[size=150][b][u][color=#1e84cc]Integrales de funciones de una variable.[br][/color][/u][/b][/size][br]La noción de integración tiene tres aspectos básicos: (i) su definición y su interpretación geométrica, (ii) el teorema fundamental del cálculo que relaciona la integración con la derivación, y (iii) las técnicas de integración, como integración bajo un cambio de variable. Discutamos estos tres aspectos en lo que sigue.[br][br]Asumamos en lo que sigue que [math]f(x):[a,b]\rightarrow \mathbb{R}[/math] es una función continua. [br][br]Su gráfico sobre [math][a,b][/math] puede encerrar una región por encima del eje-[math]x[/math] y una región por debajo del eje-[math]x[/math]. La suma signada de sus áreas, es decir contabilizando la región superior como de área positiva y la inferior como de área negativa, es la integral de [math]f(x)[/math] entre [math]a[/math] y [math]b[/math].[br][br]Dicha área signada puede calcularse como un límite de las llamadas sumas de Riemann,[br][br][math][br]\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{i=1}^{n-1} f(x_{i})\Delta x,[br][/math][br][br]donde [math]x_{i}=a+i(b-a)/n[/math] y [math]\Delta x=(b-a)/n[/math]. Observe que [math]n[/math] es igual al número de subdivisiones del intervalo [math][a,b][/math] de longitud [math]\Delta x[/math]. El límite [math]n\rightarrow \infty[/math] corresponde a un número infinito de divisiones. Cada suma o suma de Riemann, antes de tomar el límite [math]n\rightarrow \infty[/math], es igual a la suma signada de las áreas de los rectángulos de base [math]\Delta x[/math] y altura [math]f(x_{i})[/math]. Lo de "signada" se debe a que si [math]f(x_{i})>0[/math] el sumando [math]f(x_{i})\Delta x[/math] es igual al área del correspondiente rectángulo, y si [math]f(x_{i})<0[/math] entonces el sumando [math]f(x_{i})\Delta x[/math] es igual a menos el área del correspondiente rectángulo. [br][br]Un esquema de dichas sumas puede verse debajo. En dicho gráfico [math]n[/math] representa el número de divisiones del intervalo [math][0,4][/math] en el que se está calculando la suma de Riemann.

El teorema fundamental del cálculo asevera que la función de [math]x[/math],[br][br][math][br]F(x)=\int_{a}^{x}f(y)dy,[br][/math][br][br]es [math]C^{1}[/math] (recuerde que asumimos [math]f(x)[/math] continua), y su derivada es el integrando [math]f(x)[/math]. De aquí se deduce que se puede calcular la integral de [math]f(x)[/math] si se conoce una primitiva.[br][br]A veces las primitivas pueden darse de forma explícita en términos de funciones elementales (como [math]e^{x}[/math], [math]\sin x[/math] o combinaciones), otras veces (la mayoría), no.[br][br]En cuanto al cálculo de primitivas, hay técnicas que ayudan. Una de ellas es la fórmula de integración por partes, otra es la fórmula de cambio de variable. Concentremonos en esta último cuya generalización a funciones de varias variables vamos a discutir en detalle luego. El teorema de cambio de variable dice que que si [math]\phi:[c,d]\rightarrow [a,b][/math] es una función [math]C^{1}[/math] entonces, [br][br][math][br]\int_{\phi(c)}^{\phi(d)}f(x)dx=\int_{c}^{d}f(\phi(y))\phi'(y)dy[br][/math][br][br]Si [math]\phi(c)=a[/math] y [math]\phi(d)=b[/math] entonces la integral del miembro izquierdo de la fórmula anterior es [math]\int_{a}^{b}f(x)dx[/math].[br][br]El estudiante debe estar acostumbrado al uso e importancia de esta fórmula por lo que sus modos de empleo y aplicaciones no van a ser discutidas. Otra manera de escribir la fórmula es,[br][br][math][br]\int_{\phi([a,b])}f(x)dx=\int_{[a,b]}f(\phi(y))\phi'(y)dy,[br][/math][br][br]Y si denotamos [math]D=[a,b][/math], [math]\bar{D}=\phi([a,b])[/math] y [math]x=\bar{y}[/math], entonces,[br][br][math][br]\int_{\bar{D}}f(\bar{y})d\bar{y}=\int_{D}f(\phi(y))|J\phi(y)|dy.[br][/math][br][br]donde escribimos intencionalmente a [math]\phi'(y)[/math] como el Jacobiano [math]|J\phi(y)|[/math] de la función real de una variable [math]\phi[/math], ya que en este caso la matriz Jacobiana es una matriz [math]1\times 1[/math] cuya única entrada es [math]\phi'(y)[/math]. La razón de presentar la fórmula de ese modo es para darla tal cual se generaliza a integrales de funciones de varias variables.[br][br][size=150][b][u][color=#1e84cc]Integración de funciones de varias variables.[br][br][/color][/u][/b][/size]Veamos cómo se define la integral de funciones de varias variables. Comencemos tratando la integración de funciones continuas de dos variables definidas en un rectángulo. [br][br]Asumimos entonces que [math]f(x,y):D=[a,b]\times [c,d]\rightarrow \mathbb{R}[/math] es continua.[br][br]La integral,[br][br][math][br]\int_{D}f(x,y)dxdy[br][/math],[br][br]se define como el volumen signado, debajo de la gráfica de [math]f(x,y)[/math] sobre el rectángulo [math]D[/math] sobre el que se está integrando. Es decir, la integral es el volumen por encima del plano [math]x-y[/math] y debajo del gráfico, menos el volumen debajo del plano [math]x-y[/math] y arriba del gráfico de [math]f(x,y)[/math].[br][br]Dicha integral puede calcularse como el límite de las sumas de Riemann,[br][br][math][br]\int_{D}f(x,y)dxdy=\lim_{n,m\rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}f(x_{i},y_{j})\Delta x\Delta y,[br][/math][br][br]donde [math]\Delta x=(b-a)/n[/math] y [math]\Delta y=(d-c)/m[/math], y [math]x_{i}=a+i\Delta x[/math], [math]y_{j}=c+j\Delta y[/math]. Los puntos [math]x_{i}[/math] y [math]x_{j}[/math] son los vértices de la grilla que se forma al dividir [math][a,b][/math] en [math]n[/math]-segmentos de longitud [math]\Delta x[/math] y [math][c,d][/math] en [math]m[/math] segmentos de longitud [math]\Delta y[/math]. Es decir, [br]para la suma de Riemann, se divide al rectángulo [math][a,b]\times [c,d][/math] en [math]n\times m[/math] rectángulos de lados [math]\Delta x[/math] y [math]\Delta y[/math], luego se suman los volúmenes signados de los prismas con esa base y altura [math]f(x_{i},y_{j})[/math]. Si [math]f(x_{i},y_{j})>0[/math] el sumando es igual al volumen del prisma y si [math]f(x_{i},y_{j})<0[/math] el sumando es igual a menos el volumen del prisma. [br][br]Un esquema de dichas sumas puede verse debajo.

La integral de [math]f(x,y)[/math] en [math]D=[a,b]\times [c,d][/math] es el límite de la suma doble,[br][br][math][br]\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=1}^{m-1}f(x_{i},y_{j})\Delta x\Delta y[br][/math][br][br]cuando [math]n,m[/math] tienden a infinito. Si tomamos primero el límite [math]m\rightarrow \infty[/math] obtenemos,[br][br][math][br]\sum_{i=1}^{n-1}\int_{c}^{d}f(x_{i},y)dy,[br][/math][br][br]y si luego tomamos el límite en [math]n\rightarrow \infty[/math] obtenemos,[br][br][math][br]\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{i=1}^{n-1}\int_{c}^{d}f(x_{i},y)dy=\int_{a}^{b}\left(\int_{c}^{d}f(x,y)dy\right)dx[br][/math][br][br]Deducimos por lo tanto que,[br][br][math][br]\int_{D}f(x,y)dxdy=\int_{a}^{b}\left(\int_{c}^{d}f(x,y)dy\right)dx.[br][/math][br][br]Es decir que la integral de [math]f(x,y)[/math] puede calcularse haciendo consecutivamente dos integragles ordinarias de una variables. Esta forma de calcular la integral se llama por integrales iteradas. Cuando [math]f(x,y)[/math] es continua, ésta fórmula es válida.[br][br]Por supuesto que podríamos haber tomado el límite en [math]n[/math] primero y luego en [math]m[/math], obteniendo,[br][br][math][br]\int_{D}f(x,y)dxdy=\int_{c}^{d}\left(\int_{a}^{b}f(x,y)dx\right)dy.[br][/math][br][br]Para quién la mira por primera vez, la notación,[br][br][math][br]\int_{D}f(x,y)dxdy,[br][/math][br][br]puede dar la impresión de que de alguna forma [math]dxdy[/math] delata un orden particular, o una prioridad particular, entre las variables [math]x[/math] y [math]y[/math]. Naturalmente que ese no es el caso, simplemente el elemento de área debe indicarse de algún modo, como [math]dA=dxdy[/math] o [math]dA=dydx[/math]. Justamente, para evitar esa ambigüedad y darle a la expresión un significado más geométrico, es que se escribe a menudo a la integral como,[br][br][math][br]\int_{D}f(x,y)dA.[br][/math]

El teorema de cambio de variables para integrales de funciones de varias variables se enuncia del siguiente modo.[br][br]Pongamos que lo que se está calculando es la integral,[br][br][math][br]\int_{\bar{D}}f(\bar{x}_{1},\ldots,\bar{x}_{n})d\bar{x}_{1}\ldots d\bar{x}_{n}[br][/math][br][br]El dominio [math]\bar{D}[/math] es una región de [math]\mathbb{R}^{n}[/math], sobre el que se usan por conveniencia en la presentación las coordenadas [math]\bar{x}_{1},\ldots,\bar{x}_{n}[/math], con una barra encima. La coordenadas se relacionan con las nuevas coordenadas, [math]x_{1},\ldots,x_{n}[/math], por una función [math]\phi:D\rightarrow \bar{D}[/math],[br][br][math][br](\bar{x}_{1},\ldots,\bar{x}_{n})=\phi(x_{1},\ldots,x_{n}),[br][/math][br][br]Es decir, que mientras las coordenadas [math]x_{1},\ldots,x_{n}[/math] varían en la región [math]\bar{D}[/math], las coordenadas [math]x_{1},\ldots,x_{n}[/math] varían en la región [math]D[/math]. Entonces,[br][br][math][br]\int_{\bar{D}}f(\bar{x}_{1},\ldots,\bar{x}_{n})d\bar{x}_{1}\ldots d\bar{x}_{n}=\int_{D}f(\phi(x_{1},\ldots,x_{n}))|J\phi(x_{1},\ldots,x_{n})|dx_{1}\ldots dx_{n}.[br][/math][br][br]Aquí [math]|J\phi(x_{1},\ldots,x_{n})|[/math] es el valor absoluto del Jacobiano, es decir del determinante de la matriz Jacobiana asociada a [math]\phi[/math]. [br][br]Esta fórmula generaliza a la dada en la sección anterior para integrales de funciones de una variable.[br][br]Lo importante a tener en cuenta en esta fórmula es que al cambiar de variables se cambia el diminio de integración, se cambia el integrando y se cambia el elemento de hipervolumen, específicamente se necesitan los siguientes cambios,[br][br][math][br]\begin{align}[br]\bar{D}\ &\rightarrow D,\\[br]f(\bar{x}_{1},\ldots,\bar{x}_{n})\ &\rightarrow \ f(\phi(x_{1},\ldots,x_{n})),\\[br]d\bar{x}_{1}\ldots d\bar{x}_{n}\ &\rightarrow \ |J\phi(x_{1},\ldots,x_{n})| dx_{1}\ldots dx_{n}[br]\end{align}[br][/math][br][br]Comencemos a explorar la fórmula con ejemplos.[br][br][b][color=#ff0000]Ejemplo.[/color][/b] Comencemos proponiendo calcular la integral,[br][br](1)[math][br]\quad \int_{D}\sqrt{1-(x^{2}+y^{2})}dxdy,[br][/math][br][br]donde [math]D[/math] es el disco de radio [math]1[/math] en [math]\mathbb{R}^{2}[/math]. El gráfico de l integrando [math]\sqrt{1-(x^{2}+y^{2})}[/math] es el hemisferio superior de la esfera de centro [math](0,0,0)[/math] radio [math]1[/math]. Esto se ve directamente del hecho que la ecuación de la esfera de radio [math]1[/math] es,[br][br][math][br]x^{2}+y^{2}+z^{2}=1,[br][/math][br][br]y que por lo tanto la ecuación del hemisferio superior es [math]z=\sqrt{1-(x^{2}+y^{2})}[/math].[br][br]De la interpretación geométrica de la integral como volumen signado y del hecho que el volumen encerrado por la esfera de radio [math]1[/math] es [math]4\pi/3[/math] deducimos que (1) debe ser igual a [math]2\pi/3[/math]. [br][br]Ahora, la forma simple de calcular la integral es apelando a un cambio de variable, de cartesianas [math]x,\ y[/math] a polares [math]r,\ \theta[/math],[br][br][math][br]\left\{[br]\begin{align}[br]& x=r\cos \theta,\\[br]& y=r\sin \theta.[br]\end{align}[br]\right.[br][/math][br][br]De aquí que el cambio de coordenadas queda expresado por la función,[br][br][math][br]\phi(r,\theta)=(x,y)=(r\cos \theta,r\sin \theta),[br][/math][br][br]cuya matriz Jacobiana es,[br][br][math][br]J\phi(r,\theta)=[br]\left([br]\begin{matrix}[br]\partial_{r} x & \partial_{\theta} x\\[br]\partial_{r} y & \partial_{\theta} y[br]\end{matrix}[br]\right)=[br]\left([br]\begin{matrix}[br]\cos \theta & -r\sin\theta\\[br]\sin \theta & r\cos\theta[br]\end{matrix}[br]\right).[br][/math][br][br]Por lo tanto el valor absoluto del Jacobiano es [math]|J\phi(r,\theta)|=r[/math]. Podemos escribir,[br][br][math][br]dxdy=r dr d\theta.[br][/math][br][br]El integrando en polares queda [math]\sqrt{1-(x^{2}+y^{2})}=\sqrt{1-r^{2}}[/math]. Resta especificar como queda la región [math]D[/math] (el disco de radio uno) en coordenadas polares, es decir, que región en el plano [math]r-\theta[/math] describe al disco de radio uno en el plano [math]x-y[/math]. La respuesta es que el radio [math]r[/math] varía entre [math]0[/math] y [math]1[/math] mientras que el ángulo [math]\theta[/math] varía entre [math]0[/math] y [math]2\pi[/math]. La nueva región de integración es por lo tanto el rectángulo [math][0,1]\times [0,2\pi][/math]. La integral (1), en coordenadas polares es finalmente,[br][br][math][br]\int_{[0,1]\times [0,2\pi]}\sqrt{1-r^{2}}rdrd\theta[br][/math][br][br]que se calcula por integrales iteradas, primero en [math]r[/math] y luego en [math]\theta[/math] (o al revés) obteniendo [math]2\pi/3[/math]. [br][br][b][color=#ff0000]Ejemplo.[/color][/b] Calculemos ahora el volumen de la semiesfera usando coordenadas polares. Podemos escribir al volumen como,[br][br](2)[math][br]\quad V=\int_{E}dxdydz[br][/math][br][br]donde justamente [math]E[/math] es la región que representa la esfera de radio uno. Si bien esta integral puede calcularse como integrales iteradas, resultando luego de integrar en [math]z[/math] en dos veces la integral anterior, una manera natural es usando el cambio de coordenadas de cartesianas a esféricas,[br][br][math][br]\left\{[br]\begin{align}[br]& x=r\sin\theta\cos\varphi,\\[br]& y=r\sin\theta\sin\varphi,\\[br]& z=r\cos\theta[br]\end{align}[br]\right.[br][/math][br][br]El Jacobiano de [math]\phi(r,\theta,\varphi)=(x,y,z)[/math] es [math]|J\phi(r,\theta,\varphi)|=r^{2}\sin\theta[/math] y la región [math]E[/math] se transforma en la región [math][0,1]\times [0,\pi]\times [0,2\pi][/math] donde [math]r[/math] varía en [math][0,1][/math], [math]\theta[/math] varía en [math][0,\pi][/math], y [math]\varphi[/math] varía en [math][0,2\pi][/math]. Por lo tanto,[br][br][math][br]V=\int_{[0,1]\times [0,\pi]\times [0,2\pi]}r^{2}\sin\theta drd\theta d\varphi.[br][/math][br][br]Luego de integrar iteradamente en [math]r, \theta[/math] y [math]\varphi[/math] obtenemos [math]V=4\pi/3[/math].