Vectori - clasa a IX-a
Această carte Geogebra conține activități de învățare pentru parcurgerea unităților de învățare [b]Vectori în plan[/b] și [b]Coliniaritate, concurenţă, paralelism – calcul vectorial în geometria plană[/b] - profil tehnologic.
Table of Contents
- Introducere
- Vectori - Introducere
- Operații cu vectori. Aplicații
- Adunarea vectorilor
- Adunarea a 3 vectori
- Diferența vectorilor
- Descompunerea unui vector
- Înmulțirea unui vector cu un scalar
- Vectori coliniari
- Operații cu vectori
- Descompunerea vectorului w după direcțiile vectorilor u și v.
- Teorema medianei (forma vectorială)
- Reper cartezian în plan. Coordonatele unui vector
- Coordonatele unui vector
- Coordonatele sumei vectoriale
- Mijlocul unui segment în reper cartezian
- Distanţa dintre două puncte
- Vectori de poziție
- Vectorul de poziție al unui punct - Intro
- Vectorul de poziție - definiție
- Vectori de poziție - aplicație
- Vectorul de poziție al unui punct într-un sistem de axe ortogonal
- Vectorul de poziție al punctului care împarte un segment într-un raport dat
- Vectorul de poziție al mijlocului segmentului AB
- Coliniaritate
- Coliniaritatea a 3 puncte
- Puncte coliniare - vectori coliniari
- Coliniaritatea a 3 puncte - Problemă
- Drepte paralele
- Vectori coliniari. Drepte paralele
- Teorema lui Thales - enunț
- Teorema lui Thales
- Paralelism - problemă
- Centrul de greutate
- Medianele unui triunghi. Centrul de greutate.
- Definiție centru de greutate
- Centrul de greutate - vector de poziție
- Concurența medianelor demonstrată vectorial
- Investigație - coordonatele centrului de greutate al unui triunghi
- Coordonatele centrului de greutate al unui triunghi - Aplicații
Vectori - Introducere
Vectori - Introducere
[size=85][size=100][size=150]Probabil că ai auzit că segmentele orientate (vectorii) se caracterizează atât prin lungime (sau modul) cât și prin direcție și sens.[br][br]Dar cum reprezentăm geometric vectorii? [br]Presupunem că avem o forță de 4N care acționează asupra unui corp pe direcția orizontală, spre dreapta. Cum reprezentăm geometric acest lucru? [br][br]Să considerăm că avem un segment cu lungimea de 4 unități. Este suficient pentru a reprezenta geometric situația descrisă mai sus? Nu. Trebuie să evidențiem prin desen și direcția și sensul. Cum procedăm?[br][br]Să presupunem că segmentul AB are originea în A și extremitatea în B (deci, deja știm sensul). Cum putem arăta direcția? Direcția este asociată unei mișcări, nu-i așa?[br]Observăm că atunci când vrem să desenăm segmentul AB începem desenul în A și apoi continuăm modificând poziția vârfului creionului. De ce să nu desenăm orizontal (direcția forței) spre dreapta un segment cu lungimea de 4 unități. Capătul din dreapta al acestui segment este în punctul B. [/size][/size][/size]
Construiește vectorul descris mai sus. Asigură-te că are lungimea de 4 unități și că indică o direcție orizontală spre dreapta. Apoi construiește un alt vector, cu direcția verticală, orientat în sus, cu lungimea de 3 unități.
Vectori egali
[size=100][size=150]Doi vectori sunt egali dacă au aceeași direcție, aceeași lungime (sau același modul) și același sens. [br]Să presupunem că avem vectorii [math]\vec{AB}[/math] și [math]\vec{CD}[/math]. În ce condiții sunt acești 2 vectori egali?[br][/size][/size]
Modifică poziția punctelor A, B, C sau D. Sunt cei 2 vectori egali? Modifică poziția punctelor A, B, C, D astfel încât vectorii să fie egali.
Vectorul unitate (sau versor)
[size=150]Un vector [math]\vec{AB}[/math] care are modulul (lungimea) [math]\left|\vec{AB}\right|[/math] egal cu 1 se numește vector unitate. Vectorul unitate poate avea orice direcție.[br]Există 2 vectori unitate mai „speciali”. Ei se notează cu [math]\vec{i}[/math] și [math]\vec{j}[/math] . Primul are direcția axei Ox și sensul lui este sensul pozitiv al axei Ox; al doilea are direcția axei Oy și sensul lui este același cu sensul pozitiv al axei Oy. [/size]
Modifică poziția punctului A.
Adunarea vectorilor
Puteţi folosi mouse-ul pentru a modifica vectorii [math]\vec{a}[/math] şi [math]\vec{b}[/math]
Coordonatele unui vector
Orice vector dintr-un sistem de axe de coordonate se poate scrie [math]\alpha\vec{i}+\beta\vec{j}[/math] unde [math]\alpha,\beta[/math] sunt două numere reale iar [math]\vec{i}[/math] și [math]\vec{j}[/math] sunt versorii (vectorii unitate) axelor .
Dacă [math]C\left(2,5\right)[/math] și [math]D\left(-2,8\right)[/math], atunci care sunt valorile lui [math]\alpha[/math] și, respectiv, [math]\beta[/math]?
Vectorul de poziție al unui punct - Intro
Poziția se stabilește față de un punct de referință (punct fix)
Coliniaritatea a 3 puncte
[b]Vectori coliniari[/b][br]Doi vectori sunt coliniari dacă au aceeași direcție, fără a avea neapărat același modul și același sens.[br][b]Vectori necoliniari[br][/b]Doi vectori care [b]nu[/b] au aceeași direcție sunt vectori necoliniari.
Să ne reamintim: Vectori coliniari
Care dintre vectorii de mai jos sunt coliniari?
Reprezintă, în aplicația de mai jos, punctele A, B, C [b]coliniare[/b] și vectorii [math]\vec{AB}[/math]și [math]\vec{AC}[/math].[br]Apoi, reprezintă punctul D astfel încât A, B și D să fie [b]necoliniare[/b]. Sunt vectorii [math]\vec{AB}[/math] și [math]\vec{AD}[/math] [b]coliniari[/b]?
Adevărat sau fals?
Stabilește valoarea de adevăr a propoziției:[br][br]Doi vectori sunt coliniari dacă și numai dacă [br]a) au dreptele suport paralele [br]sau[br]b) dreptele suport coincid.
Punctele [b]A, B, C sunt coliniare [/b]dacă și numai dacă [b]vectorii [/b][math]\vec{AB}[/math][b] și [/b][math]\vec{AC}[/math][b] sunt coliniari[/b].[br][br]
Vectori coliniari. Drepte paralele
Vectori coliniari & drepte paralele
Fie A, B, C, D sunt patru puncte distincte.[br][br]1. Dacă dreptele [math]AB\parallel CD[/math], atunci vectorii [math]\vec{AB}[/math] și [math]\vec{CD}[/math]sunt coliniari.[br]2. Dacă vectorii [math]\vec{AB}[/math] și [math]\vec{CD}[/math]sunt coliniari și nu aceeași dreaptă suport, atunci [math]AB\parallel CD[/math].
Modifică poziția punctelor și/ sau a dreptelor din configurație.
Medianele unui triunghi. Centrul de greutate.
[b][color=#741b47]Folosește aplicația următoare pentru a rezolva sarcinile de mai jos! In acest fel vei (re-)descoperi ce proprietăți au medianele unui triunghi![/color][/b]
[i][b][color=#9900ff]* Construiește un triunghi ABC cu ajutorul instrumentului [/color][color=#ff00ff]poligon[/color][color=#9900ff] (după selectare fă 3 clik-uri pentru cele trei vârfuri A, B, C și apoi din nou pe A pentru închiderea poligonului).[/color][/b][/i]
[b][color=#ff7700]Reamintim! Mediana unui triunghi este segmentul care unește vârful unui triunghi cu mijlocul laturii opuse.[/color][/b] [br][b][color=#9900ff]* Pentru a construi o mediană avem nevoie de mijlocul laturilor [/color][/b](dacă ați uitat cum se construiește mediana, revedeți lecția [url=http://invatamate.com/Lectii/Clasa6/medianaprop1.html]Mediana unui triunghi[/url]). [b][i][color=#9900ff]Redenumește mijloacele astfel: M mijlocul lui BC, N mijlocul lui AB și P mijlocul lui AC.[/color][/i][/b]
[b][i][color=#9900ff]* Acum mai trebuie să unești printr-un segment vârful A și mijlocul M, vârful B și mijlocul P, vârful C și mijlocul N. (Alege instrumentul [/color][color=#ff00ff]segment[/color][color=#9900ff] și dă clik pe punctele vârf și mijloc)[/color][/i][/b]
[i][color=#00ff00][size=100][size=150]Ai construit astfel cele trei mediane ale triunghiului. Modifică forma triunghiului. Ce observi despre cele trei mediane?[/size][/size][/color][/i]
[color=#3c78d8][b]Personalizare! Poți colora triunghiul , laturile și punctele. Pentru aceasta selectează cu ajutorul instrumentului selecție elementul pe care vreți să îl personalizezi și din meniul cu proprietăți selectează ce culoare vrei.[/b][/color]
[b][i][color=#9900ff]* Cu instrumentul [/color][color=#ff00ff]intersecție[/color][color=#9900ff] vei construi un punct acolo unde cele trei mediane se intersectează. Selectează instrumentul intersecție și apoi clik pe două dintre mediane.[/color][/i][/b]
[b][i][color=#9900ff]* Vom renota acest punct de intersecție cu G. Acest punct se numește „centrul de greutate” al triunghiului.[/color][/i][/b]
[size=150][color=#00ff00][i]Unde se află centrul de greutate dacă triunghiul este ascuțitunghic?[/i][/color][/size]
[size=150][color=#00ff00][i]Unde se află centrul de greutate dacă triunghiul este dreptunghic?[/i][/color][/size]
[size=150][color=#00ff00][i]Unde se află centrul de greutate dacă triunghiul este obtuzunghic?[/i][/color][/size]
[b][i][color=#9900ff]* În continuare îți propun să măsori lungimile segmentelor AG și GM. Pentru aceasta selectează instrumentul [/color][color=#ff00ff]distanță [/color][color=#9900ff]și apoi clik pe punctul A și pe punctul G. Astfel ai obținut lungimea segmentului AG. Clik pe G și apoi pe M. Astfel ai obținut lungimea segmentului GM.[/color][/i][/b]
[size=150][color=#00ff00][i]Care este raportul dintre AG și GM?[/i][/color][/size]
[size=150][color=#00ff00][i]Care este raportul dintre AG și AM?[/i][/color][/size]
[size=150][color=#00ff00][i]Care este raportul dintre GM și AM?[/i][/color][/size]
[size=150][color=#00ff00][i]Care este raportul dintre GM și AG?[/i][/color][/size]
[i][color=#00ff00][size=150]Bifează propozițiile adevărate![/size][/color][/i]
[b][color=#1e84cc]Acum verifică dacă proprietățile descoperite mai sus despre punctul G sunt respectate și pentru medianele BP și CN![/color][/b]