predecir cuántas fichas tiene el triángulo 11?[/*][*]¿Ves algún patrón en cómo crecen los números de la columna B?[/*][*]Si un alumno te dice que ha formado un triángulo con 21 fichas, ¿qué posición ocupa ese triángulo?[/*][/list]

[list=1][*]Añade una columna C que calcule la diferencia entre números triangulares consecutivos (B2-B1, B3-B2, etc.). ¿Qué secuencia obtienes? ¿Por qué?[/*][*]El número triangular en la posición n se puede calcular como la suma 1+2+3+...+n. ¿Conoces la fórmula de Gauss para esa suma? Añade una columna D que calcule [code]=A*((A+1)/2[/code] y compárala con la columna B. ¿Qué observas?[/*][*]En la celda E1 escribe la fórmula [code]=A1*(A1+1)/2[/code] y arrástrala hacia abajo. Acabas de [b]generalizar[/b] el patrón. ¿En qué se diferencia esta columna de la B, aunque den el mismo resultado?[/*][*]Usa la fórmula para calcular el triángulo en la posición 100 sin rellenar 100 filas.[/*][/list]

[b]Ampliación: el problema inverso[/b][br]Si te digo que un número triangular vale 210, ¿en qué posición está?[br]La fórmula es [code]T(n) = n(n+1)/2[/code]. Si [code]T(n) = 210[/code], entonces [code]n(n+1)/2 = 210[/code], es decir, [code]n² + n - 420 = 0[/code].[br]En el siguiente capítulo aprenderás a resolver esta ecuación en la vista CAS de GeoGebra. Por ahora, puedes buscar la respuesta en tu hoja de cálculo ampliando las filas hasta encontrar 210 en la columna B.[br][br][b]Profundización: otros números figurados[/b][br]Los números triangulares forman triángulos. ¿Qué pasa si en lugar de triángulos formas cuadrados?[br][br][list][*]Cuadrado 1: 1 ficha[/*][*]Cuadrado 2: 4 fichas (2×2)[/*][*]Cuadrado 3: 9 fichas (3×3)[/*][/list][br]Crea una nueva columna para números cuadrados y otra para números pentagonales (la fórmula es [code]n(3n-1)/2[/code]). ¿Qué patrones encuentras?

Lo que acabamos de hacer es [b]pensar algebraicamente[/b]:[br][list=1][br][*]Hemos observado casos concretos (triángulo 1, 2, 3...).[/*][*]Hemos organizado la información en una estructura (la tabla).[/*][*]Hemos buscado un patrón (la diferencia crece de 1 en 1).[/*][*]Hemos encontrado o verificado la expresión general ([code]n(n+1)/2[/code]).[/*][/list][br]La hoja de cálculo no te da la fórmula: te da el [b]espacio para descubrirla[/b]. Y eso es exactamente lo que hacen tus alumnos cuando generalizan un patrón.[br][br]En el próximo capítulo vamos a trabajar con la [b]vista CAS[/b] de GeoGebra para manipular esas expresiones de forma simbólica: expandir, factorizar, resolver ecuaciones.