[size=150][b]一、[math]Δx=aΔT^2[/math]推导[br][br][/b][/size]我们将一个加速度为[math]a[/math]的匀变速直线运动按等时间间隔[math]ΔT[/math]（[math]ΔT[/math]可任意选取）去切割为[math]n[/math]段，[br]每一段的位移记为[math]x_n[/math]。

相邻两段位移之差[math]Δx[/math]满足：[br][br][math]Δx=aΔT^2[/math][br][br]我们将这个结论推广一下，可以得到第[math]m[/math]段位移[math]x_m[/math]和第[math]n[/math]段位移[math]x_n[/math]之差满足：[br][br][math]x_m-x_n=(m-n)aΔT^2[/math]

[size=150][b]二、规律应用情景[br][br][/b][/size][b]1、计算加速度和位移[br][/b][br]我们将[math]Δx=aΔT^2[/math]或者[math]x_m-x_n=(m-n)aΔT^2[/math]变形一下，就可以得到[math]a=\frac{Δx}{ΔT^2}[/math]或[math]a=\frac{x_m-x_n}{(m-n)ΔT^2}[/math]。[br]相比于用定义[math]a=\frac{Δv}{Δt}[/math]求加速度，这个公式更具实际意义。[br][br]因为不管是利用频闪照片还是打点计时器的纸带，等时间间隔的位移相较于瞬时速度都是更容易获得和测量的。[br][br][br][color=#0000ff][b]例1[/b]：物体从静止开始做匀加速直线运动，已知第[img]https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/dc9f6524582d60e8a4ccbe45abf7713e.svg[/img]内与第[img]https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/15b7a662db44251ff09d2bc4cd5574bc.svg[/img]内的位移之差是[img]https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/24de83d68c701edcefe65273b5809bb2.svg[/img]，求物体运动的加速度。[br][/color][br][color=#ff0000]解析：[br][math]a=\frac{Δx}{ΔT^2}=\frac{6m}{1s}=6m/s^2[/math][/color][br][br][color=#0000ff][b]例2[/b]：（多选）一个匀加速直线运动的物体，在第一个2s内经过的位移为12m，在第三个2s内的位移是36m，下列正确的是（　　）[/color][table][tr][td][color=#0000ff]A．物体的加速度大小为[img]https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/20356e6260567515a11bc452c211d2e1.svg[/img][/color][/td][/tr][tr][td][color=#0000ff]B．物体的初速度大小为0m/s[/color][/td][/tr][tr][td][color=#0000ff]C．第3s末时速度大小为12m/s[/color][/td][/tr][tr][td][color=#0000ff]D．第二个2s内的位移大小为24m[/color][/td][/tr][/table][br][color=#ff0000]解析：[br]第三个2s内的位移[math]x_3[/math]和第一个2s内经过的位移[math]x_1[/math]满足[math]x_3-x_1=(3-1)aΔT^2[/math][br][math]a=\frac{x_3-x_1}{(3-1)ΔT^2}=\frac{36-12}{2·2^2}=3m/s^2[/math][br]第一个2s内的平均速度[math]\overline{v_1}=\frac{x_1}{ΔT}=6m/s[/math][br]这也是第一个2s的中间时刻[math]t_1=1s[/math]的速度，[math]v_1=\overline{v_1}=6m/s[/math][br]初速度[math]v_0=v_1-at_1=3m/s[/math][br][math]t_3=3s[/math]时的速度[math]v_3=v_0+at_3=12m/s[/math][br]第二个2s内的位移[math]x_2=x_1+aΔT^2=24m[/math][br]故选A、C、D。[/color]

处理打点计时器的纸带数据，我们可以用相邻两段来直接计算加速度。也可以充分利用数据，使用逐差法来计算。[br][br][br][color=#0000ff][b]例3[/b]：图示为某次实验中用打点计时器打出的一条纸带，已知纸带做的是匀变速直线运动，其中[i]A[/i]、[i]B[/i]、[i]C[/i]为相邻的三个计数点，相邻计数点间还有四个点（图中未画出）。[i]A[/i]、[i]B[/i]、[i]C[/i]三点与[i]O[/i]点的距离，如图中所示，则纸带运动的加速度[i]a[/i] ＝_______m/s[sup]2[/sup]。[/color][br][img width=301px,height=70px]https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2024/1/4/2b0a635b-301f-4035-a9b4-1a04228be866.png[/img]   [br][br][color=#ff0000]解析：[br]计数点的时间间隔[math]T=5\times0.02s=0.1s[/math][br][math]a=\frac{x_{BC}-x_{AB}}{T^2}=\frac{(0.5438-0.2815)-(0.2815-0.1000)}{0.1^2}m/s^2=8.08m/s^2[/math][/color]

[color=#0000ff][b]例4[/b]：如图为做匀变速直线运动的小车带动纸带通过打点计时器打出的纸带，选出的部分计数点分别记为[i]O[/i]、[i]A[/i]、[i]B[/i]、[i]C[/i]、[i]D[/i]、[i]E[/i]、[i]F[/i]，每相邻两计数点间还有四个点未画出来，打点计时器使用的是频率为50Hz的220V交流电。[br][br][img width=314px,height=73px]https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2023/9/11/482e4394-9e27-413e-b913-d0d152c65b8a.png[/img][br][br]则小车的加速度大小为______[img]https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/720cd3a465f0dbe15475b3e61e0c0666.svg[/img]（计算结果保留三位有效数字）[br][/color][br][br][color=#ff0000]解析：[br]相邻两计数点时间间隔[math]T=0.1s[/math]，[br]用逐差法，[/color][br][math]a_1=\frac{x_4-x_1}{(4-1)T^2}=\frac{x_4-x_1}{3T^2}[/math][br][math]a_2=\frac{x_5-x_2}{(5-2)T^2}=\frac{x_5-x_2}{3T^2}[/math][br][math]a_3=\frac{x_6-x_3}{(6-3)T^2}=\frac{x_6-x_3}{3T^2}[/math][br][br][math]\overline{a}=\frac{a_1+a_2+a_3}{3}=\frac{(x_4+x_5+x_6)-(x_1+x_2+x_3)}{3\times3T^2}=\frac{x_{CF}-x_{OC}}{9T^2}=\frac{[(7.60+9.20+10.80)-(2.80+4.40+6.00)]\times10^{-2}}{9\times0.1^2}m/s^2=1.60m/s^2[/math][br]

[b]2、判断物体是否做匀变速直线运动[/b][br][br]匀变速直线运动和非匀变速直线运动的运动轨迹都有可能是不均匀的，我们从轨迹去判断匀变速直线运动就需要利用这个推论。[br][br]若每相邻两段的位移差相等，物体做匀变速直线运动；反之，每相邻两段的位移差不相等，物体做非匀变速直线运动。[br][br][color=#0000ff][b]例1[/b]：如图是某小球某次运动的频闪照片示意图，频闪仪每隔0.04s闪光一次。照片中的数字是小球落下的距离，单位是厘米。请充分利用图中的数据判断该小球的运动是不是匀加速直线运动，并表述判断过程。[br][/color][color=#0000ff][img]https://s2.loli.net/2024/10/25/pm9zb3KGZBhvVqd.png[/img][br][br][/color][color=#ff0000]解析：[br][/color][math]Δx_4=x_{CD}-x_{BC}=(10.80-6.40)-(6.40-3.00)=1.00cm[/math][br][math]Δx_3=x_{BC}-x_{AB}=(6.40-3.00)-(3.00-0.80)=1.20cm[/math][br][math]Δx_2=x_{AB}-x_{OA}=(3.00-0.80)-0.80=1.40cm[/math][br][math]Δx_1=x_{OA}=0.80cm[/math][color=#ff0000][br]连续相等时间的位移差不相等，物体不做匀变速直线运动。[/color][br][br]