[right][i][b][size=50][color=#ff7700]23. Juni 2020[/color] [/size][/b][/i][b][size=50][color=#000000]Diese Aktivität ist eine Seite[/color][/size][/b][i][b][size=50][color=#000000] des[/color] [color=#980000][url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]geogebra-books Moebiusebene[/url][/color][/size][/b][/i][br][/right][size=85][size=50]Diese und die folgenden Seiten sollten eigentlich den Titel "Kreise auf Mittelpunktsquadriken" erhalten, jedoch erschien uns der Titel zu lang![br]In der vorliegenden Aktivität werden [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] auf [color=#351C75][i][b]Ellipsoiden[/b][/i][/color] und auf [color=#351C75][i][b]einschaligen Hyperboloiden[/b][/i][/color] angezeigt.[br]Die nächsten Seiten sollen [math]\rightharpoonup[/math] [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] auf [color=#351C75][i][b]2-schaligen Hyperboloiden[/b][/i][/color] und [math]\rightharpoondown[/math] auf [color=#351C75][i][b]Paraboloiden[/b][/i][/color] behandeln.[/size] [br][u][i][b]Hauptthema: [/b][/i][/u][i][b][color=#ff0000] Kreise[/color][/b][/i] auf [color=#0000ff][i][b]DARBOUX Cycliden[/b][/i][/color][br]Möbiusgeometrisch sind [i][b]Quadriken[/b][/i] spezielle [color=#0000ff][i][b]DARBOUX Cycliden[/b][/i][color=#000000], nämlich solche, für die [math]\infty[/math] ein mindestens doppelt-zählender [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color] ist. [/color][/color][br][color=#0000ff][i][b]DARBOUX Cycliden[/b][/i][/color] sind das räumliche Pendant von [color=#ff7700][i][b]bizirkularen Quartiken[/b][/i][/color]: [br] zur Gleichung dieser Flächen siehe [math]\hookrightarrow[/math] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/shzzaxsr]Blaschke's Frage und Darboux Cycliden[/url][br]Die Schnitte einer [/size][size=85][size=85][color=#0000ff][i][b]DARBOUX Cyclide[/b][/i][/color][/size] mit [color=#ff0000][i][b]Kugeln[/b][/i][/color] - oder [color=#ff0000][i][b]Ebenen[/b][/i][/color], sind [color=#ff7700][i][b]bizirkulare Quartiken[/b][/i][/color]. Andererseits kann man jede [color=#ff7700][i][b]bizirkulare Quartik [/b][/i][/color]als Schnitt einer [color=#351C75][i][b]Quadrik[/b][/i][/color] mit einer [color=#ff0000][i][b]Kugel[/b][/i][/color] charakterisieren! [br]Wie findet man [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] auf [color=#351C75][i][b]Quadriken[/b][/i][/color] - oder allgemeiner - auf [color=#0000ff][i][b]DARBOUX Cycliden[/b][/i][/color]?[br][u][i]Folgende Aussage hilft bei der Suche: [/i][/u]eine [color=#ff0000][i][b]Kugel[/b][/i][/color], welche eine [/size][size=85][size=85][color=#0000ff][i][b]DARBOUX Cyclide[/b][/i][/color][/size] [b]doppelt [/b]- also in 2 [color=#980000][i][b]Punkten[/b][/i][/color] - berührt, schneidet die [/size][size=85][size=85][color=#0000ff][i][b]Cyclide[/b][/i][/color][/size] in einem oder in 2 [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color]! [br] - Diese [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] können imaginär sein: die doppeltberührende [color=#ff0000][i][b]Kugel [/b][/i][/color]liegt - vom Berührpunkt abgesehen, ganz im Inneren, bzw. ganz im Äußeren der [color=#0000ff][i][b]Cyclide[/b][/i][/color].[br] - Die [color=#ff0000][i][b]Kugel[/b][/i][/color] berührt längs des [color=#ff0000][i][b]Kreises[/b][/i][/color]: dies ist zB. bei [color=#351C75][i][b]rotationssymmetrischen Quadriken[/b][/i][/color], oder beim [color=#073763][i][b]Torus[/b][/i][/color] der Fall.[br] - [color=#ff0000][i][b]Ebenen[/b][/i][/color] als doppelt berührende [color=#ff0000][i][b]Kugeln[/b][/i][/color] können in 2 [color=#ff0000][i][b]Geraden[/b][/i][/color] schneiden: wie sie sich zB. als Erzeugende bei [color=#351C75][i][b]einschaligen Hyperboloiden[/b][/i][/color] finden lassen! Die [color=#ff0000][i][b]doppelt-berührenden Ebenen[/b][/i][/color] des [color=#20124D][i][b]Torus[/b][/i][/color] schneiden diesen in den [b]VILLARCEAU[/b]-[color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color]![br][br]Eine [color=#BF9000][i][b]Symmetriekugel[/b][/i][/color] oder [color=#BF9000][i][b]Symmetrie-Ebene[/b][/i][/color] einer [/size][size=85][size=85][size=85][color=#0000ff][i][b]DARBOUX Cyclide[/b][/i][/color][/size][/size] schneidet diese natürlich auch in einer [color=#ff7700][i][b]bizirkularen Quartik[/b][/i][/color]. Im Kapitel [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#chapter/168951]Hermite Abbildungen und bizirkulare Quartiken[/url] dieses [color=#980000][i][b]books[/b][/i][/color] haben wir uns ausführlich mit den [color=#ff0000][i][b]doppelt-berührenden Kreise[/b][/i][i][b]n[/b][/i][/color] von [color=#0000ff][i][b]bizirkularen Quartiken[/b][/i][/color] beschäftigt. Konstruieren lassen sie sich einfach mit Hilfe der [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] und der [color=#00ffff][i][b]Leitkreise[/b][/i][/color] bzw. [color=#00ffff][i][b]Leitgeraden[/b][/i][/color].[br]Zu einem solchen [color=#ff0000][i][b]doppelt-berührenden Kreis[/b][/i][/color] gehört bezüglich der [color=#BF9000][i][b]Symmetriekugel[/b][/i][/color] eine ebenfalls symmetrisch liegende [color=#ff0000][i][b]doppelt-berührende Kugel[/b][/i][/color], welche die [color=#0000ff][i][b]Cyclide[/b][/i][/color] in einem oder 2 reellen [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color] schneiden kann![br]Für die [color=#351C75][i][b]Quadrik[/b][/i][/color] oben konstruieren wir auf den [color=#BF9000][i][b]Symmetrieebenen[/b][/i][/color] die [color=#ff0000][i][b]doppelt-berührenden Kreise[/b][/i][/color] und dazu die[color=#ff0000][i][b] doppelt berührenden Kugeln[/b][/i][/color]. [/size]

[size=50][size=85]Die Gleichung der [color=#351C75][i][b]Quadrik[/b][/i][/color]: [math]A_x\cdot x^2+B_y\cdot y^2+C_z\cdot z^2=1[/math] mit [math]A_x\le B_y[/math]. Für [math]C_z<0[/math] ergibt sich ein [color=#351C75][i][b]Hyperboloid[/b][/i][/color].[br]Die Konstruktion der [color=#ff7700][i][b]Quadrik-Kreise[/b][/i][/color] mittels der [color=#1e84cc][i][b]Leitgeraden[/b][/i][/color] wird nur für [math]0\le A_x\le C_z\le B_y[/math] durchgeführt.[br]Die Schnitte mit den [color=#BF9000][i][b]Koordinatenebenen[/b][/i][/color] sind [color=#ff7700][i][b]Ellipsen[/b][/i][/color] und /oder [color=#ff7700][i][b]Hyperbeln[/b][/i][/color] (für [math]C_z < 0[/math]).[br]Die meisten doppelt-berührenden [color=#ff0000][i][b]Kugeln[/b][/i][/color] liegen außerhalb oder innerhalb der [color=#351C75][i][b]Quadrik[/b][/i][/color], von den [color=#980000][i][b]Berührpunkten[/b][/i][/color] abgesehen![br]Leider unterstützt[color=#980000][i][b] ge[/b][/i][/color][icon]/images/ggb/toolbar/mode_intersectioncurve.png[/icon][color=#980000][i][b]gebra[/b][/i][/color] den Schnitt zweier Quadriken nicht direkt.[br] Siehe zu den Schnittkurven auch [math]\hookrightarrow[/math] die [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/bzb9hkzq]vorangegangenen Seiten[/url].[br]Die Anzeige der [color=#ff7700][i][b]Höhenlinien[/b][/i][/color] geschieht mit Blick auf [color=#0000ff][i][b]DARBOUX Cycliden[/b][/i][/color], für welche wir (noch?) keine Parameter-Darstellung kennen, und die sich nicht implizit anzeigen lassen! Siehe die Seiten [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/zck7crza]Kreise auf Darboux Cycliden[/url] und folgende.[br][/size][/size]