Jeśli [math]P_0[/math] jest punktem stacjonarnym funkcji i [math]w_2=\det(H(P_0))=0[/math], to funkcja ta może zarówno mieć, jak i nie mieć ekstremum lokalnego w [math]P_0[/math]. Zilustrujemy to na przykładzie funkcji [math]f[/math] i [math]g[/math] określonych wzorami: [center][math]f(x,y)=x^4+y^4[/math], [math]g(x,y)=x^3+y^2[/math] dla [math](x,y)\in\mathbb{R}^2[/math].[/center]Łatwo sprawdzić, że [math]P_0=(0,0)[/math] jest punktem stacjonarnym funkcji [math]f[/math] i [math]g[/math] oraz dla obu funkcji hesjan w punkcie [math]P_0[/math] ma wyznacznik równy zero. Z drugiej strony korzystając z definicji można pokazać, że funkcja [math]f[/math] ma minimum lokalne w [math]P_0[/math], zaś funkcja [math]g[/math] nie ma ekstremum lokalnego w [math]P_0[/math].

a) Uzasadnij korzystając z definicji, że funkcja [math]f[/math] ma minimum lokalne w punkcie [math](0,0)[/math].[br]b) Uzasadnij, że funkcja [math]g[/math] nie ma ekstremum lokalnego w punkcie [math](0,0)[/math]. Zaznacz na wykresie funkcji [math]g[/math] punkt [math]S_1[/math] leżący wyżej niż punkt [math]R[/math] i punkt [math]S_2[/math] leżący niżej niż punkt [math]R[/math].

Wskaż funkcję, dla której [math]w_2=0[/math] w punkcie [math]P_0=(0,0)[/math], przy czym funkcja ta ma maksimum lokalne w [math]P_0[/math]. Możesz zmodyfikować pierwszy aplet.