Las distribuciones binomial y normal están muy relacionadas entre sí. En ocasiones realizar algunas actividades con la distribución binomial resulta muy difícil o laborioso. En esos casos la distribución normal con unos sencillos ajustes, puede resultarnos muy útil para los cálculos.

Una empresa de móviles sabe que está fabricando aproximadamente el 12 % de sus aparatos con algún defecto.[br]Una empresa distribuidora afirma que ha recibido 18 móviles en mal estado en una compra que ha hecho de 100. Contesta a las siguientes preuntas:[br][list=1][*]Si llamamos x al número de móviles defectuosos que envía la fábrica ¿qué distribución de probabilidad se ajusta mejor al problema y por qué?[/*][*]Calcula la probabilidad de enviar 18 móviles en mal estado de 100.[/*][*]La empresa distribuidora afirma que en todos los envíos de 100 móviles, le están llegando entre 16 y 24 móviles en mal estado. Calcula la probabilidad de que en un envío se manden entre 18 y 24 móviles defectuosos.[/*][*]¿Se puede calcular el apartado 3 empleando una distribución normal? Si es así, explica el por qué e indica el tipo. Realiza los cálculos que consideres oportunos.[/*][*]¿Se puede calcular el apartado 2 utilizando una distribución normal? [br][/*][/list]

1. El ejercicio se ajusta a una distribución binomial, puesto que:[br][list][*]Los sucesos son independientes entre sí. El que un móvil esté defectuoso no implica que el siguiente lo esté o no.[/*][*]El experimento se realiza muchas veces, en concreto 100.[/*][*]Hay dos probabilidades que son éxito sacar un móvil defectuoso y fracaso no sacarlo.[/*][/list]Por tanto todo esto se ajusta a una distribución binomial del tipo [b]B(100,0'12)[/b].[br][br]2. Para calcular la probabilidad de sacar exactamente 18 móviles en mal estado de 100 hacemos los siguientes cálculos:[br][br][center][math]P\left(x=18\right)=\binom{100}{18}\left(0.12\right)^{18}\cdot\left(0.88\right)^{82}=\frac{100!}{18!\cdot82!}\left(0.12\right)^{18}\cdot\left(0.88\right)^{82}=0.02281[/math][/center]

3. Para realizar este ejercicio con una binomial, tendríamos que hacer los siguientes cálculos:[br][br][justify][math]P\left(16\le x\le24\right)=P\left(x=16\right)+\ldots+P\left(x=24\right)=[/math][br][br][math]=\binom{100}{16}\left(0.12\right)^{16}\cdot\left(0.88\right)^{84}+\ldots+\binom{100}{24}\left(0.12\right)^{24}\cdot\left(0.88\right)^{76}=0.1412[/math][br][/justify][justify][br]Estos cálculos son bastante largos y complicados. Solo con ayuda de una buena calculadora se pueden realizar. [br]En este caso GeoGebra es una magnífica herramienta que permite la resolución fácilmente:[br][/justify]

4. Si nos fijamos en las gráficas de los apartados anteriores, la binomial se parece mucho a una campana de Gauss. Esto nos indica que entre las dos distribuciones de probabilidad, hay mucha relación.[br][br]La teoría matemática nos dice que si:[br][br][math]n\cdot p\ge5[/math], y, [math]n\cdot q\ge5[/math], entonces la Binomial y la normal son muy aproximadas. En concreto, en este ejercicio:[br][br][math]\mu=n\cdot p=100\cdot0.12=12\ge5[/math][br][math]n\cdot q=100\cdot0.88=88[/math][br][math]\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot q}=\sqrt{100\cdot0.12\cdot0.88}=3.2496[/math][br][br]De esto se deduce que [math]B\left(100,0'12\right)\approx N\left(12,3'2496\right)[/math][br][br]Podemos ver que son aproximadas en la siguiente construcción de GeoGebra.

En esta actividad de GeoGebra podemos modificar los valores y veremos como se calculan las probabilidades en la Binomial y la Normal y salen muy aproximadas. El problema es que las dos gráficas no ajustan igual. [br]La Binomial son rectángulos de base 1 y altura la probabilidad de ese valor.[br]La Normal es una curva llamada campana de Gauss y la probabilidad es el área entre los dos valores que nos piden. Ésto se hace mediante una operación matemática llamada integral definida. [br][br]Si nos fijamos entre la binomial y la normal quedan unos pequeños picos que se compensan con los huecos que hay dentro. Para ello, hay que utilizar un valor de 0,5 a los valores que nos interesan, unas veces sumados y otras restados, para que nos quedemos exactamente con los rectángulos de la binomial que nos interesan. Al final los números que se calculan mediante la binomial y los de la normal salen muy parecidos. Jugando con la gráfica de la actividad de GeoGebra se puede ver lo necesarios que son esos 0,5 que utilizamos.[br][br]En este apartado calculando tenemos que:[br][br]Si [math]x\in B\left(100,0'12\right)[/math] y [math]x'\in N\left(12,3'2496\right)[/math], haciendo los cálculos necesarios obtenemos que:[br][br][math]P\left(16\le x\le24\right)=P\left(15.5\le x'\le24.5\right)=0.1407[/math][br][br]Aunque los resultados no son iguales salen muy aproximados.[br][br]

5. Aunque la distribución normal no calcula probabilidades para valores puntuales, puesto que esta probabilidad es 0 en variable continua (recordar que la probabilidad es el área debajo de una curva y para un valor concreto de x no puede haber área pues sería solo una línea), también podemos aplicar la normal al problema del apartado 2. En este caso jugaremos con ese 0'5 que restamos y añadimos al valor que nos pidan. En este caso el ercicio quedaría así:[br][br][math]P\left(x=18\right)=P\left(17.5\le x'\le18,5\right)=0.0225[/math][br][br]El valor se aproxima muchísimo al resultado del apartado 2.

Como vemos la distribución binomial y la normal se parecen mucho bajo unas determinadas circunstancias.[br][br]Ahora con la construcción de GeoGebra en pantalla, podemos hacer probaturas con otros tipos de distribuciones binomiales, ver las normales que se aproximan a ellas y realizar algunos ejercicios con la binomial, viendo si los resultados nos salen aproximados con la distribución normal.[br][br]Ahora bien, si dispones de una calculadora Casio fx-570 SPX ó 991 SPX, puedes resolver resolver estos problemas de una manera muy sencilla. Aquí dejo un vídeo que enseña a realizar este tipo de ejercicios con ayuda de la calculadora.