[br][br]Vähittäismyyjä on taloudellinen toimija, joka ostaa suurehkoja eriä tuotetta maahantuontifirmoilta, ja myy ne sitten eteenpäin (voitolla) pienemmille toimijoille. Tutkitaan tässä tehtävässä, minkälaisia matemaattisia kysymyksiä vähittäismyynnin yksityisyrittäjä joutuu arjessaan kohtaamaam.[br][br](a)[br]Elintarvikkeiden vähittäismyyjä Tukkunen ostaa laivasatamasta tavaraa suurissa tukkuerissä, ja myy niitä pikkukaupoille. Tukkunen on piirtänyt oman talonsa, sataman, ja asiakkainaan olevien kauppojen paikat näkyviin ruutupaperille kaupungin kartasta. Kartan mittakaava oli sellainen, että muodostuneessa ruutupaperiesityksessä yksi ruudunväli on kilometrin. Tukkusen oma talo on merkitty kirjaimella T, ja satama kirjaimella S. Kolme merkitsemätöntä pistettä ovat kaupuat, joihin elintarvikkeet on tarjoitus joka aamu toimittaa. Bensa on kallista, samoin yksityisyrittäjän aika; miten reitti kannattaa suunnitella, jotta siitä muodostuu mahdollisimman käytännöllinen?

[br](b)[br]Reaalielämässä pakettiauton tilavuus ei toki ole ääretön, joten on ihan mahdollista, että jakelureitin suunnittelussa joudutaan ottamaan myös tavaran määrä huomioon. Oletetaan nyt, että Tukkusen pakettiautoon mahtuu 10 kuutiometriä tavaraa, ja kunkin kaupan päivittäiset tilaukset ovat sen verran, kuin alla olevassa kuvassa näkyy. Miten reitti nyt kannattaa suunnitella?[br]

[br]RATKAISU:[br](a)[br][br]Olettaen, että kauppoihin kuljetettavan tavaran seassa on jotakin sellaista, joka pilaantuisi Tukkusen pakettiautossa vuorokaudessa, kannattaa käyttää punaista reittiä (katso kuva). Jos taas minkään tavaran pilaantumisesta ei tarvitse olla huolissaan (tämähän riippuu toki myös vuodenajasta), kannattaa käyttää vihreää reittiä (kuva). Tarjolla on myös reittejä, jotka tekevät tarpeetonta edestakaisin ajoa ja siksakkia (sininen reitti), mutta nämä reitit eivät toki voita tehokkuudessa lyhyempiä reittejä.

[br](b)[br][br]Äskeinen tapaus oli niin helppo, että lyhimmän reitin pystyi poimimaan silmällä. Nyt lyhimmän reitin etsiminen vaatii laskemista, joten puetaan ongelma matemaattiseen muotoon. Nimetään kaupat a, b, ja c (katso kuva alla).[br]

Merkitään jokaista pistettä kartalla käyttäen vektoriesitystä, ja valitaan "origoksi" tukkusen kotitalo. Kaikkien muiden paikkojen paikat merkitään siis suhteessa Tukkusen kotitaloon. Kirjoitetaan pisteiden paikat vektoreina[br][br][math]\Large[br]t = 0[br][/math][br][math]\Large[br]a = 1.5i + 3j[br][/math][br][math]\Large[br]s = -2i+4j[br][/math][br][math]\Large[br]b = -6i+2j[br][/math][br][math]\Large[br]c = -9i-4j[br][/math][br][br][br]Tarkastellaan alla annettua reittiä reititä. Tukkunen lähtee siis kotoaan, käy satamassa, ja toimittaa tavarat satamaa lähimpiin kauppoihin, ja ajaa takaisin satamaan. Sen jälkeen hän toimittaa tavarat kauimpaan kauppaan, ja ajaa kotiin.[br][br]

Tämän reitin pituudeksi saadaan[br][br][math]\Large[br]|t-s| + |s-a| + |b-a| + |b-s| + |s-c| + |c-t|[br]= 40.630.[br][/math][br][br]Tutkitaan toista reittiä. Nyt Tukkunen ajaa ensin satamaan, ja toimittaa tavarat sataman länsipuolen kaupoille. Tämän jälkeen hän ajaa takaisin satamaan, ja toimittaa tavarat sataman itäpuoliselle kaupalle, ja ajaa tästä kotiin.[br]

Nyt reitin pituudeksi saadaan[br][br][math]\Large[br]|s-t| + |s-b| + |b-c| + |s-c| + |s-a| + |a-t|[br] = 33.277[br][/math][br][br]Selvästikin siis jälkimmäinen reitti on lyhyempi. Huomataan, että vaikka tapaus ei ole tämän monimutkaisempi, lyhintä reittiä ei näe silmällä, vaan se on pakko laskea.Todellisessa elämässä tapaukset voivat toki olla paljon monimutkaisempia, yrityksellä voi olla useita autoja, ja palveltavia kauppoja saattaa olla kymmeniä. Silloin reitin suunnittleu muuttuu kertaluokkaa haastavammaksi pulmaksi.[br][br][br]