[b][size=100][size=150]＜実験＞[br][/size][/size][/b]cos45°＝sin45°＝1/√2により、[br]sin(A+45)=sinAcos45°+cosAsin45°=1/√2(sinA+cosA)だから、[br][u]sinA+cosA=√2sin(A+π/4)[/u][br]cos60°=1/2, sin60°=√3/2により、[br]sin(A+60)=sinAcos60°+cosAsin60°=(1sinA+√3cosA)/2だから、[br][u]1sinA+√3cosA=2sin(A+π/3)[/u] （[math]2=\sqrt{1^2+\sqrt{3}^2}[/math][b][size=100][size=150])[br][br]＜合成sinの一般化＞[br][/size][/size][/b][b][color=#0000ff]cosB=p=a/r, sinB=q=b/r　(r²=a²＋b²）のとき、[br][/color][/b]sin(A+B)=sinAp+cosAq=(a sinA + b cos A) /rだから、[br][color=#0000ff][b][size=150]K=a sinA + b cosA = r sin(A + B) ([math]r=\sqrt{a^2+b^2}[/math])となる。[br][/size][/b][/color]Kの値は合成によって絶対値がｒ以下とわかる。[br][color=#0000ff]（例１）[/color]a,b=(1,√3)ならr＝2となり、cosB=1/2、sinB=√3/2より、B=π/3[br] sinA+√3cosA=2sin(A+π/3)[br][color=#0000ff]（例２）[/color]a,b=(√3,1)なら例１のB=π/3のcos,sinが入れ替わり、B=π/2-π/3=π/6[br]　 √3sinA+cosA=2sin(A+π/6)[br][color=#0000ff]（例３）[/color]a,b=(1,1）ならr=√2となり、cosB=sinB=√2/2より、B＝π/4[br] sinA+cosA=√2sin(A+π/4)[br][color=#0000ff]（例４）[/color]a,b=(-1/2,1/2）ならr=√2/2となり、cosB=-√2/2,sinB=√2/2で、B=π-π/4=3/4π[br] -1/2sinA+1/2cosA=√2/2sin(A+3/4π)

[b][size=100][size=150]＜実験＞[br][/size][/size][/b]cos45°＝sin45°＝1/√2により、[br]cos(A-45)=cosAcos45°+sinAsin45°=1/√2(sinA+cosA)だから、[br][u]sinA+cosA=√2cos(A-π/4)[/u][br]cos60°=1/2, sin60°=√3/2により、[br]cos(A-60)=cosAcos60°+sinAsin60°=(√3sinA+1cosA)/2だから、[br][u]√3sinA+1cosA=2cos(A-π/3)[/u] （[math]2=\sqrt{1^2+\sqrt{3}^2}[/math][b][size=100][size=150])[br]＜合成cosの一般化＞[br][/size][/size][/b][b][color=#0000ff]cosB=p=a/r, sinB=q=b/r　(r²=a²＋b²）ならば、[br][/color][/b]cos(A-B)=cosAp+sinAq=(b sinA + a cos A) /r[br][color=#0000ff][b][size=150]K=b sinA + a cosA = r cos(A - B) ([math]r=\sqrt{a^2+b^2}[/math])[br][/size][/b][/color]Kの値は合成によって、絶対値がｒ以下とわかる。[br]B+C=π/4とすると、[br]また、cos(A-C)=cosAcosC+sinAsinC=cosAsinB+sinAcosB=sin(A+B)となる。[br][color=#0000ff]これから、合成cosの決定方法がわかる。[br]sinA,cosBにかける係数を入れ変えて合成関数　r sin(A+B）を作る。[br]次に、C=π/4-Bを求めて、rcos(A-C)とすればよい。[br][br]（例）[/color]a,b=(1,√3)ならr＝2となり、cosB=1/2、sinB=√3/2より、B=π/3[br] √3sinA+cosA=2cos(A-π/3)[br][color=#0000ff]（例）[/color]a,b=(1,1）ならr=√2となり、cosB=sinB=√2/2より、B＝π/4[br] sinA+cosA=√2cos(A-π/4)

[b][size=150]＜合成関数の利用＞[br][/size][/b][color=#0000ff]（例）「[/color]y=√3sinx-cosx（ｘは２π以下の非負実数）の最大値と最小値」は？[br] (a,b)=(√3,-1)から、r=2。cosB=√3/2,sinB=-1/2。[br] サインコサインともに正になるのは-B=π/6。B=-π/6。[br] y=2sin(xー1/6π)。x-1/6π=π/2からx=2/3πで最大２、ｘ=2/3π+π=5/3πで最小−２。[br][size=150][color=#0000ff]（例）「[/color][size=100]y=4sinx+3cosx（ｘは２π以下の非負実数）の最大値と最小値」は？[br] (a,b)=(4,3)から、r=5。cosB=4/5,sinB=3/5。y=5sin(x+B)。最大5、最小−5。[br][/size][color=#0000ff][size=100]（例）「[/size][/color][size=100]y=1/2sinx-√3cos²(x/2)（ｘは[u]π以下[/u]の非負実数）の最大値と最小値」は？[br] cos²(x/2)=(cosx+1)/2から、y=1/2sinx-√3/2cosx-√3/2[br] (a,b)=(1/2,-√3/2)から、r=1。cosB=1/2,sinB=-√3/2。B=-π/3。[br]　y=sin(x-π/3)-√3/2[br] xが０以上[u]π以下[/u]だからsin関数の変数x-π/3は-π/3以上2/3π以下である。[br]　この範囲の中にsin関数が最大となるπ/2はあるが、最小となる3/2πはない。[br]　変数x-π/3=π/2のとき、つまり、x=5/6πのときy=1--√3/2が最大値。[br]　変数x-π/3の負の最小値＝-π/3。x=0のとき、y=-√3/2-√3/2=ー√3が最小値。[br][br][/size][/size][size=150][b][color=#0000ff]＜２次関数の最大最小の問題に還元する＞[br][/color][/b][/size]関数の種類をへらし数式の一部などをｔなどとおき、ｔの関数f(t)にする。[br]２次関数f(t)の頂点とｔの範囲の両端で最大・最小になる可能性がある。[br][b][size=150]＜sinxかcosxをｔとおく場合＞[/size][/b][br][color=#0000ff]（例）「[/color]y=４sin²x-4cosx（ｘは2π以下の非負実数）の最大値と最小値」は？[br]　cosx=tとおくと、[br][math]f\left(t\right)=4\left(1-t^2\right)-4t=-4t^2-4t+4=-4\left(t^2+t\right)+4=-4\left(t+\frac{1}{2}\right)^2+5\le5[/math][br] f(t)は上に凸。 tの絶対値が１以下で、t=-1/2は変域にあり、軸は変域の負によっている。[br]　◇ f(1)=-4-4+4=-4が最小値。（cosｘ＝１からx=0のとき）[br]　◇ 頂点でf(-1/2)=５が最大値（cosx=-1/2からｘ＝2/3π、4/3πのとき）[br][color=#0000ff]（例）「[/color]y=cos2x-2cosx+3（ｘは2π以下の非負実数）の最大値と最小値」は？[br]　cosx=tとおくと、[br][math]f\left(t\right)=2t^2-1-2t+3=2t^2-2t+2=2\left(t^2-t\right)+2=2\left(t-\frac{1}{2}\right)^2+2-\frac{1}{2}\ge\frac{3}{2}[/math][br] f(t)は下に凸。tの絶対値が１以下で、t=1/2は変域にあり、軸は変域の正によっている。[br]　◇ f(-1)=2-2(-1)+2=6が最大値。（cosｘ＝-１から、x=πのとき）[br]　◇ 頂点でf(1/2)=3/2が最小値。（cosx=1/2からｘ＝1/3π、5/3πのとき）[br][color=#0000ff]（例）「[/color]y=cos2x-4sinx-3（ｘは2π以下の非負実数）の最大値と最小値」は？[br]　sinx=tとおくと、[br][math]f\left(t\right)=1-2t^2-4t-3=-2t^2-4t-2=-2\left(t^2+2t\right)-2=-2\left(t+1\right)^2\le0[/math][br] f(t)は上に凸。tの絶対値が１以下で、t=-1は変域にあり、軸は変域の負によっている。[br]　◇ 頂点でf(-1)=0が最大値。（sinｘ=-1からx=3/2πのとき）[br]　◇ f(1)=-2(1+1)²=-8が最小値。（sinx=1からｘ＝1/2πのとき）[br][br][b][size=150]＜sinx+cosxをｔとおく場合＞[br][/size][/b][color=#0000ff]（例）「 [math]f\left(x\right)=\sqrt{2}sinxcosx+sinx+cosx[/math][/color]（ｘは2π以下の非負実数）の最大値と最小値」は？[br]　sinx+cosx=√2sin(x+π/4)=tとおくと、[br][math]t^2=sin^2x+2sinxcosx+cos^2x=1+2sinxcosx=\sqrt{2}sinxcosx\cdot\sqrt{2}+1[/math][br] √2sinxcosx=[math]\frac{\left(t^2-1\right)}{\sqrt{2}}[/math]となるから、[br][math]f\left(x\right)=\frac{\left(t^2-1\right)}{\sqrt{2}}+t=\frac{t^2+\sqrt{2}t-1}{\sqrt{2}}=\frac{\left(t+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2-\frac{3}{2}}{\sqrt{2}}\ge-\frac{3}{4}\sqrt{2}[/math][br] f(t)は下に凸。tの絶対値が√2以下で、t=-√2/2は変域にあり、軸は変域の負によっている。[br]　◇ 頂点でf(-√2/2)=[math]-\frac{3}{4}\sqrt{2}[/math]が最小値。[br] ( √2sin(x+π/4)＝-√2/2から、sin(x+π/4)=-1/2。x+π/4=7/6π,11/6πのとき、[br]　つまりx=(7/6-1/4)π、(11/6-1/4)π=11/12π、19/12πのとき)[br]　◇ f(√2)=(2-1)/√2+√2=[math]\frac{3}{2}\sqrt{2}[/math]が最大値。[br]　 (√2sin(x+π/4)=√2から、sin(x+π/4)=1。x+π/4=π/2,つまりx=π/4のとき)[br]