GIE MAMI UPM, Mar 5, 2019

3DEXPLORA: Librería interactiva de curvas y superficies en ambiente 3D para visualizar y comprender conceptos geométricos útiles en Ingeniería y Arquitectura, vinculados a su descripción matemática. Es el resultado de la actividad del proyecto de innovación educativa 3D EXPLORA financiado por la Universidad Politécnica de Madrid. Autores: J. M. Alonso Trigueros (UPM), Alicia Cantón Pire (UPM), M. Castrillón López (UCM), D. Fox (UPM), O. Gil Álvarez (UdeLAR), D. Ortega Rodrigo (UAM), S. Pérez Gómez (USAL), E. Rosado María (UPM), M. J. Vázquez Gallo (UPM), A. J. Bravo Álvarez (estudiante, ETSAM, UPM), G. Moreno Prieto (estudiante ETSIDI, UPM).

Para dar la posición de un punto en el espacio basta con dar tres valores (números reales), estos valores indican la posición del punto con respecto a ciertas referencias y se llaman coordenadas del punto. Lo habitual son las coordenadas cartesianas descritas por la terna [math](x,y,z)[/math] con respecto a los tres ejes cartesianos. Pero en el espacio también son útiles otros sistemas coordenados. Además de las coordenadas cartesianas puede ser útil dar un punto en el espacio en términos de otros sistemas coordenados, como son el de las coordenadas cilíndricas o el de las coordenadas esféricas, ambos extienden de manera distinta las coordenadas polares del plano. En las coordenadas esféricas es posible considerar un ángulo (el que forma el segmento que une el punto con el origen y la parte positiva del eje vertical) llamado ángulo polar o su complementario. que da la latitud. En las construcciones de este capítulo presentamos los sistemas de [b]coordenadas cilíndricas[/b] y [b]esféricas[/b]. En el caso de las esféricas, se presentan tanto las esféricas en términos del ángulo polar como las esféricas en términos de la latitud. Además se presentan construcciones del [b]jacobiano de cada uno de estos sistemas de coordendas[/b]. El jacobiano mide la distorsión de un elemento diferencial de volumen. Para las coordenadas esféricas, según las demos en términos del ángulo polar o de la latitud el jacobiano tiene una expresión un otra. No hay una notación estandarizada para estos sistemas coordenados y puede ser que nuestra notación no coincida con la que usas habitualmente.

• 1. Coordenadas cilíndricas
• 2. Coordenadas esféricas con ángulo polar
• 3. Coordenadas esféricas con latitud
• 4. Jacobiano de las coordenadas cilíndricas
• 5. Jacobiano de las coordenadas esféricas con ángulos azimutal y polar
• 6. Jacobiano de las coordenadas esféricas con ángulo azimutal y latitud

En este capítulo se muestran construcciones relacionadas con funciones de dos variables. Las funciones de dos variables se pueden representar gráficamente como superficies en el espacio con la propiedad de que ninguna recta vertical interseca a la superficie en dos puntos distintos. En este caso se representa la función[math]f(x,y)[/math] mediante los puntos con coordenadas [math]\bigl(x,y,f(x,y)\bigr)[/math] donde [math]x[/math] e [math]y[/math] están en el dominio de la función [math]f[/math]. Las derivadas parciales de [math]f[/math], [math]\dfrac{\partial f}{\partial x}[/math] y [math]\dfrac{\partial f}{\partial y}[/math] también tienen una interpretación geométrica en términos de la gráfica de [math]f[/math]. De igual manera la derivada direccional de [math]f[/math] en la dirección [math]\mathbf{v}[/math], [math]D_{\mathbf{v}}f[/math] se puede interpretar geométricamente. El plano tangente a la gráfica de [math]f[/math] en un punto, viene dado en términos de las derivadas parciales. Cuando este plano tangente es horizontal la función [math]f[/math] ha alcanzado un máximo o un mínimo local (un extremo), o un punto silla. Otra representación gráfica de una función de dos variables [math]f(x,y)[/math] es mediante las curvas de nivel de la función: las curvas donde la función es constante. Estas curvas son curvas en el plano con ecuación implícita [math]f(x,y)=k[/math] donde [math]k[/math] es un valor en el rango de [math]f[/math] (es decir, existen puntos [math](x,y)[/math] para los que la ecuación tiene solución). Si [math](x_0,y_0)[/math] cumple que [math]f(x_0,y_0)=k[/math], entonces el gradiente de [math]f[/math] en ese punto [math]\nabla f(x_0,y_0)[/math] es un vector en el plano que es perpendicular a la curva de nivel con ecuación [math]f(x,y)=k[/math] y señala la dirección de máximo crecimiento de [math]f[/math] en ese punto. En las construcciones a continuación se muestran las interpretaciones geométricas de estos conceptos.

• 1. Gráficas de funciones de dos variables
• 2. Derivadas parciales
• 3. Derivada direccional
• 4. Puntos críticos de funciones y plano tangente
• 5. Curvas de nivel y vector gradiente
• 6. Vector gradiente

• 1. Vector tangente a una curva en un punto
• 2. Triedro de Frenet
• 3. Elipse y Triedro de Frenet
• 4. Curva de Viviani y Triedro de Frenet
• 5. Hélice y Triedro de Frenet
• 6. Sinusoides cilíndricas y Triedro de Frenet

• 1. Superficie parametrizada
• 2. Superficie parametrizada como gráfica de una función
• 3. Superficies cuádricas parametrizadas
• 4. Elipsoide
• 5. Paraboloide elíptico
• 6. Paraboloide hiperbólico parametrizado como superficie reglada
• 7. Parametrización de la esfera unidad con ángulo azimutal y ángulo polar
• 8. Parametrización de la esfera unidad con ángulo azimutal y latitud
• 9. Parametrización de la mitad superior de la esfera unidad con dominio rectangular
• 10. Parametrización racional de la mitad superior de la esfera
• 11. Dos parametrizaciones racionales para la esfera unidad
• 12. Toro
• 13. Curvas en un toro
• 14. Intersección de dos cilindros

Una superficie se dice reglada por cada punto de la superficie pasa una recta contenida en la superficie. Es decir se pueden generar mediante rectas. Algunos ejemplos destacados de superficies regladas son el cilindro, el cono, el paraboloide hiperbólico y el hiperboloide de una hoja.

• 1. Del cilindro al cono pasando por hiperboloides
• 2. Caracterización de superficies desarrollables
• 3. Hiperboloide
• 4. Paraboloide hiperbólico
• 5. Superficie desarrollable tangencial

Las superficies de revolución se generan haciendo rotar una curva plana alrededor de un eje de rotación que es una recta que se encuentra en el mismo plano que la curva. Si el eje de rotación es el eje [math]OZ[/math] y la curva perfil está en el plano [math]XZ[/math] la parametrización de la superficie de revolución se puede dar en términos de la parametrización de la curva perfil. Si la curva perfil tiene parametrización [math]\gamma(t)=\bigl(x(t),0,z(t)\bigr)[/math] con [math]a\le t\le b[/math], entonces una parametrización de la superficie de revolución es [math]\chi(t,\theta)=\bigl(x(t)\cos\theta, x(t)\sin\theta,z(t)\bigr)[/math] con [math]a\le t\le b[/math] y [math]0\le \theta\le 2\pi[/math]. Se puede ver que la intersección de la superficie con un plano horizontal (dado por [math]t[/math] constante) es una circunferencia de radio [math]x(t)[/math]. En las construcciones a continuación se presentan ejemplos de superficies de revolución, cómo se generan y la posibilidad de concatenar dos toros uno obtenido al rotar con respecto al eje [math]OZ[/math] para rotarlo a continuación con respecto al eje [math]OX[/math].

• 1. Copia de Generación de superficies de revolución
• 2. Superficie de revolución
• 3. Toroide
• 4. Toro y circunferencias de Villarceau

• 1. Plano tangente y vector normal I
• 2. Plano tangente y vector normal II
• 3. Curvatura seccional
• 4. Triedro de Darboux de una curva en una superficie

• 1. Clasificación de puntos en una superficie

El [b]teorema de Fubini[/b] permite calcular la integral doble de una función continua de dos variables sobre un rectángulo mediante dos integrales sucesivas sobre un intervalo, no importando el orden de integración, lo que se suele llamar como integrales iteradas. Si el rectángulo [math]R[/math] es [math][a,b]\times[c,d][/math], y [math]f[/math] es una función continua en [math]R[/math] entonces. [math] \displaystyle\iint_{R} f(x,y)\,dxdy=\displaystyle\int_{a}^{b}\left(\int_{c}^{d}f(x,y)\,dy\right)dx=\displaystyle\int_{c}^{d}\left(\int_{a}^{b}f(x,y)\,dx\right)dy. [/math] Cuando el dominio no es rectangular, en las integrales iteradas, la integral interior (entre paréntesis) tiene al menos un límite de integración que depende de la otra variable de integración (de la variable de integración de la integral exterior). El [b]principio de Cavalieri[/b] permite calcular el volumen de un sólido de revolución integrando el área de sus secciones transversales con planos perpendiculares al eje de revolución. Dicho de manera coloquial, calcula el volumen interpretando el sólido de revolución como un conjunto de rodajas que se obtienen al cortar el sólido mediante los planos transversales. Las secciones transversales de un sólido de revolución son círculos y/o anillos cuyo radio (o radios) dependen de la altura de la sección. El área de un círculo de radio [math]r[/math] es [math]\pi r^2[/math]. El área de un anillo de radio interno [math] r_1[/math] y radio externo [math]r_2[/math] ([math]r_1<r_2[/math]), es [math]\pi(r_2^2-r_1^2)[/math] que es la resta de las áreas del círculo externo y del círculo interno que componen el anillo. Los [b]teoremas de Pappus[/b] relacionan el área de una superficie de revolución y el volumen de un sólido de revolución con el recorrido de su centroide (centro de masas). En este caso la secciones se realizan mediante planos que contienen al eje de rotación, obteniéndose la curva perfil (si es una superficie de revolución) o la sección del área perfil (si es un sólido de revolución). En este capítulo se presentan varias construcciones para ilustrar el teorema de Fubini, el principio de Cavalieri y los teoremas de Pappus.

• 1. Teorema de Fubini
• 2. Integrales iteradas con dominio triangular
• 3. Integrales iteradas con dominio semicircular
• 4. Principio de Cavalieri para la esfera
• 5. Principio de Cavalieri, esfera horadada con cilindro
• 6. Principio de Cavalieri para toros
• 7. Cuerno de Gabriel
• 8. Área mediante el teorema de Pappus
• 9. Volumen mediante el teorema de Pappus

Una curva simple es una curva sin autointersecciones. Una curva se puede recorrer en un sentido o en el sentido opuesto (piénsese en una carretera que admite dos sentidos de circulación). Una curva cono un sentido de recorrido es una [b]curva orientada[/b]. Cuando la curva es una curva en el plano [math]XY[/math] y además es cerrada se dice que tiene orientación positiva si se recorre en sentido contrario a las agujas del reloj. De la misma manera, casi todas las superficies tienen dos caras. Hablar de una cara de una superficie es equivalente a hablar de una elección del vector normal (que es continua en cada punto). Cuando una superficie tiene dos caras se dice que es orientable, por ejemplo el cilindro que tiene una cara interna y otra externa. Cuando una superficie en el espacio es cerrada, se dice que está orientada positivamente si la orientación viene determinada por el vector normal exterior (que apunta hacia afuera de la superficie). Pero no todas las superficies son orientables. El ejemplo más importante de superficie no orientable es la banda de Möbius. Al integrar campos vectoriales sobre curvas o superficies hay que tener en cuenta la orientación de las mismas. El teorema de Gauss se cumple si la superficie cerrada está orientada positivamente, el de Stokes si la orientación de la superficie se corresponde con la orientación del borde de la superficie y el de Green si la orientación de las curvas del borde es la adecuada. A continuación se presentan construcciones para ayudar a entender la noción de orientación y su relación con los teoremas mencionados.

• 1. Orientación para el teorema de Green
• 2. Orientaciones para el teorema de Stokes
• 3. Imposibilidad de orientar la banda de Möbius

En este capítulo se verán ejemplos de campos vectoriales en el espacio, del flujo de campos vectoriales constantes y la circulación de un campo plano sobre una curva cerrada. [b]El flujo a través de una superficie[/b] mide cómo el campo atraviesa la superficie en una dirección determinada (por ejemplo el flujo de agua que atraviesa una red). Por tanto flujo viene dado por la componente normal del campo sobre la superficie cuando en esta se ha elegido una orientación. Si el vector normal unitario a la superficie orientada [math]\mathcal{S}[/math] se denota por [math]\mathbf{n}[/math], la componente normal del campo [math]\mathbf{F}[/math] sobre la superficie es el producto escalar [math]\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}[/math] y por tanto el flujo total a través de la superficie es [math] \displaystyle\int_{\mathcal{S}} \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS [/math] donde [math]dS[/math] denota el elemento diferencial de área de la superficie. La circulación mide la acción del campo sobre la curva orientada. En este caso, es la componente del campo que es tangencial a la curva. Si la curva está parametrizada como [math]\gamma(t)=\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr)[/math] para [math]a\le t\le b[/math] entonces la circulación del campo [math]\mathbf{F}(x,y,z)[/math] es la integral [math] \displaystyle\int_a^b \mathbf{F}\bigr(\gamma(t)\bigl)\cdot\gamma'(t)\,dt[/math].

• 1. Campos vectoriales en el espacio
• 2. Flujo a través de un plano
• 3. Flujo a través de una semiesfera. Teorema de Gauss
• 4. Circulación de un campo en el plano
• 5. Flujo de un campo con singularidad