-
Vectori - clasa a IX-a
-
1. Introducere
- Vectori - Introducere
-
2. Operații cu vectori. Aplicații
- Adunarea vectorilor
- Adunarea a 3 vectori
- Diferența vectorilor
- Descompunerea unui vector
- Înmulțirea unui vector cu un scalar
- Vectori coliniari
- Operații cu vectori
- Descompunerea vectorului w după direcțiile vectorilor u și v.
- Teorema medianei (forma vectorială)
-
3. Reper cartezian în plan. Coordonatele unui vector
- Coordonatele unui vector
- Coordonatele sumei vectoriale
- Mijlocul unui segment în reper cartezian
- Distanţa dintre două puncte
-
4. Vectori de poziție
- Vectorul de poziție al unui punct - Intro
- Vectorul de poziție - definiție
- Vectori de poziție - aplicație
- Vectorul de poziție al unui punct într-un sistem de axe ortogonal
- Vectorul de poziție al punctului care împarte un segment într-un raport dat
- Vectorul de poziție al mijlocului segmentului AB
-
5. Coliniaritate
- Coliniaritatea a 3 puncte
- Puncte coliniare - vectori coliniari
- Coliniaritatea a 3 puncte - Problemă
-
6. Drepte paralele
- Vectori coliniari. Drepte paralele
- Teorema lui Thales - enunț
- Teorema lui Thales
- Paralelism - problemă
-
7. Centrul de greutate
- Medianele unui triunghi. Centrul de greutate.
- Definiție centru de greutate
- Centrul de greutate - vector de poziție
- Concurența medianelor demonstrată vectorial
- Investigație - coordonatele centrului de greutate al unui triunghi
- Coordonatele centrului de greutate al unui triunghi - Aplicații
This activity is also part of one or more other Books. Modifications will be visible in all these Books. Do you want to modify the original activity or create your own copy for this Book instead?
This activity was created by '{$1}'. Do you want to modify the original activity or create your own copy instead?
This activity was created by '{$1}' and you lack the permission to edit it. Do you want to create your own copy instead and add it to the book?
Vectori - clasa a IX-a
ariana.vacaretu, Aug 4, 2021
Această carte Geogebra conține activități de învățare pentru parcurgerea unităților de învățare Vectori în plan și Coliniaritate, concurenţă, paralelism – calcul vectorial în geometria plană - profil tehnologic.
Table of Contents
- Introducere
- Vectori - Introducere
- Operații cu vectori. Aplicații
- Adunarea vectorilor
- Adunarea a 3 vectori
- Diferența vectorilor
- Descompunerea unui vector
- Înmulțirea unui vector cu un scalar
- Vectori coliniari
- Operații cu vectori
- Descompunerea vectorului w după direcțiile vectorilor u și v.
- Teorema medianei (forma vectorială)
- Reper cartezian în plan. Coordonatele unui vector
- Coordonatele unui vector
- Coordonatele sumei vectoriale
- Mijlocul unui segment în reper cartezian
- Distanţa dintre două puncte
- Vectori de poziție
- Vectorul de poziție al unui punct - Intro
- Vectorul de poziție - definiție
- Vectori de poziție - aplicație
- Vectorul de poziție al unui punct într-un sistem de axe ortogonal
- Vectorul de poziție al punctului care împarte un segment într-un raport dat
- Vectorul de poziție al mijlocului segmentului AB
- Coliniaritate
- Coliniaritatea a 3 puncte
- Puncte coliniare - vectori coliniari
- Coliniaritatea a 3 puncte - Problemă
- Drepte paralele
- Vectori coliniari. Drepte paralele
- Teorema lui Thales - enunț
- Teorema lui Thales
- Paralelism - problemă
- Centrul de greutate
- Medianele unui triunghi. Centrul de greutate.
- Definiție centru de greutate
- Centrul de greutate - vector de poziție
- Concurența medianelor demonstrată vectorial
- Investigație - coordonatele centrului de greutate al unui triunghi
- Coordonatele centrului de greutate al unui triunghi - Aplicații
Vectori - Introducere
Vectori - Introducere
Probabil că ai auzit că segmentele orientate (vectorii) se caracterizează atât prin lungime (sau modul) cât și prin direcție și sens.
Dar cum reprezentăm geometric vectorii?
Presupunem că avem o forță de 4N care acționează asupra unui corp pe direcția orizontală, spre dreapta. Cum reprezentăm geometric acest lucru?
Să considerăm că avem un segment cu lungimea de 4 unități. Este suficient pentru a reprezenta geometric situația descrisă mai sus? Nu. Trebuie să evidențiem prin desen și direcția și sensul. Cum procedăm?
Să presupunem că segmentul AB are originea în A și extremitatea în B (deci, deja știm sensul). Cum putem arăta direcția? Direcția este asociată unei mișcări, nu-i așa?
Observăm că atunci când vrem să desenăm segmentul AB începem desenul în A și apoi continuăm modificând poziția vârfului creionului. De ce să nu desenăm orizontal (direcția forței) spre dreapta un segment cu lungimea de 4 unități. Capătul din dreapta al acestui segment este în punctul B.
Construiește vectorul descris mai sus. Asigură-te că are lungimea de 4 unități și că indică o direcție orizontală spre dreapta. Apoi construiește un alt vector, cu direcția verticală, orientat în sus, cu lungimea de 3 unități.
Vectori egali
Doi vectori sunt egali dacă au aceeași direcție, aceeași lungime (sau același modul) și același sens.
Să presupunem că avem vectorii și . În ce condiții sunt acești 2 vectori egali?
Modifică poziția punctelor A, B, C sau D. Sunt cei 2 vectori egali? Modifică poziția punctelor A, B, C, D astfel încât vectorii să fie egali.
Vectorul unitate (sau versor)
Un vector care are modulul (lungimea) egal cu 1 se numește vector unitate. Vectorul unitate poate avea orice direcție.
Există 2 vectori unitate mai „speciali”. Ei se notează cu și . Primul are direcția axei Ox și sensul lui este sensul pozitiv al axei Ox; al doilea are direcția axei Oy și sensul lui este același cu sensul pozitiv al axei Oy.
Modifică poziția punctului A.
Operații cu vectori. Aplicații
-
1. Adunarea vectorilor
-
2. Adunarea a 3 vectori
-
3. Diferența vectorilor
-
4. Descompunerea unui vector
-
5. Înmulțirea unui vector cu un scalar
-
6. Vectori coliniari
-
7. Operații cu vectori
-
8. Descompunerea vectorului w după direcțiile vectorilor u și v.
-
9. Teorema medianei (forma vectorială)
Adunarea vectorilor
Puteţi folosi mouse-ul pentru a modifica vectorii şi
Coordonatele unui vector
Orice vector dintr-un sistem de axe de coordonate se poate scrie unde sunt două numere reale iar și sunt versorii (vectorii unitate) axelor .
Dacă și , atunci care sunt valorile lui și, respectiv, ?
Vectori de poziție
-
1. Vectorul de poziție al unui punct - Intro
-
2. Vectorul de poziție - definiție
-
3. Vectori de poziție - aplicație
-
4. Vectorul de poziție al unui punct într-un sistem de axe ortogonal
-
5. Vectorul de poziție al punctului care împarte un segment într-un raport dat
-
6. Vectorul de poziție al mijlocului segmentului AB
Vectorul de poziție al unui punct - Intro
Poziția se stabilește față de un punct de referință (punct fix)
Coliniaritatea a 3 puncte
Vectori coliniari
Doi vectori sunt coliniari dacă au aceeași direcție, fără a avea neapărat același modul și același sens.
Vectori necoliniari
Doi vectori care nu au aceeași direcție sunt vectori necoliniari.
Să ne reamintim: Vectori coliniari
Care dintre vectorii de mai jos sunt coliniari?
Reprezintă, în aplicația de mai jos, punctele A, B, C coliniare și vectorii și .
Apoi, reprezintă punctul D astfel încât A, B și D să fie necoliniare. Sunt vectorii și coliniari?
Adevărat sau fals?
Stabilește valoarea de adevăr a propoziției:
Doi vectori sunt coliniari dacă și numai dacă
a) au dreptele suport paralele
sau
b) dreptele suport coincid.
Punctele A, B, C sunt coliniare dacă și numai dacă vectorii și sunt coliniari.
Vectori coliniari. Drepte paralele
Vectori coliniari & drepte paralele
Fie A, B, C, D sunt patru puncte distincte.
1. Dacă dreptele , atunci vectorii și sunt coliniari.
2. Dacă vectorii și sunt coliniari și nu aceeași dreaptă suport, atunci .
Modifică poziția punctelor și/ sau a dreptelor din configurație.
Centrul de greutate
-
1. Medianele unui triunghi. Centrul de greutate.
-
2. Definiție centru de greutate
-
3. Centrul de greutate - vector de poziție
-
4. Concurența medianelor demonstrată vectorial
-
5. Investigație - coordonatele centrului de greutate al unui triunghi
-
6. Coordonatele centrului de greutate al unui triunghi - Aplicații
Medianele unui triunghi. Centrul de greutate.
Folosește aplicația următoare pentru a rezolva sarcinile de mai jos! In acest fel vei (re-)descoperi ce proprietăți au medianele unui triunghi!
* Construiește un triunghi ABC cu ajutorul instrumentului poligon (după selectare fă 3 clik-uri pentru cele trei vârfuri A, B, C și apoi din nou pe A pentru închiderea poligonului).
Reamintim! Mediana unui triunghi este segmentul care unește vârful unui triunghi cu mijlocul laturii opuse.
* Pentru a construi o mediană avem nevoie de mijlocul laturilor (dacă ați uitat cum se construiește mediana, revedeți lecția Mediana unui triunghi). Redenumește mijloacele astfel: M mijlocul lui BC, N mijlocul lui AB și P mijlocul lui AC.
* Acum mai trebuie să unești printr-un segment vârful A și mijlocul M, vârful B și mijlocul P, vârful C și mijlocul N. (Alege instrumentul segment și dă clik pe punctele vârf și mijloc)
Ai construit astfel cele trei mediane ale triunghiului. Modifică forma triunghiului. Ce observi despre cele trei mediane?
Personalizare! Poți colora triunghiul , laturile și punctele. Pentru aceasta selectează cu ajutorul instrumentului selecție elementul pe care vreți să îl personalizezi și din meniul cu proprietăți selectează ce culoare vrei.
* Cu instrumentul intersecție vei construi un punct acolo unde cele trei mediane se intersectează. Selectează instrumentul intersecție și apoi clik pe două dintre mediane.
* Vom renota acest punct de intersecție cu G. Acest punct se numește „centrul de greutate” al triunghiului.
Unde se află centrul de greutate dacă triunghiul este ascuțitunghic?
Unde se află centrul de greutate dacă triunghiul este dreptunghic?
Unde se află centrul de greutate dacă triunghiul este obtuzunghic?
* În continuare îți propun să măsori lungimile segmentelor AG și GM. Pentru aceasta selectează instrumentul distanță și apoi clik pe punctul A și pe punctul G. Astfel ai obținut lungimea segmentului AG. Clik pe G și apoi pe M. Astfel ai obținut lungimea segmentului GM.
Care este raportul dintre AG și GM?
Care este raportul dintre AG și AM?
Care este raportul dintre GM și AM?
Care este raportul dintre GM și AG?
Bifează propozițiile adevărate!
Acum verifică dacă proprietățile descoperite mai sus despre punctul G sunt respectate și pentru medianele BP și CN!
Saving…
All changes saved
Error
A timeout occurred. Trying to re-save …
Sorry, but the server is not responding. Please wait a few minutes and then try to save again.