[size=85][size=85][size=50][right]Diese Seite ist Teil des [color=#980000][i][b]GeoGebra-Books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url] ([color=#ff7700][i][b]September 2021[/b][/i][/color])[/right][/size][/size][br]Für zwei [color=#0000ff][i][b]W-Bewegungen[/b][/i][/color] in der [color=#0000ff][i][b]Möbiusebene[/b][/i][/color] mit insgesamt 4 verschiedenen [color=#ff7700][i][b]Polen[/b][/i][/color][br]ist der [color=#ff7700][i][b]Ort[/b][/i][/color], in welchem die [color=#0000ff][i][b]W-Kurven[/b][/i][/color] sich berühren, die [color=#0000ff][i][b]Möbiustransformierte[/b][/i][/color] [br]einer [b]Cassini[/b]-[color=#ff7700][i][b]Kurve[/b][/i][/color].[br]Im Applet oben sind die [b]4[/b] verschiedenen [color=#ff7700][i][b]Pole[/b][/i][/color] in [color=#cc0000][i][b]Normalform[/b][/i][/color] [math]p,-p,\frac{1}{p,}-\frac{1}{p}[/math], [math]p\in\mathbb{C}[/math] angeordnet.[br]Der [color=#ff7700][i][b]Berührort[/b][/i][/color], also der Ort, in welchem sich die [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] der beiden [color=#ff0000][i][b]elliptischen Kreisbüschel[/b][/i][/color][br]mit den [color=#ff7700][i][b]Polen[/b][/i][/color] [math]p,-p[/math] und [math]\frac{1}{p,}-\frac{1}{p}[/math] unter konstantem Winkel [math]\varphi[/math] schneiden, entsteht aus[br]einem zum [color=#f1c232][i][b]Einheitskreis[/b][/i][/color] orthogonalen [color=#3c78d8][i][b]Kreis[/b][/i][/color] [math]c[/math] unter der komplexen [color=#9900ff][i][b]Wurzelabbildung[/b][/i][/color].[br]Dieser Ort ist eine [i][b]irreduzible[/b][/i] [b]Cassini[/b]-[color=#ff7700][i][b]Kurve[/b][/i][/color]: je nach Lage des [/size][size=85][color=#0B5394][i][b][size=85][color=#3c78d8][i][b]Kreises[/b][/i][/color][/size][/b][/i][/color] [math]c[/math] zweiteilig, einteilig oder[br]von der Form der [b]Bernoulli[/b]-Lemniskate. [br]Dass dieser [color=#ff7700][i][b]Berührort[/b][/i][/color] nicht in das Produkt von 2 [color=#ff0000][i][b]Kreisgleichungen[/b][/i][/color] zerfallen kann, erkennt man auch[br]daraus, dass die [color=#ff7700][i][b]Pole[/b][/i][/color] Punkte des [color=#ff7700][i][b]Berührortes[/b][/i][/color] sind.[br][br][color=#cc0000][i][b][size=100]Einzige Ausnahme:[/size][/b][/i][/color][br]Dann und nur dann, wenn die [color=#ff7700][i][b]Pole[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]konzyklisch[/b][/i][/color] sind [br] (in [/size][size=85][size=85][color=#cc0000][i][b]Normalform[/b][/i][/color][/size]: wenn sie auf einer der [color=#f1c232][i][b]Achsen[/b][/i][/color] oder auf dem [color=#f1c232][i][b]Einheitskreis[/b][/i][/color] liegen) [br]und wenn es sich bei den [color=#0000ff][i][b]W-Kurven[/b][/i][/color] um die [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] des [color=#ff0000][i][b]elliptischen Kreisbüschels[/b][/i][/color] handelt ([math]\varphi=0[/math] ! ),[br]zerfällt der [color=#ff7700][i][b]Berührort[/b][/i][/color] in 2 [color=#0000ff][i][b]orthogonale Kreise[/b][/i][/color], zB. in die beiden [color=#f1c232][i][b]Achsen[/b][/i][/color], wenn die [color=#ff7700][i][b]Pole[/b][/i][/color] auf der [math]x[/math]-Achse liegen.[br]Man setze dazu [color=#ff7700][b]p[/b][/color] [i][b]reell[/b][/i] und lasse [color=#00ffff][b]m[/b][/color] gegen [math]\infty[/math] gehen.[/size]