Ungleichungen
Material für Schülerinnen und Schüler, zur Unterrichtsplanung Ungleichungen in der 6. Klasse AHS.
Table of Contents
- Aktivität 1
- Relations- und Intervallzeichen
- Illustration der Intervallschreibweise
- Lösungsmengen von Ungleichungen
- Ungleichungen für Profis
- Aktivität 2
- Ungleichungen lösen
- Superbrain - Ungleichungen
- Ungleichungen Arbeitsblatt 1
- Ungleichungen Arbeitsblatt 2
- Aktivität 3
- Grafische Darstellung linearer Ungleichungen
- Intervallschreibweise: Quiz
- Aktivität 4
- Lineare Ungleichungen mit 2 Variablen
- Ungleichungen grafisch darstellen
- Lineare Ungleichungssysteme - grafische Darstellung
- Lineare Ungleichungssysteme
- Lineares Ungleichungssystem aufstellen
- Aktivität 5
- Bruchungleichungen - Erklärung
- Arbeitsblatt Bruchungleichungen 1
- Aktivität 6
- Betragsgleichungen
- Betragsungleichungen
- Ungleichungen lösen
- Betragsungleichungen - grafisch
- Aktivität 7
- Quadratische Gleichungen faktorisieren - Wiederholung aus der 5. Klasse
- Aktivität 8
- Quadratische Ungleichungen - Erklärung
- Grafische Darstellung - Betragsungleichungen und quadratische Ungleichungen
Relations- und Intervallzeichen
Relationszeichen
Kreuze alle richtigen Aussagen an.
Kreuze alle richtigen Aussagen an.
Intervallzeichen
Kreuze alle richtigen Aussagen an.
Ungleichungen lösen
Eine Ungleichung besteht aus zwei Termen, die durch ein Relationszeichen (=Ungleichheitszeichen) verbunden sind.[br]Mit Ungleichungen kann man ähnlich rechnen wie mit Gleichungen. [br]Es [b]gibt nur zwei Unterschiede[/b]: In einer Ungleichung muss [b]das Relationszeichen umgedreht[/b] werden, wenn[br][list][*]beide Seiten vertauscht werden,[/*][*]beide Seiten mit einer [b]negativen Zahl multipliziert[/b] oder durch eine [b]negative Zahl dividiert[/b] werden.[/*][/list]
Versuche die Lösungsschritte der Ungleichung nachzuvollziehen.
Versuche nun die Ungleichung zuerst selbst auf einem Blatt Papier zu lösen und siehe dir dann die einzelnen Umformungsschritte an.
Grafische Darstellung linearer Ungleichungen
Lineare Ungleichungen
Die Lösungsmenge von Ungleichungen kann mach auch grafisch, am Zahlenstrahl darstellen.[br][br]Übe diese Darstellung im folgenden Applet. Achte darauf ob die Zahl am Rande des Intervalls IM oder AUßERHALB des Intervalls liegt.
Eine weitere Möglichkeit ist diese Darstellung.
Lineare Ungleichungen mit 2 Variablen
Sieh dir den Inhalt dieser Seite durch. Notiere dir deine Fragen und besprich diese mit deiner Lehrerin oder deinem Lehrer.
Falls der Link nicht funktioniert, versuche es hier:
[url=https://www.mathebibel.de/lineare-ungleichungen-mit-zwei-variablen]Lineare Ungleichungen mit zwei Variablen[/url]
Bruchungleichungen - Erklärung
Definition
Unter einer Bruchungleichung verstehen wir eine Ungleichung, die mindestens einen Bruchterm enthält. Ein Bruchterm ist ein Bruch, dessen Nenner eine Variable enthält.[br][br]Zu beachten ist:[br][br][list][*]Bruchungleichungen lassen sich wie auch Ungleichungen durch Äquivalenzumformungen lösen. [br][/*][*]Zuvor muss man jedoch die Definitionsmenge des Bruchterms bestimmen (Nenner beachten!). [/*][*]Wie von Ungleichungen bekannt, muss bei einer Multiplikation oder Divison der Ungleichung mit einer negativen Zahl das Relationszeichen umgekehrt werden. [/*][*]Wird eine Bruchungleichung mit einer Variable multipliziert oder dividiert, muss eine Fallunterscheidung gemacht werden.[br][/*][/list]
Bruchungleichung Beispiel 1
Versuche, das folgende Beispiel nachzuvollziehen. Im Anschluss ist eine Erklärung dazu gegeben.
[list=1][*]Zunächst wird die Definitionsmenge bestimmt. So darf für x nicht 5 in die Ungleichung eingesetzt werden, da sonst eine Division durch Null erfolgen würde.[/*][*]Anschließend überlegen wir uns, die Bedingungen, für die ein Bruch größer als Null wird. Dies ist bei Fall 1, wenn Zähler und Nenner größer Null sind oder bei Fall 2, wenn Zähler und Nenner kleiner Null sind.[/*][*]Fall 1 wird durch bekannte Äquivalenzumformungen gelöst. [math]x>5[/math] schließt [math]x>-2[/math] mit ein, daher ist [math]x>5[/math] die Lösungsmenge zu Fall 1.[/*][*]Fall 2 wird durch bekannte Äquivalenzumformungen gelöst. [math]x<-2[/math] schließt [math]x<5[/math] mit ein, daher ist [math]x<-2[/math] die Lösungsmenge zu Fall 2.[/*][*]Diese Bruchungleichung hat also zwei Lösungen, diese werden in der Lösungsmenge mit einem "oder" verbunden.[br][/*][/list]
Bruchungleichungen Beispiel 2
Zunächst wird auch bei diesem Beispiel wieder die Definitionsmenge bestimmt. [br]Anschließend erfolgt die Fallunterscheidung dahin gehend, dass der Nenner einmal größer als Null und einmal kleiner als Null ist.[br]1. Fall: Der Nenner ist größer als Null. Berechne die Bedingung dafür. Anschließend können wir in der Ungleichung mit Äquivalenzumformungen die Lösungsmenge anschreiben.[br]2. Fall: Der Nenner ist kleiner als Null. Berechne die Bedingung dafür. Anschließend können wir in der Ungleichung mit Äquivalenzumformungen die Lösungsmenge anschreiben.[br]Die gesamte Lösungsmenge ist die Vereinigung der Lösung von Fall 1 und Fall 2. [br][br]Lasse dir anschließend im Grafikfenster die Lösungsmenge und Funktionen noch anzeigen.
Betragsgleichungen
Sieh dir das Video zum Lösen von Betragsgleichungen an. Halte dir ein Blatt Papier bereit und versuche dir wichtige Dinge mitzuschreiben, notiere dir Fragen. Die Fragen kannst du mit deiner Lehrerin oder deinem Lehrer klären.
Quadratische Gleichungen faktorisieren - Wiederholung aus der 5. Klasse
Normierte quadratische Gleichungen der Form x² + px + q = 0
Sind die Lösungen [math]x_1[/math] und [math]x_2[/math] der quadratischen Gleichung [math]x^2+px+q=0[/math] bekannt, dann lässt sich der quadratische Term [i]faktorisieren[/i]:[br][i][math]x^2+px+q=\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)[/math][/i][br][br]Die Lösungen [math]x_1[/math] und [math]x_2[/math] erhält man durch Lösen der quadratischen Gleichung mithilfe der [i]kleinen Lösungsformel[/i]: [math]x=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\frac{p^2}{4}-q}[/math][br][br]Die Diskriminante [math]\frac{p^2}{4}-q[/math] gibt dabei Auskunft über die Anzahl der Lösungen:[br][br][list][*][math]\frac{p^2}{4}-q>0[/math]: 2 reelle Lösungen[/*][*][math]\frac{p^2}{4}-q=0[/math]: 1 reelle Lösung[/*][*][math]\frac{p^2}{4}-q<0[/math]: keine reelle Lösung[/*][/list]
Faktorisiere folgende quadratische Gleichungen durch das Lösen mit der kleinen Lösungsformel
[list][*][b]x[sup]2 [/sup]- 8x + 15 = ?[/b][/*][/list]
[list][*][b]2x[sup]2 [/sup]+ 4x - 6 = ?[/b][/*][/list]
Finde die normierte quadratische Gleichung mit den gegebenen Lösungen
[list][*][b]x[sub]1 [/sub]= 1, x[sub]2 [/sub]= 2[/b][/*][/list]
[list][*][b]x[sub]1 [/sub]= -1, x[sub]2 [/sub]= 4[/b][/*][/list]
Quadratische Ungleichungen - Erklärung
Auch die Lösungen quadratischer Ungleichungen lassen sich durch eine Fallunterscheidung finden.
Versuche folgendes Beispiel nachzuvollziehen!
Löse die quadratische Ungleichung [math]\left(x-1\right)\left(x-5\right)>0[/math] durch Fallunterscheidung nach dem Vorzeichen der Faktoren.[br][br][b]Vorgehensweise[/b]:[br]Das Produkt [math]\left(x-1\right)\left(x-5\right)[/math] ist positiv, wenn beide Faktoren positiv oder aber beide Faktoren negativ sind.[br]Es müssen also [b]zwei Fälle[/b] unterschieden werden:[br][br][list=1][*][b]Fall:[/b] Beide Faktoren sind positiv.[br][br]Also gilt [math]\left(x-1\right)>0[/math] und [math]\left(x-5\right)>0[/math] und damit [math]x>1[/math] UND [math]x>5[/math]. Daher gilt für die Lösungsmenge[br]L[sub]1 [/sub]= {[math]x\in\mathbb{R}[/math]|[math]x>5[/math]}.[br][br][/*][*][b]Fall:[/b] Beide Faktoren sind negativ.[br][br]Also gilt [math]\left(x-1\right)<0[/math] und [math]\left(x-5\right)<0[/math] und damit [math]x<1[/math] UND [math]x<5[/math]. Daher gilt für die Lösungsmenge[br]L[sub]2[/sub] = {[math]x\in\mathbb{R}[/math]|[math]x<1[/math]}.[/*][/list]Weil L[sub]1[/sub] und L[sub]2[/sub] gültige Teil-Lösungen sind, ist die gesamte Lösungsmenge die Vereinigung der beiden...[br]Also gilt: L = L[sub]1[/sub] [math]\cup[/math] L[sub]2[/sub] = {[math]x\in\mathbb{R}[/math]|[math]\left(x<1\right)\vee\left(x>5\right)[/math]}.[br]Oder anders geschrieben: [math]x\in[/math]][math]-\infty;1[/math]][math]\cup[/math]][math]5;\infty[/math][ [br]
Löse die quadratische Ungleichung durch Fallunterscheidung. Gib die Lösungsmenge in folgender Form an: ... < x < ... oder x < ... und x > ...
[list][*][b](x - 9) (x + 3) < 0[/b][/*][/list]
[list][*][b]x (x + 3) > 0[/b][/*][/list]
Grafische Darstellung
Gib folgende quadratische Ungleichungen in GeoGebra ein und lass dir die Lösungen zeigen. Orientiere dich dabei an den Schnittpunkten der Funktion mit der x-Achse.[br][br][list=1][*][math]x^2+3x-4\le0[/math][br][/*][*][math]\left(x-2\right)\left(x-1\right)<0[/math][br][/*][*][math]x^2+16x+63\ge0[/math][br][/*][*][math]x^2-x-42<0[/math][br][/*][*][math]\left(x-1\right)\left(x+6\right)>0[/math][br][/*][/list]