La funzione esponenziale
[size=150]La [b]funzione esponenziale[/b] è una funzione che presenta l’incognita x all’esponente.[br]La forma più basilare di funzione esponenziale è la seguente:[br][br][center][img]https://andreailmatematico.it/wp-content/uploads/2022/01/image-115.png[/img][br][/center]Come la possiamo visualizzare graficamente?[/size]
Esplora la funzione esponenziale muovendo lo slider e cambiando la BASE.
[size=150]Non è un caso che [b]a[/b] assuma solo valori positivi con lo slider: la base della funzione esponenziale [u]deve essere strettamente positiva, cioè positiva e diversa da zero[/u].[br][br][center][math]a\in\mathbb{R}^+[/math][/center][/size]
[size=150]a) Qual è il dominio della funzione (insieme delle x per cui esiste)?[br][br]b) Qual è l'immagine della funzione (insieme delle y assunte dalla funzione)?[br][br]c) Quali sono i punti di intersezione della funzione con gli assi cartesiani?[br][br]d) Perché tutte le funzioni hanno in comune il punto di coordinate (0,1)?[br][br][/size][size=150]e) La funzione è iniettiva? (Ogni retta orizzontale la interseca in al massimo un punto!)[/size]
[size=150]a) Com'è il grafico della funzione per [b]a=1[/b]?[br][br]b) Com'è il grafico della funzione per [b]0<a<1[/b][b]?[br][br][/b]c) Com'è il grafico della funzione per[b] a>1[/b][b]?[/b][/size]
Problema
[size=150]Una popolazione di batteri raddoppia ogni ora. Inizialmente c'è un batterio.[br][br]a) Qual è la funzione esponenziale che modellizza il numero di batteri y al variare del numero di ore?[br][br]b) Quanti sono i batteri dopo 8 ore?[br][br][/size][size=150]c) Se all'inizio i batteri fossero 5, come modificheresti la funzione esponenziale che modellizza il numero di batteri?[/size]
Nella funzione qui sotto è stato aggiunto un coefficiente moltiplicato per la funzione esponenziale. Esplora il grafico muovendo il punto e lo slider.
[size=150]Tenendo conto che è come se sull'asse x leggessimo il tempo e sull’asse y l’andamento di una quantità che varia esponenzialmente,[br][br]a) Dal punto di vista grafico, dove si legge la quantità iniziale?[br][br]b) Qual è il termine nell’espressione analitica della funzione esponenziale che indica la quantità iniziale? [/size]
[size=150]Supponiamo che abbiamo una funzione nella forma[br][br][center][math]y=a\cdot b^x[/math][/center][br]Quale termine indica la quantità iniziale?[/size]
[size=150]Abbiamo una funzione della forma [br][br][center][math]y=a\cdot b^x[/math][/center][br]con [i]a[/i] > 0 e [i]b[/i] > 0. [br]Da cosa dipende se si ha una CRESCITA o una DECRESCITA esponenziale?[/size]
[size=150]Il prezzo di un articolo che costa inizialmente 3 € [b]ogni anno[/b] aumenta del 29% [b]rispetto all'anno precedente[/b]. [br][center]Trova la funzione che descrive il modello.[/center][/size]
Come mai quell'1.29?[br]Studiamo il costo con il passare degli anni[br][br]Anno 0 [math]3[/math][br]Anno 1 [math]3+\frac{29}{100}\cdot3=\frac{129}{100}\cdot3=1.29\cdot3[/math] (ho solo fatto il denominatore comune!)[br]Anno 2 [math]1.29\cdot3+\frac{29}{100}\cdot1.29\cdot3=\frac{129}{100}\cdot1.29.3=\left(1.29\right)^2\cdot3[/math] (anche qui denominatore comune!)[br][br]...[br][br]Anno x [math]\left(1.29\right)^x\cdot3[/math][br][br]Hai capito?
[size=150]Sia y il prezzo di un articolo dopo x anni e sia descritto dalla funzione[br][br][center] [math]y=5\cdot0.75^x[/math][/center][br]Quali delle seguenti affermazioni sono vere?[/size]
Se non hai risolto questo problema l’altro giorno, sapresti farlo adesso? Lascia pure stare la domanda 2.
[size=150][center][b]Challenge[/b][/center][br]Per un lavoro di un mese di 30 giorni, quale compenso sarebbe più conveniente?[br]a) Un miliardo di euro a fine mese.[br]b) Due euro il primo giorno e ogni giorno il capitale è raddoppiato. [/size][size=150]Spiega il tuo ragionamento.[/size]
Domanda: se inserissimo un fattore moltiplicativo negativo davanti all'esponenziale, cosa succederebbe al grafico secondo te?
Disegna nella finestra qui sotto quello che secondo te è il grafico approssimato di[br][br][center][math]y=-3\cdot2^x[/math][/center]