Parameter der Sinusfunktion

Mithilfe der Sinusfunktion [math]f\left(x\right)=a\cdot sin\left(b\cdot\left(x+c\right)\right)+d[/math] kann man ganz unterschiedliche periodische Vorgänge beschreiben. Zum Beispiel: Ebbe und Flut, die Entwicklung der Tageslänge über ein Jahr, Wechselspannungen in Stromkreisen, oder auch Töne.[br][br]Im Rahmen dieser Aktivität sollst du erarbeiten, welche Einfluss die Parameter[math]a[/math], [math]b[/math], [math]c[/math] und [math]d[/math] auf die Eigenschaften der Sinusfunktion und den Verlauf ihres Graphen haben.[br][br]Am Ende der Aktivität lernst du, wie die Parameter der Sinusfunktion mit Tönen zusammenhängen.[br][br][br]

Der Parameter a

Schauen wir uns zuallererst den Parameter [math]a[/math] an. In dem folgenden Applet siehst du den gestrichelten Graphen der einfachen Sinusfunktion [math]g\left(x\right)=sin\left(x\right)[/math]. Der Graph mit der dicken Linie gehört zur Funktion [math]f\left(x\right)=a\cdot sin\left(x\right)[/math]. Den Wert des Parameters [math]a[/math] kannst du mit dem Schieberegler manipulieren oder manuell in das entsprechende Feld eingeben.

[u]Aufgabe a)[/u][br]Stelle verschiedene Werte für den Parameter [math]a[/math] ein und beobachte, wie sich der Graph der Funktion [math]f[/math] im Vergleich zum gestrichelten Graphen der Funktion [math]g[/math] verhält. Welchen Einfluss hat der Parameter [math]a[/math] auf den Funktionsgraphen von [math]f[/math]? [br]Halte deine Beobachtungen schriftlich fest.

[u]Aufgabe b) [/u][br]Kreuze die Aussagen an, die auf den Einfluss des Parameters [math]a[/math] zutreffen.

Für -1 < a < 0 wird der Graph in y-Richtung gestaucht und an der x-Achse gespiegelt. Für |a| < 1 wird der Graph in y-Richtung gestaucht. Die Definitionsmenge ändert sich nicht. Für a < -1 wird der Graph an der x-Achse gespiegelt und gestreckt. Für |a| > 1 wird der Graph in y-Richtung gestreckt. Der Graph wird entlang der y-Achse verschoben. Die Periodendauer ändert sich. Die Nullstellen werden durch a beeinflusst. Der Graph wird entlang der x-Achse verschoben. Die Amplitude vergrößert oder verkleinert sich mit a. Die Wertemenge ist W=[-a ; a].

Der Parameter b

In dem folgenden Applet siehst du wieder den gestrichelt gezeichneten Graphen der einfachen Sinusfunktion [math]g\left(x\right)=sin\left(x\right)[/math]. Der Graph mit der dicken Linie gehört hier aber zur Funktion [math]f\left(x\right)=sin\left(b\cdot x\right)[/math]. [br]Den Wert des Parameters [math]b[/math] kannst du mit dem Schieberegler manipulieren oder über das Eingabefeld festlegen.

[u]Aufgabe a)[/u][br]Stelle verschiedene Werte für den Parameter [math]b[/math] ein und beobachte, wie sich der Graph der Funktion [math]f[/math] im Vergleich zum gestrichelten Graphen der Funktion [math]g[/math] verhält. Welchen Einfluss hat der Parameter [math]b[/math] auf den Funktionsgraphen von [math]f[/math]? [br]Halte deine Beobachtungen schriftlich fest.

[u]Aufgabe b)[/u][br]Kreuze die Aussagen an, die auf den Einfluss des Parameters [math]b[/math] auf den Graphen der allgemeinen Sinusfunktion zutreffen.

Der Graph wird entlang der y-Achse verschoben. Für [math]|b|>1[/math] wird der Graph in x-Richtung gestaucht und die Periodenlänge verringert auf [math]p=[/math][math]\frac{2\pi}{b}[/math]. Ist [math]b<0[/math], so erfolgt eine Spiegelung an der y-Achse. Für [math]|b|<1[/math]wird der Graph in x-Richtung gestreckt und die Periodenlänge vergrößert auf [math]p=[/math] [math]\frac{2\pi}{b}.[/math] [br]Für -1 < b < 0 wird der Graph in x-Richtung gestreckt, an der y-Achse gespiegelt und die Periodenlänge vergrößert auf [math]p=\frac{2\pi}{b}[/math] Der Graph wird entlang der x-Achse verschoben. Die Nullstellen werden durch b beeinflusst ([math]x_n=\frac{k\pi}{b}[/math]). Die Definitionsmenge und die Amplitude werden durch b beeinflusst. Für [math]b<-1[/math]wird der Graph an der y-Achse gespiegelt und die Periodenlänge verkürzt.

Der Parameter c

Der Graph mit der dicken Linie gehört nun zur Funktion [math]f\left(x\right)=sin\left(x+c\right)[/math]. Mit dem folgenden Applet kannst du den Einfluss von [math]c[/math] auf den Funktionsgraphen untersuchen.

[u]Aufgabe a)[/u][br]Stelle mithilfe des Schiebereglers verschiedene Werte für den Parameter [math]c[/math] ein und beobachte, wie sich der Graph der Funktion [math]f[/math] im Vergleich zum gestrichelten Graphen der Funktion [math]g[/math] verhält. Welchen Einfluss hat der Parameter [math]c[/math] auf den Funktionsgraphen von [math]f[/math]? [br]Halte deine Beobachtungen schriftlich fest.

[u]Aufgabe b)[/u][br]Kreuze die Aussagen an, die auf den Einfluss des Parameters [math]c[/math] auf den Graphen der allgemeinen Sinusfunktion zutreffen.

Für c < 0 verschiebt sich der Graph um |c| Einheiten nach rechts. Der Graph wird entlang der x-Achse verschoben. Für c > 0 verschiebt sich der Graph um |c| Einheiten nach rechts. Für c > 0 verschiebt sich der Graph um |c| Einheiten nach links. Das Maximum der Funktion ändert sich. Die Definitionsmenge wird beeinflusst. Die Periodendauer verändert sich. Die Periodendauer p wird beeinflusst. Der Graph wird gestreckt bzw. gestaucht. Für c < 0 verschiebt sich der Graph um |c| Einheiten nach links. Die Amplitude wird größer. Der Graph wird entlang der y-Achse verschoben. c beeinflusst die Lage der Nullstellen ([math]x_n=k\pi+c[/math]). Die Amplitude verändert sich.

Der Parameter d

In dem folgenden Applet kannst du nun den Einfluss des Parameters [math]d[/math] auf den Verlauf des Graphen von [math]f\left(x\right)=sin\left(x\right)+d[/math] untersuchen.

[u]Aufgabe a)[/u][br]Stelle mithilfe des Schiebereglers verschiedene Werte für den Parameter [math]d[/math] ein und beobachte, wie sich der Graph der Funktion [math]f[/math] im Vergleich zum gestrichelten Graphen der Funktion [math]g[/math] verhält. Welchen Einfluss hat der Parameter [math]d[/math] auf den Funktionsgraphen von [math]f[/math]? [br]Halte deine Beobachtungen schriftlich fest.

[u]Aufgabe b) [/u][br]Kreuze die Aussagen an, die auf den Parametereinfluss von [math]d[/math] auf den Graphen der allgemeinen Sinusfunktion zutreffen.

Die Amplitude wird kleiner. Die Amplitude wird größer. Für d<0 wird der Graph in die negative y-Richtung verschoben. Der Graph wird entlang der y-Achse verschoben. Der Graph wird gestreckt bzw. gestaucht. Die Periodendauer ändert sich. Für d>0 wird der Graph in die positive y-Richtung verschoben. Das Maximum der Funktion ändert sich. Der Graph wird entlang der x-Achse verschoben.

Den Sinus hören

[b]Aufgabe 1[/b][br]Mit Sinusfunktionen können Töne modelliert werden. Der Ton [math]G_3[/math] kann beispielsweise mit der braunen gestrichelten Sinusfunktion im Applet unten beschrieben werden. Die Variable in der Funktionsgleichung ist dabei immer die Zeit t.[br]Spiele diesen Ton im Applet mit der braunen Schaltfläche "Ton" ab, um zu hören, wie er klingt!

[b]Aufgabe 2[/b][br]Die einzelnen Parameter der Sinusfunktion haben einen Einfluss auf den Höreindruck. Das sollst du im folgenden untersuchen. [br][br]a) Stelle hierfür zunächst mithilfe der verschiedenen Schieberegler den Ton [math]G_3[/math] nach. Dieser hat eine Frequenz von 196Hz und wird durch den braunen Graphen dargestellt. Überprüfe anschließend mit der grünen Schaltfläche "Ton", ob dein selbst erstellter Ton und der ursprüngliche Ton übereinstimmen. [br][br]b) Untersuche nun, wie die Parameter der Sinusfunktion mit dem Ton zusammenhängen. Verändere hierfür die Parameterwerte mithilfe der Schieberegler und spiele den Ton ab. Welchen Einfluss haben die Parameter auf den Ton? Gibt es Parameter, die keinen Einfluss haben? [br][br]Schreibe alle Beobachtungen auf, die du während deiner Untersuchung machen kannst:

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[url=https://www.geogebra.org/u/kraus-matejka]Kraus-Matejka Angelika[/url], [url=https://www.geogebra.org/u/peronne]Peronne[/url]