[right][size=50]Diese Seite ist Teil des [color=#980000][i][b]GeoGebrabooks[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url] ([color=#ff7700][i][b]29.09.2020[/b][/i][/color])[/size][br][/right][size=85]Die [color=#0000ff][i][b]reelle ebene Möbiusgeometrie[/b][/i][/color] handelt von Punkten, Kreisen und Geraden, von Schnittpunkten,[br]von Winkeln zwischen Kreisen und der Lage von Punkten zu Kreisen. [br]Vieles davon kennt man aus der ebenen [color=#6aa84f][i][b]euklidischen Geometrie[/b][/i][/color] und kann mit den Hilfsmittel[br]von [color=#980000][i][b]ge[icon]/images/ggb/toolbar/mode_circle3.png[/icon]gebra[/b][/i][/color] einfach und erhellend erkundet werden.[br]Mit der [color=#ff0000][i][b]Spiegelung an Kreisen[/b][/i][/color] [icon]/images/ggb/toolbar/mode_mirroratcircle.png[/icon] verläßt man klickartig die [color=#6aa84f][i][b]euklidische Welt[/b][/i][/color] und landet in der [color=#0000ff][i][b]Kreisgeometrie[/b][/i][/color].[br]Als erstes muss man sich von den gewohnten Geraden verabschieden: aus Geraden werden allermeist nach[br]einer Inversion an einem Kreis - Kreise![br]Auch fällt auf, dass eine [color=#ff0000][i][b]Kreisspiegelung[/b][/i][/color] fast bijektiv ist: nur der Kreismittelpunkt findet kein Bild und kein Urbild![br]Kreise schneiden sich, wenn sie es tun, meist in 2 Punkten, Geraden aber nur in höchstens einem.[br]Alle diese Lücken lassen sich ganz einfach schließen: ein einziger zusätzlicher Punkt [math]\infty[/math] erweist sich [br]als Schnittpunkt aller Geraden, sogar die zuvor parallelen Geraden gehen durch diesen Punkt;[br]und [color=#ff0000][i][b]Kreisspiegelungen[/b][/i][/color] vertauschen den Kreismittelpunkt mit diesem Punkt [math]\infty[/math].[br]Aber! Abstände zwischen Punkten gibt es nun nicht mehr. [br]Dafür kann man weiterhin Winkel zwischen [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color] - zu denen nun die ehemals Geraden gehören - messen![br]Am ehesten klären sich die Verhältnisse, wenn man die Ebene stereographisch auf die [color=#073763][i][b]Kugel[/b][/i][/color] projiziert:[br]Auf der [/size][size=85][color=#134F5C][i][b][size=85][color=#073763][i][b]Kugel[/b][/i][/color] [/size][/b][/i][/color]gibt es keine Geraden, nur [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] - als Schnitte mit Ebenen: [math]\hookrightarrow[/math] siehe [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/hbjjc7qs][color=#0000ff][i][b]Möbiustransformationen[/b][/i][/color] auf der Kugel[/url].[br][br]Was sind die [color=#0000ff][i][b]Transformationen[/b][/i][/color] dieser Geometrie?[br]Die ebenen euklidischen Abbildungen gehören weiterhin dazu. [br]Hinzu kommen die Streckungen von einem Punkt aus ("äquiforme Geometrie"!)[br]und die [color=#0000ff][i][b]Kreisspiegelungen[/b][/i][/color].[/size]

[size=85]Eine Antwort sind die [i][b]gebrochen linearen Abbildungen[/b][/i] der um [math]\infty[/math] erweiterten [b]GAUSS[/b]schen Zahlenebene [math]\mathbb{C}\cup\{\infty\}[/math].[br][/size][list][*][size=85][math]z\mapsto\frac{a\cdot z+b}{c\cdot z+d}[/math] mit [math]a,b,c,d\in\mathbb{C}[/math] und [math]\mathbf{det}\left(\begin{array}{cc} a & b \\c & d\end{array}\right)\ne0[/math]; die gleichsinnige [color=#0000ff][i][b]Möbiustransformation[/b][/i][/color] [br]ist bis auf gemeinsame komplexe Vielfache von [math]a,b,c,d[/math] eindeutig festgelegt.[br][/size][/*][/list][size=85]Verknüpft man diese gleichsinnigen [color=#0000ff][i][b]Möbiustransformationen[/b][/i][/color] mit der Spiegelung [math]z\mapsto \bar{z}[/math], [br]so erhält man alle [/size][size=85][color=#0000ff][size=85][i][b]Möbiustransformationen[/b][/i][/size][/color].[br]Eine andere Antwort auf die obengestellte Frage liefert die [color=#980000][i][b]book[/b][/i][/color]-Seite [math]\hookrightarrow[/math][url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/hcmtesun] [math]\mathbf{SO(3,\mathbb{C})}[/math] als [color=#0000ff][i][b]Möbiusgruppe[/b][/i][/color][/url][color=#0000ff][i][b].[/b][/i][/color][br]Eine wichtige [i][b]numerische[/b][/i] Invariante der [color=#0000ff][i][b]Möbiustransformationen[/b][/i][/color] ist das [color=#cc0000][i][b]komplexe Doppelverhältnis[/b][/i][/color] von 4 Punkten:[br][/size][list][*][size=85][math]\mathbf{Dv}\left(z_1,z_2,z_3,z_4\right)=\frac{z_3-z_1}{z_3-z_2}\cdot\frac{z_4-z_2}{z_4-z_1}[/math][/size][br][/*][/list][size=85]Diese Invariante ist von der Reihenfolge der Punkte abhängig. [br]Dass das [/size][size=85][size=85][color=#cc0000][i][b]Doppelverhältnis[/b][/i][/color][/size] unter gebrochen linearen Abbildungen invariant ist, läßt sich leicht mit [color=#980000][i][b]geogebra[/b][/i][/color]-[b]CAS[/b] nachprüfen. [br]Von Hand ist diese Rechnung wegen der vielen Variablen etwas aufwendig - man begegnet dabei immer wieder [br]den seit [b]J. PLÜCKER[/b] (1801 - 1868) und [b]H. GRASSMANN[/b] (1809 - 1877) bekannten Rechnenregeln für [i][b]Determinanten[/b][/i].[br][br][math]\Longrightarrow\Longrightarrow[/math] Zu 2 Tripel [math]p_1,p_2,p_3[/math] und [math]q_1,q_2,q_3[/math] von jeweils verschiedenen Punkten gibt es genau eine gleichsinnige [color=#0000ff][i][b]Möbiustransformation[/b][/i][/color] [b]T[/b],[br]welche die Punkte in dieser Reihenfolge aufeinander abbildet:[br][/size][list][*][size=85] Löst man die Gleichung [math]\mathbf{Dv}\left(p_1,p_2,p_3,z\right)=\mathbf{Dv}\left(q_1,q_2,q_3,w\right)[/math] mit [color=#980000][i][b]geogebra[/b][/i][/color]-[b]CAS[/b] nach [math]w[/math] auf, [br]so erhält man die [color=#0000ff][i][b]Möbiustransformation[/b][/i][/color] [math]w=\frac{a\cdot z+b}{c\cdot z+d}[/math] mit den ziemlich symmetrisch aufgebauten Koeffizienten[list][*][math]a=p_1p_2\left(q_1-q_2\right)q_3+p_3p_1\left(q_3-q_1\right)q_2+p_2p_3\left(q_2-q_3\right)q_1[/math][br][/*][*][math]b=p_1\left(q_2-q_3\right)q_1+p_2\left(q_3-q_1\right)q_2+p_3\left(q_1-q_2\right)q_3[/math][br][/*][*][math]c=p_1p_2\left(q_1-q_2\right)+p_3p_1\left(q_3-q_1\right)+p_2p_3\left(q_2-q_3\right)[/math][br][/*][*][math]d=p_1\left(q_2-q_3\right)+p_2\left(q_3-q_1\right)+p_3\left(q_1-q_2\right)[/math][br][/*][/list]Die [i][b]Determinante[/b][/i] faktorisiert ergibt: [math]a\cdot c-b\cdot d=\left(p_1-p_2\right)\left(p_3-p_1\right)\left(p_2-p_3\right)\cdot\left(q_1-q_2\right)\left(q_3-q_1\right)\left(q_2-q_3\right)\ne0[/math], [br]das ist richtig nach Voraussetzung![br][/size][/*][/list][size=85][math]\Longrightarrow\Longrightarrow[/math] Vier verschiedene Punkte liegen auf einem Kreis, wenn ihr [/size][size=85][size=85][size=85][color=#cc0000][i][b]Doppelverhältnis[/b][/i][/color][/size][/size] reell ist! [br] [/size][size=85][size=85][color=#0000ff][i][b]Möbiustransformationen[/b][/i][/color][/size] sind [color=#ff0000][i][b]kreis[/b][/i][/color]-treu![br][br][math]\Longrightarrow\Longrightarrow[/math] Jede gleichsinnige [/size][size=85][size=85][size=85][color=#0000ff][i][b]Möbiustransformation[/b][/i][/color][/size][/size] besitzt genau 2 oder genau einen Fixpunkt [size=50]- falls es sich nicht um die Identität handelt![/size][br][/size][list][*][size=85]Dazu löse man die Gleichung [math]\frac{a\cdot z+b}{c\cdot z+d}=z[/math]; zu lösen ist eine [i][b]komplexe quadratische Gleichung[/b][/i].[/size][/*][/list][size=85]Auch mit Hilfe dieser Fixpunkte kann man die gleichsinnigen [color=#0000ff][i][b]Möbiustransformationen[/b][/i][/color] einteilen:[br][/size][list][*][size=85][i][b]elliptisch[/b][/i]: Drehung um die 2 Fixpunkte[/size][/*][*][size=85][i][b]hyperbolisch[/b][/i]: Streckung von dem einen Fixpunkt zum anderen[/size][/*][*][size=85][i][b]logarithmisch - loxodromisch[/b][/i]: Drehstreckung um die beiden Fixpunkte[/size][/*][*][size=85][i][b]parabolisch[/b][/i]: Verschiebung längs der Kreise eines parabolischen Kreisbüschels. [br]Der Berührpunkt ist der einzige Fixpunkt.[/size][/*][/list][size=85][br][math]\Longrightarrow\Longrightarrow[/math] [/size][size=85][size=85][color=#0000ff][i][b]Möbiustransformationen[/b][/i][/color][/size] sind bijektive [i][b]konforme[/b][/i], das heißt winkeltreue Abbildungen der um [math]\infty[/math] erweiterten [br]Ebene auf sich.[br]Umgekehrt ist eine jede bijektive [i][b]konforme[/b][/i] Abbildung der reellen [color=#0000ff][i][b]Möbiusebene[/b][/i][/color] eine [/size][size=85][size=85][color=#0000ff][i][b]Möbiustransformation[/b][/i][/color][/size]![/size]