[size=200][color=#ff0000]Utiliza las fórmulas: [/color][math]m=\int_Cpds,x=\frac{1}{m}\int_Cxpds,y=\frac{1}{m}\int_Cypds.[/math][br][br][/size]

[size=150][b]2.- Calcule la masa m de un alambre con densidad ρ(x, y) = xy en la forma de y =4- x^2, 0 ≤ x ≤ 2.[br][/b]Entonces, parametrizamos:[br][br][b] [math]c\left(t\right)=\left\langle t,4-t^2\right\rangle,0\le t\le2[/math][br][/b][/size]Ahora, buscamos a ds:[br][br] [math]ds=\sqrt{\left[x'\left(t\right)\right]^2+\left[y'\left(t\right)\right]^2}dt=\sqrt{\left(1\right)^2+\left(-2t\right)^2}dt=\sqrt{1+4t^2}dt[/math][br][br]Ahora, calculamos la siguiente integral para encontrar el valor de m:[br][br] [math]m=\int_Cpds[/math][br]Entonces[br][br] [math]m=\int_Cpds=\int^2_0xyds=\int^2_0\left(t\right)\left(4-t^2\right)\sqrt{1+4t^2}dt=\int^2_0\left(4t-t^3\right)\sqrt{1+4t^2}dt[/math][br][br]Resolvemos la integral:[br][br] [math]\int\left(4t-t^3\right)\sqrt{1+4t^2}dt=-\int\left(t^3-4t\right)\sqrt{1+4t^2}dt[/math][br][br]Resolviendo, sustituimos [math]u=4t^2+1\longrightarrow du=8tdt[/math]:[br][br] [math]=\frac{1}{32}\int\left(u^{\frac{3}{2}}-17\sqrt{u}\right)du=\int u^{\frac{3}{2}}du-17\int\sqrt{u}du[/math][br][br]Resolvemos las integrales:[br][br] [math]\int u^{\frac{3}{2}}du=\frac{2u^{\frac{5}{2}}}{5}[/math], [math]\int\sqrt{u}du=\frac{2u^{\frac{3}{2}}}{3}[/math][br][br]Remplazamos las integrales ya resueltas:[br][br] [math]\int u^{\frac{3}{2}}du-17\int\sqrt{u}du=\frac{2u^{\frac{5}{2}}}{5}-\frac{34u^{\frac{3}{2}}}{3}[/math][br][br]Volvemos a remplazar:[br][br] [math]\frac{1}{32}\int\left(u^{\frac{3}{2}}-17\sqrt{u}\right)du=\frac{u^{\frac{5}{2}}}{80}-\frac{17u^{\frac{3}{2}}}{48}[/math][br][br]Deshacemos la sustitución:[br][br] [math]=\frac{\left(4t^2+1\right)^{\frac{5}{2}}}{80}-\frac{17\left(4t^2+1\right)^{\frac{3}{2}}}{48}[/math][br][br]Y por último, reemplazamos en la integral original[br][br] [math]-\int\left(t^3-4t\right)\sqrt{1+4t^2}dt=\frac{17\left(4t^2+1\right)^{\frac{3}{2}}}{48}-\frac{\left(4t^2+1\right)^{\frac{5}{2}}}{80}+c=-\frac{\left(4t^2+1\right)^{\frac{3}{2}}\left(6t^2-41\right)}{120}+c[/math][br][br]Evaluando la integral de 0 hasta 2, tenemos lo siguiente:[br][br] [math]-\frac{\left(4\left(2\right)^2+1\right)^{\frac{3}{2}}\left(6\left(2\right)^2-41\right)}{120}-\left(-\frac{\left(4\left(0\right)^2+1\right)^{\frac{3}{2}}\left(6\left(0\right)^2-41\right)}{120}\right)=9.929812715-\frac{41}{120}=\frac{17^{\frac{5}{2}}-41}{120}\approx9.588146048[/math][br][br]Ahora, calculamos el centro de masa [math]=\left(x,y\right)[/math][br][br] [math]x=\frac{1}{m}\int_Cxpds=\frac{1}{m}\int^2_0x^2yds=\frac{1}{m}\int^2_0\left(t\right)^2\left(4-t^2\right)\sqrt{1+4t^2}dt=\frac{1}{m}\int^2_0\left(4t^2-t^4\right)\sqrt{1+4t^2}dt[/math][br][br]El resultado de la integral es el siguiente:[br][br] [math]-\frac{99ln\left(\left|\sqrt{4t^2+1}+2t\right|\right)+\sqrt{4t^2+1}\left(256t^5-1520t^3-198t\right)}{1536}+c[/math][br][br]Ahora, evaluando la integral de 0 hasta 2, tenemos lo siguiente:[br][br] [math]-\frac{99arsinh\left(4\right)-4364\sqrt{17}}{1536}\approx11.57933359896915[/math][br][br]Por último, multiplicándola por [math]\frac{1}{m}[/math]:[br][br] [math]\left(\frac{1}{\frac{17^{\frac{5}{2}}-41}{120}}\right)\left(-\frac{99arsinh\left(4\right)-4364\sqrt{17}}{1536}\right)\approx1.2076718[/math][br][br]Ahora, calcula a "y":[br][br] [math]y=\frac{1}{m}\int_Cypds=\frac{1}{m}\int_Cy^2xds=\frac{1}{m}\int_0^2\left(4-t^2\right)^2\left(t\right)\sqrt{1+4t^2}dt[/math][br][br]El resultado de la integral es el siguiente:[br][br] [math]=\frac{\left(4t^2+1\right)^{\frac{3}{2}}\left(30t^4-342t^2+1177\right)}{840}+c[/math][br][br]Ahora, evaluando la integral de 0 hasta 2, tenemos lo siguiente:[br][br] [math]\frac{17^{\frac{7}{2}}-1177}{840}\approx22.71406897459472[/math][br][br]Por último, multiplicándola por [math]\frac{1}{m}[/math]:[br][br] [math]\left(\frac{1}{\frac{17^{\frac{5}{2}}-41}{120}}\right)\left(\frac{17^{\frac{7}{2}}-1177}{840}\right)\approx2.368974029[/math][br][br]Por lo tanto, el cálculo de masa es:[br][br] [math]\left(1.2076718,2.368974029\right)[/math][br]