Tópicos de álgebra linear básica
Nesse livro são exploradas atividades sobre sistemas lineares 2 x 2 e 3 x 3, envolvendo a interpretação geométrica de sistemas lineares, método de cramer, substituição, problemas, etc
Table of Contents
- Operações com matrizes
- Adição e subtração de matrizes
- Produto de Matrizes
- Sistemas 2 x 2
- Reta e Equação
- Sistema 2 x 2 possível e determinado
- Sistema 2 x 2 - "Possível e indeterminado"
- Sistema 2 x 2 - Impossível
- Resolução de sistemas 2 x 2 - Substituição e Cramer
- Sistemas 3 x 3
- Plano e Equação
- Interpretação Geométrica Sistema Possível e determinado
- Interpretação Geométrica Sistema Possível e Indeterminado
- Interpretação Geométrica: Sistema Impossível
- Exercícios sobre interpretação Geométrica de Sistemas 3 x 3
- Problemas
- Problemas Resolvidos
- Problema dinâmico envolvendo sistemas lineares
Adição e subtração de matrizes
Definição
Considere duas matrizes [math]A=\left(a_{^{_{ij}}}\right)_{m\times n}[/math] e [math]B=\left(b_{^{_{ij}}}\right)_{m\times n}[/math], chama-se soma [math]A\plus B[/math] a matriz [math]C=\left(c_{^{_{ij}}}\right)_{m\times n}[/math] tal que [math]c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}[/math], para todo [math]i[/math] e todo [math]j[/math]. Em outras palavras, podemos dizer que a soma de duas matrizes [math]A[/math] e [math]B[/math] de ordem [math]m\times n[/math] é uma matriz [math]C[/math] de mesma ordem em que cada elemento é a soma dos elementos correspondentes em [math]A[/math] e [math]B[/math].[br]Da mesma forma, chama-se diferença[math]A\minus B[/math] a matriz [math]C=\left(c_{^{_{ij}}}\right)_{m\times n}[/math] tal que [math]c_{ij}=a_{ij}-b_{ij}[/math], para todo [math]i[/math] e todo [math]j[/math]. Em outras palavras, podemos dizer que a diferença de duas matrizes [math]A[/math] e [math]B[/math] de ordem [math]m\times n[/math] é uma matriz [math]C[/math] de mesma ordem em que cada elemento é a diferença dos elementos correspondentes em [math]A[/math] e [math]B[/math].
Exemplos com matrizes quadradas de ordem 2
Exemplos com matrizes quadradas de ordem 3
Exemplos com matrizes que não são quadradas
Reta e Equação
Equação da Reta
Uma reta [i]r[/i] pode ser representada por uma equação do tipo [br][br] a[math]x[/math]+b[math]y[/math] = c[br][br]Um ponto P =[math](x, y)[/math] pertence à reta [i]r [/i]se, e somente se, suas coordenadas satisfazem a relação anterior.
Orientações de manipulação
No applet seguinte é possível:[br][list][*]Modificar a posição da reta, alterando os valores de "a", "b", "c", tanto nos controles deslizantes quanto nas caixas. [/*][*]Modificar a posição do ponto ponto P. [/*][/list]
Exemplo
Questão 1
O ponto [math]P = (7, 1)[/math] pertence à reta [math]x-2y=5[/math]?
Questão 2
Altere os valores de "a", "b" e "c" para 1, -2 e 5, respectivamente. Observe a nova posição da reta. É correto afirmar que:
Plano e Equação
Equação do Plano
Um plano [math]\alpha[/math] pode ser representado por uma equação do tipo [br][justify][br] a[math]x[/math]+b[math]y[/math]+c[math]z[/math] = d[br][br]Um ponto P = [math](x, y, z)[/math] pertence ao plano [math]\alpha[/math] se, e somente se, suas coordenadas satisfazem a relação anterior. [br][br][/justify]
Orientações de manipulação
No applet seguinte é possível:[br][list][*]Girar o plano, clicando, segurando e arrastando com o botão direito do mouse. [/*][*]Alterar os valores de "a", "b", "c" e "d", tanto nos seletores, quanto nas caixas. [/*][/list]
Exemplo a
Questão 1
O ponto P = (3, 0, 6) pertence ao plano 2x+4y-3z=-12?
Questão 2
Altere os valores de "b" e "c" para 0 (zero). Observe a nova posição do plano. É correto afirmar que:
Questão 3
Altere os valores de "a" para 2, "b" para 4 e "c" para 0. Observe a nova posição do plano. É correto afirmar que: