In dieser Aufgabe lernst du, wie man das Monotonieverhalten einer Funktion mithilfe der ersten Ableitung bestimmt. Du wirst außerdem Fragen beantworten, um dein Wissen zu überprüfen und sicherzustellen, dass du die Schritte verstehst.
Die erste Ableitung einer Funktion [math]\( f(x) \) [/math]gibt die Änderungsrate der Funktion an. Anhand der Ableitung kann das Monotonieverhalten – also das Steigen oder Fallen der Funktion – bestimmt werden:[br][br]- Wenn [math]\( f'(x) > 0 \)[/math], dann ist die Funktion in diesem Intervall [b]streng monoton steigend[/b].[br]
- Wenn [math]\( f'(x) < 0 \)[/math], dann ist die Funktion in diesem Intervall [b]streng monoton fallend[/b].
[br]- Wenn [math]\( f'(x) = 0 \)[/math], liegt möglicherweise ein Extrempunkt vor.
Was bedeutet es, wenn [math]\( f'(x) > 0 \)[/math] für ein Intervall gilt?
Betrachten wir die Funktion [math]\( f(x) = x^3 - 3x \)[/math]. Gehe die folgenden Schritte durch, um das Monotonieverhalten zu bestimmen:
Berechne [math]\( f'(x) \)[/math] für die gegebene Funktion.
[math]f'\left(x\right)=3x^2-3[/math]
Setze [math]\( f'(x) = 0 \)[/math] und löse nach [math] \( x \)[/math] auf, um Nullstellen zu finden.
[math]x_1=-1[/math][br][math]x_2=1[/math]
Teile die x-Achse in Intervalle, die durch die Nullstellen begrenzt werden.
Das erste Intervall geht von minus unendlich bis [math]x=-1[/math];[br]das zweite Intervall geht von [math]x=-1[/math] bis [math]x=1[/math];[br]das dritte von [math]x=1[/math] bis plus unendlich.
Überprüfe das Vorzeichen von [math]\( f'(x) \)[/math] in jedem Intervall, um festzustellen, ob die Funktion steigt oder fällt.
Erstes Intervall: [math]f'\left(x\right)>0[/math], die Funktion ist also streng monoton steigend.[br]Zweites Intervall: [math]f'\left(x\right)<0[/math], die Funktion ist also streng monoton fallend.[br]Drittes Intervall: [math]f'\left(x\right)>0[/math], die Funktion ist also streng monoton steigend.
Wie bestimmt man das Monotonieverhalten einer Funktion anhand der ersten Ableitung?
Welche Bedeutung hat es, wenn die Ableitung einer Funktion in einem Intervall negativ ist?
Untersuche das Monotonieverhalten der Funktion [math]\( g(x) = x^2 - 4x \)[/math] mithilfe der folgenden Schritte:
[br][br]1. Berechne die erste Ableitung [math]\( g'(x) \)[/math].
[br]2. Finde die Nullstellen von [math]\( g'(x) \)[/math].
[br]3. Teile die x-Achse in Intervalle ein und untersuche das Vorzeichen der Ableitung in jedem Intervall.
[br]4. Bestimme, in welchen Intervallen die Funktion streng monoton steigend oder fallend ist.