Exponentialfunktionen
In diesem Buch untersuchen Sie Exponentialfunktionen mit den Gleichungen der Form [math]f(x)=c \cdot a^x[/math], wobei [math]c,a \in\mathbb{R}, a>0[/math] sind.
Índice analítico
- Parametervariation bei Exponentialfunktionen
- Der Einfluss der Basis a
- Der Einfluss des Vorfaktors c
- Weitere Übungen
- Lösen von Exponentialgleichungen
- Einfache Exponentialgleichungen
- Der Schnittpunkt zweier Exponentialfunktionen
- Weitere Übungen
- Modellieren von Realsituationen mit Exponentialfunktionen
- Der Zerfall von Bierschaum
- Weitere Übungen
- Die natürliche Exponentialfunktion
- Die Herleitung der Eulerschen Zahl
Der Einfluss der Basis a
In dieser Aufgabe untersuchen Sie den Einfluss der Basis [math]a[/math] einer Exponentialfunktion auf den Funktionsgraphen. Betrachtet werden zunächst Exponentialfunktionen der Form [math]f\left(x\right)=a^x[/math] mit [math]a>0[/math].
[b]Variieren[/b] Sie den Wert für [math]a[/math] mithilfe des Schiebereglers.
[b]Geben[/b] Sie [b]an[/b], bei welchen Werten von [math]a[/math] der Graph steigend bzw. fallend ist.
[b]Untersuchen[/b] Sie auch den Spezialfall [math]a=1[/math].
[b]Formulieren[/b] Sie weitere Beobachtungen in der Form: "Je größer [math]a[/math] ist, desto..."
Einfache Exponentialgleichungen
Bei der praktischen Anwendung von Exponentialfunktionen muss man sogenannte [b]Exponentialgleichungen [/b]lösen. Das kann man einerseits durch[br][list][*][i]Probieren/Testeinsetzungen [/i]oder[/*][*][i]einen Grafikrechner[/i] oder[br][/*][*]Rechnungen mit Hilfe von Logarithmen[/*][/list]bewirken.
Problemstellung
Folgende Exponentialgleichung soll gelöst werden: [math]3\cdot2^x=15[/math].[br]Das heißt: Für welchen Wert von x gilt die Gleichung?
Lösen durch Probieren/Testeinsetzungen
[b]Bestimmen[/b] Sie die Lösung der Gleichung durch Ausprobieren.[br][b]Erklären[/b] Sie Ihre Vorgehensweise.
Lösen mittels Grafikrechner
Um die Exponentialgleichung [math]3\cdot2^x=15[/math] graphisch zu lösen, betrachten wir den Graphen der Funktion [math]f\left(x\right)=3\cdot2^x[/math]:
[b]Bestimmen[/b] Sie die Lösung der Exponentialgleichung [math]3\cdot2^x=15[/math] mithilfe des Graphen oben.[br][b]Erklären[/b] Sie Ihre Vorgehensweise.
Die rechnerische Lösung
Sie können die Exponentialgleichung [math]3\cdot2^x[/math] auch rechnerisch lösen, indem Sie die Gleichung nach [math]x[/math] umstellen. Da [math]x[/math] im Exponenten steht, benötigen Sie den sogenannten [b]Logarithmus[/b]. Dieser ist eine Umkehrung des Potenzierens, mit dem man den Exponenten berechnet.[br][br]Frau Aksoy löst die Exponentialfunktion wie folgt:[br][br][math]3\cdot2^x=15[/math] [math]|:3[/math][br] [math]2^x=5[/math][br] [math]x=log_2\left(5\right)[/math] [i]Man spricht: [math]x[/math] ist der Logarithmus von [math]5[/math] zur Basis [math]2[/math].[br][/i] [math]x\approx2,32[/math][br][br]Allgemein: [math]b^x=n\Longleftrightarrow x=log_b\left(n\right)[/math] [i] Man spricht:[math]x[/math] ist der Logarithmus von [math]n[/math] zur Basis [math]b[/math].[/i]
[b]Überprüfen[/b] Sie mit dem obenstehenden Computer-Algebra-System (CAS), ob Frau Aksoy die Gleichung richtig aufgelöst hat. Befolgen Sie dabei folgende Schritte:[br][list=1][*]Geben Sie die Gleichung in das Eingabefeld ein.[/*][*]Klicken sie in der Menüleiste auf den Button [math]\approx[/math]. Dieser berechnet die Lösung der Exponentialgleichung numerisch. [/*][/list]
Jetzt sind Sie dran!
Bearbeiten Sie im Buch S. 203 Nr. 6.[br][b]Überprüfen[/b] Sie Ihre Ergebnisse mit GeoGebra.
Der Zerfall von Bierschaum
Versuchsbeschreibung
Der Zerfall von Bierschaum soll untersucht werden. Dazu wird in ein zylinderförmiges Glas zügig alkoholfreies Bier gegossen, sodass sich eine kräftige Schaumsäule bildet. Die Stoppuhr wird sofort in Gang gesetzt und die absolute Schaumhöhe wird im 1-Minuten-Takt gemessen, insgesamt über ca. 9 Minuten.
Aufgaben:
[list=1][*][i][code][/code]Ermitteln[/i] Sie anhand des YouTube-Videos die Höhe der Schaumsäule im 1-Minuten-Takt und [i]stellen[/i] Sie die Messwerte in der Tabelle [i]dar[/i]. [i][size=50]Hinweis: Nutzen Sie die bei Dezimalzahlen die Schreibweise mit Dezimalpunkt statt Dezimalkomma.[/size][/i][/*][*]Markieren Sie danach alle Zellen, die mit Zahlen ausgefüllt sind. Klicken sie in der Menüleiste auf den Button {1,2} und dann "Liste von Punkten ". Die Punkte erscheinen im Koordinatensystem und veranschaulichen den Zerfallsprozess.[/*][/list]
Als nächstes soll untersucht werden, wie gut sich der Zerfall des Bierschaums als exponentieller Zerfall beschreiben lässt. Im Koordinatensystem ist schon der Graph der Funktion [math]f\left(x\right)=c\cdot a^x[/math] zu sehen. Mit den Schiebereglern können Sie den Anfangswert [math]c[/math] sowie den Wachstumsfaktor [math]a[/math] verändern und so die Exponentialfunktion[math]f[/math] den Messwerten möglichst genau anpassen.
Bestimmen Sie, wie viel Prozent des Schaums von einem Zeitpunkt zum nächsten Zeitpunkt noch vorhanden sind (d.h. von der 0. Minute zur 1. Minute, von der 1. Minute zur 2. Minute, usw.)
Geben Sie die Gleichung der ermittelten Exponentialfunktion an, die den Zerfall des Bierschaums beschreibt.[br]Erläutern Sie anschließend im Sachzusammenhang, wie die Parameterwerte [math]a[/math] und [math]c[/math] in der Funktionsgleichung zustande gekommen sind.
Ein Experte erklärt: [i]Wenn die Höhe der Schaumsäule nach zwei Minuten noch mindestens halb so hoch ist wie die Anfangshöhe, spricht man von einer sehr guten Bierschaumhaltbarkeit (Halbwertszeit).[br][br][/i]Begründen Sie, ob das untersuchte Bier eine sehr gute Bierschaumhaltbarkeit hat, indem Sie Ihr Ergebnis zeichnerisch (am Graphen), rechnerisch (mithilfe der Funktionsgleichung) und tabellarisch (anhand der Einzelwert) darstellen.
Frau Aksoy behauptet: "Der Bierschaum wird irgendwann völlig zerfallen sein." [br]Beurteilen Sie, inwiefern Ihre aufgestellte Exponentialfunktion [math]f[/math] diese Aussage widerspiegelt.
(Aufgabenidee in Anlehnung an Stade 2015).[br][br]Literaturverzeichnis:[br]Stade, U. (2015): Schaum im Unterricht. Exponentielle Abnahme am Beispiel von Bierschaum untersuchen. In:[i] Mathematik [/i](30), S. 40–41.[br][br][br]
Die Herleitung der Eulerschen Zahl
Aufgabe 1:
Betrachtet wird die Exponentialfunktion [math]f\left(x\right)=2^x[/math].[br][b][br]a)[/b] Ermitteln Sie die Steigung [math]m[/math] der Funktion [math]f\left(x\right)[/math] in drei beliebigen Punkten, indem Sie den Schieberegler bewegen.[br][br][b]b) [/b]Aktivieren Sie nun den Punkt [math]A[/math]. Die y-Koordinate des Punktes [math]A\left(x|m\right)[/math] gibt die Steigung im Punkt [math]P[/math] an. Bewegen Sie nun den Schieberegler hin und her, sodass durch die Spur von [math]A[/math] zusammenhängende blaue Punkte entstehen. Skizzieren Sie die entstandene blaue Spur auf dem Lösungsblatt.[br][br][b]c) [/b]Beschreiben Sie, welche Beziehung zwischen den blauen Spurpunkten und der Funktion [math]f\left(x\right)[/math] besteht. Stellen Sie eine Vermutung auf, welcher Funktionstyp durch die blauen Spurpunkte entstanden ist.[br][br][br]Brauchen Sie einen Tipp für die Teilaufgabe c)?[br] [img]data:image/png;base64,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Aufgabe 2:
Betrachtet wird nun die Exponentialfunktion [math]f\left(x\right)=4^x[/math].[br][br][b]a)[/b] Bewegen Sie wieder den Schieberegler, um die Spur des Punktes [math]A[/math] zu erhalten (zur Erinnerung: Die y-Koordinate des Punktes [math]A\left(x|m\right)[/math]gibt die Steigung im Punkt [math]P[/math] an). Skizzieren Sie die entstandene blaue Spur auf dem Lösungsblatt.[br][br][b]b) [/b]Vergleichen Sie die entstandene blaue Spur mit der blauen Spur aus Aufgabe 1, indem Sie Gemeinsamkeiten und Unterschiede benennen.[br][br][br][i]Brauchen Sie einen Tipp für die Teilaufgabe b)?[br] [img]data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAHMAAAB0CAYAAAC2Rg1eAAAQQ0lEQVR4Xu1daXAVxRY+AQxhSQARCFtYCkEWUQMFWioiYVEhiEUSnsUTwx9Q8lRAfYjIKiIKyFZaCYUIlKUlaMkmW7Fbaknx2EpAoAjLYwlQkAQQEtY352L3PdNvpqd77twEQp9fd26vc745PdPd3zkdc+vWzVtgpExoIMaAWSZwDN2EAbPsYGnALENYGjANmGVJA2XoXsw704BZhjRQhm7FWGZZBzMtLR1yc3OjeptLliyBpKSGoTYuXLgInTt35u19/PHH0KNHd+32N2/eAsOGDePlVq9eDbVr1wpdnzlzFp577jnXOrdv/w9PmzlzFixYsIBf0zRZp44d+y/06dNHu986BZo2bQrff7/YsYijZSYnt4MdO3botKGdd/+B/dD8wQdD5fLzC+D+++/ndXz33XeQkZGuXefy5Sugd+/evNzx48ehfv16oesTJ05CgwYNXOu0Fk942qhRH8CkSZP4NU2TderAwYPQonkL7X7rFHjsscfA7eEyYP6tyXsGzGrVquk8PI55b968CRcvXuRpfi3z+vUbcP36dcc2Vq5cCX379nW0zJMnT0GrVq14WnFxMRQVFTla35gxY2HWrFk8LS8vz/X+4+Iq8jTRMuPj46FcuXIR666wsJDXEZFlIpAFBfkRd2j9+g3QtWvXiMH88MOJMGbMGKX+0GFWLJCa2htWrFihNJTGxLgDcv78eahRo3qoHhHMdevWQUpKF6W+yjJVr14DGKAGTAdNGTAjeMaMZfpXXtQsMzs7B3777Telni1YMJ/n0wHz2WefhYYNb09bUGg9u3bttn1pDxw4kOdLTk6GN954g1+np6dDlSqVHfu6bt16wGGYycaNG/nvl156yZpivMivgxpmX301U0lvTzzxBLz22mCeN2pgYocWLlyo1Cn6hagDpli5bGpAFd2rVy9YvnyZUt/ETLSeCRMmwOjRHwQOpuyhoP0ZMGCA7QE2YGpCasD0UJixTPvXrLFM4YF5//334aOPJioNgbKpiew5FFeAaN60tDRYvHiRY3GvqYkB04AJZeqdSfE0lhnB2qy4AhSNr9nLl6/AqFGjOGZr1qyBffv2OQ5lMjCbN28OL7zwAi83btw4qFYtIXR96dJfkJOTY5t+NG3axLENcZgdOnQoz1epUiWoWbMmv87KygK2pGeGWQd1pqdnWNs832uDKZuaiLsmy5Ytg9TUXkpg0g+5RYsWQ79+/Xg5neW8e+KdKWrUgHkXzzMNmHYNlNiigeZcnGePZAVI9gFE02Sb0377jeWCWs7z24eofc367ZAB06/mIHpTE79dMmD61VyAYOJu+Y8//ui/J3+X3LlzJ7zzzju8HhnT4JFHHrF9/m/YsIGXE6cm+JAwOWhxcBYvDpOd3nzzTahatWoouWLFivDUU0/yvDt37oJz587xa7qJfOhQLhw5coSnUT4Qltm1a5fS1+zUqVPh0UcfjVh3uIvDWBoRbU5H3BOXCnRoI/SdJZtnilOTxo2bwNGjR0M9aNSokQXQYd4b2ea0jNClMzWJhu4MmAbMO4dqaSwzbOPalolk3qLiMHMtGsNF40aNITb2vlDVN27chEO5h3gzdRPrQnz87XcdCgUzMTHR+rq7TaBCWbpsKf9dtUpVqFevLr+WDbPI1rv01yWe98XeYWZBQUEBUEbeQw89xPNdvnwZjh07xq/pCtDVq9fgyNEj0VAXrzOuYhwnj4sN3RXuCbJ5noyFIAPz/xQhYeDJ0KFgRhVFhcoNmA7Wr6A3R8vUKReNvI5gou/HjRs3HNurXLmy9Zkf65hWVFQMV65cUepnQkIClC+vRhCmlolDLE4zmLjtrmA6TgvYkJiUlAQ4PWJSpUoVPszjfzLrr1OnDi937do1QGtkIrPMixcv2QjbjF+LZXGnCInYulK+fHlISIh3LKbtnvDVV19BZuarjpVNm/aZbS4p6yidmnjdkOoHkFc9NF3cNVEdymVTE7H9lJSuQOfI9JUwbNhwmDFjhk6XQ3m1P4BkjkMGTPctMAOmwrNpLDOsJG3LXLNmLfdtEHW9detWvqqCaZTctH//AdtSlwynVatWWbv/t6cG+B6mRGexHA5tTFq2bAkPP9yGX9M0dEOcPHkyT8vOzrb8QGqErvPz8y1i8Ws87emnnwb6LnTbDMcCdHg8fvwE/Prrr7we9MdkU6xTp/IAlxCZIFn8xIkT/BrJYEz27NnjyqaQ6U0bTFllIm1E1XdRrLNly1bw559/hv5GpeblnVKwUXmWSPwzZTWr3uMd6Z9pwLRrwIDpYWfGMv0NRNrDLP2a9WLnqfqByLouDrM6HCBVlZQGoUvsm6qFi+WixjTQeWeqstEMmPJH0oAp6OeetUwMnXLmzBmujri4OP4bl7PoUh9N69ixI3Tv3o3nxU1eVaH14DRh9+7dvChuSDPp1KmTLawMusUzadasGbz88j8cmxTBRAYc5neSTZs2ua7c6GxO9+/fP7QpzoTeo9gudSFEH1RcoWLy6aef8mmc9juTNoTrrcjiZiKuANGhFJnf06d/poofzyeGjtF516j6Z3qFjpF1uiRI0LSN+fMXAHUipn0zYFraMGBaSjCWaV8B0hlmxWgjqov5gVpmUBG6VJ1tdcZlMXQMbUNcAaL1ioQusU2/ntO0HmQk7Nu3V+d2HPOKYOK2Io035NaA9haYTk8NmDraCuc1YFq6MJbpcBRGVta/+A49hknDMGZ+hH5e4+7BTz/9xKtBX0lGvkIiFPpkMmnXrp2NmIUgMdm+fTts27aNXw8aNIj/Ro4srYf2Gb/IX3nlFdfboAEUcdpCdzjmzJnjWm7z5s2coIxD+ezZs/2oylYGw9hMnz6d//fDDz/AfffdJr8hQ+OZZzo5tuHJARI/gPz2tEuXLrB+/TrH4l5RLVX3M3X8M3XuQ7YMl2gxCU+fPq1TXUR5A52a+O2JAdOv5uzlDJiWPoKaZ4qQ3PGW2a1bd0AnHCbMX0P32aLhzPA999ZbbzlWgc499F03cuRI2LJlC8/7yy+/8N9ffvklzJs3z7FvOsPs/PnzbVE2VQML64CJQZCffDLsrETLYryFuXPnOuoD39eU7IWhVS9cuBDKq22ZJTHPpHfhtWtC31myEKU6YPpl5+mAKQtRKmPnRc1zWtcaaX7ZPNOA6U61jBqYsbGxULdu2H9DBJcOwRhnHf05mdDhMahhFiM04y4CE7or0aFDB9snPVp8hQrlQ1nz8k7D448/zst98sknlr/mU/xaNszS14V4/zjsnT17NvQ3vi5oWJmvv/7a5hOK720mOPVwI5F169YNcBhmEtgw6xUJWrZrQtOC+poVlSlbztOJBB3JCMTKei3nUX2gI+7bbw93bDZqa7MGTHWYDZiWrnQWDYxlRhBuDXfHaaB8nF507ZrCdUqX2po0aQJt2rR2TBOX8ygouFRFN2PXrl1riylAl+xEMOlSG0aPfv7553kW7HelSmGWBC37++9bbWwK2XIeTZPZqZdlUl21bt0a3MK9icNsRMt5fn1NZDcqRhuheXWmJmIbqkwDr8HyntwCkzkOGTDvsv1MA6b7I+s1zHqNDiw9avuZXiRo2kGR0KU6NVG9Sd181A1etyzNr0pejiREadQIXTqMdgNmWAMGzEhMxqOssUxLQTk5c/hne4UKFWDkyPe42mSRoGXDLBKOMzIyeD14zuUDD4QjKstwoWRqkQQtKzdjxkzOAkBfULoM6JcELWvv/Pl8+Pzzz3mWq1evAjI1mNCwbT179gQkjTOhh8xh3ALGLMD0wEjQYuf9ginWE1RMA1XDDso9QbU9zCfGNKBlxeU8+n0R6EK7rMMGTHU4DZgOupJxgFRVayzTQVMylz5Z6Bhx14Q623oBouoDqnMWmBjVUtYHma8JLSfOM2WhY2TtBbprojPM0hs1YNpXgAyYDk+SscywUrQ5QLLQMRiOhZ41iaQlJgcOuIeOqVWrFnTu3JnnfffddznRGtkJPXr04GnISqCRmCmYe/fugz/++IPnpZGfMeIlhoRhkpqa6rprIhtm27ZtC3jgDRMaHkd0HKLPHoZ0mzJlCv8LpyI0ajTVlfjMZmSk8782btwEX3zxBb/G45TZ1EUbTL+ELpl/ZlC7JjqOQ36ZBuL5mVTxMjC93v2q72UxX2Bu8DodNGDqaMueV/YqMWBaujKWaSlBFqJU9uxh6NDKlcMu8zTvtWvXuV++WAcSfOnSFkZbZqcFYF761F65UsTfH5iG4deYiOFDdcCkYUdxdQbJ1k4itnH48GHr8LhqSiaJ7EUmEydOhCFDhvBrGr400GFWqWcBZgoqpoHYJR0w6QMjOwxVbEMnErQqO8+A6fBwGTAtpZR0wP3Cwgs2grKICw2qL6a1aN7CdYz4+eefoXad2o7p48eNB/T1ZELd16dOnWYbZlnARqeKZAH3G9RvYHvtUMtEf5rMgZmOfUuIT4DExHD06VL5ANIZef3umui0IcsrOz9TLBfUwW6qEcsC3TXxO8/UUbQB011bBkydJ8nKe09aZkkc7IanDGBEZTeh4da++eYbm38mus2pCB7IRo8XFsHERXEmmZmZVvyDf/Jr1WEWT0TA6M9MkpOTrUjU4QN1aD2vv/469O3b17HrGGoOl/CYjBgxwjpp4rYDFDondezYwbGcZ+gYL18TFUVinkiOXJT5Z6oy57z2M/2SoKMxNSkxqqUqeGI+A6b97BQdL7DAgjoZy1Q/ptjrQVddNCgxy5RxgMSbUY3QFa0VINqfkgi35gWmLF1Ggo6aZRowI4HMvawB09KN6kTcWKalLB1fE7/DLEYBo+RhnH7QpTbcJ2WSkpICvXr15NfIO2KCy25u4VhwxwIn425CQ7VgrIP27dvzrDTeAbIcMOyMk9SrVw+GDw+7tmNf6FIgfvS4CXWJ37NnL6xevZpnpTEVkE0xYsS/g5maRGOYFXvm9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Aufgabe 3:
Sie haben bereits die Ableitungsfunktionen der Exponentialfunktionen mit der Basis 2 und 4 kennengelernt.[br][br][b]a)[/b] Begründen Sie mithilfe von Aufgabe 1 und Aufgabe 2, warum es eine Exponentialfunktion geben muss, die mit ihrer Ableitung übereinstimmt.[br][b]b)[/b] Betrachtet wird nun eine beliebige Exponentialfunktion der Form [math]f\left(x\right)=a^x[/math] und deren Ableitungsfunktion [math]f'\left(x\right)[/math]. Die Basis [math]a[/math] kann mit dem Schieberegler verändert werden.[br]Bestimmen Sie mithilfe des Schiebereglers die Basis der Exponentialfunktion, die mit ihrer Ableitung übereinstimmt auf zwei Nachkommastellen genau.
Aufgabe 4 (für Schnelle):
Gegeben ist die Funktion [math]f(x)[/math]. Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion [math]f'(x)[/math].[br]a) [math]f\left(x\right)=e^x[/math] [i](Hinweis: e steht für den Wert, den Sie in Aufgabe 3b) herausgefunden haben).[br][/i]b) [math]f\left(x\right)=x^2+e^x[/math][br]c) [math]f\left(x\right)=3x^2-e^x[/math][br]d) [math]f\left(x\right)=e^x+3x^4-2x^3[/math][br]e) [math]f\left(x\right)=\frac{1}{x}+e^x[/math][br]f) [math]f\left(x\right)=\sqrt{x}-e^x[/math][br]g) [math]f\left(x\right)=x^2-e^{x^2}[/math][math][/math]