Egy komputer algebra és dinamikus geometria újdonságaival, és ezeknek a matematikaoktatásban betöltött (betöltendő) szerepével foglalkozó konferencia egyik plenáris előadásán hangzott el az alábbi feladat:[br][list][*]Adott a síkban négy általános helyzetű egyenes. Adjunk meg (szerkesszünk?) olyan négyzetet, amelynek a csúcsai rendre az adott egyenesekre illeszkednek. [/*][/list]Az előadó szerint ez egy igen nehéz feladat, nincs is elemi megoldása.[br][br]Azért ne adjuk fel a szép elemi megoldás lehetőségét.

Kezdjük Pólya György klasszikus kérdéseivel.[br][i] Nem találkoztál már a feladattal? Esetleg a mostanitól kissé eltérő formában? Meg tudnál fogalmazni egy ennél egyszerűbb rokon feladatot?[/i][br]Egy rokon feladat:[i] [br][list][*]Adott a síkban három általános helyzetű egyenes. Szerkesszük meg azt a szabályos háromszöget, amelynek a csúcsai az adott egyenesekre illeszkednek. [/*][/list][/i]Sőt egy még egyszerűbb:[i] [br][list][*]Adott a síkban az [i][b]A[/b][/i] pont, továbbá a [i][b]b[/b][/i] és [i][b]c[/b] [/i]egyenes. Szerkesszük meg azt az[b] [i]ABC[/i] [/b]szabályos háromszöget, amelynek a [i][b]B[/b][/i] csúcsa a [i][b]b[/b] [/i]egyenesre, [i][b]C[/b][/i] a [i][b]c[/b][/i] egyenesre illeszkedik.[/*][/list][/i]Tegyünk egy kísérletet az egyik feltétel átfogalmazására: [br]Az a feltétel, hogy az[i] ABC[i]Δ[/i] [/i]szabályos, így is megfogalmazható: a [i]B [/i]pontnak az [i]A[/i] körüli 60°-os elforgatottja [i]C[/i]. Így a keresett [i]C[/i] pontnak nem csak a [i]c[/i] egyenesre, hanem [i]B[/i]-nek az [i]A[/i] körüli 60°-os elforgatottjára is illeszkednie kell: ... [b]C=Metszéspont(Forgatás(b,60°,A),c)[/b][br] Mivel a [b]b[/b] egyenes két különböző irányba is elforgatható, ezért a feladatnak általános esetben két megoldása van. Olvasóinkra bízzuk e feladatnak a GeoGebra eszköztárával bemutatott megoldását, szemléltetését, valamint a teljes diszkusszióját.

Mielőtt rátérnénk az eredetileg felvett problémára, fogalmazzunk meg egy általánosabb kérdést:[br][list][*]Legyen adott az [b]A[/b] pont és egy adott [b]e[/b] egyenesen mozgó [b]B[/b] pont! Mi a [b]C[/b] pontok mértani helye, ha e mozgás közben az [i]ABCΔ [/i]szögei és irányítása sem változik?[/*][/list]Az alábbi applettel viszonylag egyszerűen megmutatható a sejtés, miszerint a keresett mértani hely egy egyenes lesz. [br]Bekapcsolva a [b]szerkesztés [/b]jelölőnégyzetet be tudjuk állítani azt a [i]A[/i][sub]0[/sub][i]B[/i][sub]0[/sub][i]C[/i][sub]0[/sub][i]Δ[/i]-et, amelynek - azonos körüljárású - hasonló példányaiként kapjuk meg az ABC[i]Δ-et[/i], miközben [u]B[/u] az e egyenesen mozog. [br][br]Az A és B pont, valamint az ABC[i]Δ[/i] szögeinek és az oldalak arányának az ismeretében keresett [b]C[/b] pontot megkaphatjuk a B pont A centrumú forgatva nyújtásával , de az A pontból B centrumú forgatva nyújtásként is. Bár a GeoGebra mindkét esetben fel tudja rajzolni a C pont mértani helyét, ez a rajz nem alkalmas arra, hogy a kapott vonalat további szerkesztésben felhasználjuk. A [b]MértanhelyEgyenlete() [/b]parancs viszont nem működik, a forgatva nyújtás ehhez túl bonyolult transzformáció. [br][br]De a keresett [b]m[/b] mértani helyet - mint egyenest - az [b]e[/b] egyenes A centrumú α=B[sub]0[/sub]A[sub]0[/sub]C[sub]0[/sub]∢ szögű forgatással és ugyancsak A centrumú és n[sub]A[/sub]=A[sub]0[/sub]B[sub]0[/sub]/A[sub]0[/sub]C[sub]0 [/sub]arányú centrális nyújtással is megkaphatjuk a B és C pontok közötti mértani helyes kapcsolat kihasználása nélkül.[br][br]Annak az igazolásához, hogy a C pontok mértani helye egyenes, elegendő arra hivatkoznunk, hogy a közös centrumú forgatás és a nyújtás is egyenestartó, illeszkedéstartó, irányítástartó transzformáció. Így a szorzatuk is az.[br][br]Mivel egy forgatást előjeles szöggel adhatunk meg egyértelműen, jelen esetben az említett két forgatva nyújtáshoz A háromszög [i]AB [/i]oldalán fekvő két szögének ellentétes előjelűnek kell lennie.

Az eredeti feladatunkat szem előtt tartva, most oldjuk meg egy újabb (rész)feladatot:[br][br][list][*]Legyen adott a síkon az [b]A[/b] pont, a [b]b[/b] és [b]d[/b] egyenes! Szerkesszünk olyan [b]ABCD[/b] négyzetet, amelyre [b]B[/b][b]∈b[/b] és [b]D[/b][b]∈d[/b] teljesül! Mi lesz az [b]A [/b]ponttal szemközti [b]C[/b] csúcs mértani helye, ha [b]A [/b]egy adott [b]a[/b] egyenesen mozog? [/*][/list][br] Az előzőeket kihasználva megszerkeszthetjük a keresett mértani helyet. A [b]Mértanihely([/b]) parancs alkalmazása azonban elkerülhető: elegendő az [b]a [/b]egyenes két különböző pontjára alkalmazni a négyzet szerkesztést. Ezzel persze csak egy erős sejtést kapunk: a [i]C[/i] pontok mértani helye ebben az esetben is egyenes lesz.[br][br] Ennek az igazolását a a szép elemi feladatokra vadászó problémaérzékeny olvasóinknak ajánljuk a figyelmébe. [url=https://www.geogebra.org/m/pX7a97q5] Szellemi csemegéink[/url] között az ezt [url=https://www.geogebra.org/m/pX7a97q5#material/bzgnssjm]megelőző anyag[/url] foglalkozik ennek a kérdésnek a még általánosabb megfogalmazásával és bizonyításával.[br][br][list][*]Az [i][b]ABCΔ[/b] [/i]pontjai rendre úgy mozognak a sík három, közös ponttal nem rendelkező [b]a, b, c[/b] egyenesén, hogy eközben a háromszög hasonló marad önmagához.  Mit írnak le ez alatt a síknak az [b][i]A, B, C[/i] [/b]pontokkal együtt mozgó pontjai?[/*][/list][br]Így eljutottunk az eredeti problémánkhoz:[br][list][*]Legyen adott négy általános helyzetű egyenes [color=#ff0000][b]a[/b][/color], [color=#0000ff][b]b[/b][/color], [b][color=#cc4125]c[/color][/b] és [color=#6aa84f][b]d[/b][/color][color=#333333], szerkesszünk (egy) olyan négyzetet amelynek a csúcsai rendre ezekre az egyenesekre illeszkednek![/color][color=#6aa84f] [/color] (Az általános helyzetű itt azt jelenti, hogy bármely kettő metsző. Megengedett, hogy három egy pontra illeszkedjen, de mind a négy nem.)[/*][/list]

A fenti feladatban egy megoldást vizsgáltunk meg alaposan. [br][br]Azok az olvasóink, akik letöltik a fenti appletet, tapasztalni fogják, hogy tartalmaz egy saját eljárást, amelynek a bemenő adata a sík négy egyenese, eredménye [u][i]egy[/i][/u] négyzet, amelynek a csúcsai rendre illeszkednek az adott egyenesekre.[br][br]A kapott megoldást a bemenő adatok sorrendje határozza meg. Ez 4!=24 esetet jelentene, de a ciklikus permutációk természetesen ugyanazt a megoldást eredményezik. 4 elemnek 6 nem ciklikus permutációja van, így a szóba jöhető esetek száma mindössze 6 . Általános esetben ezek mindegyike elő is fordul, mint az alábbi appletből ez kiderül. [br][br]De vajon ne kapnánk újabb megoldást, ha minden forgatás irányát megváltoztatnánk? Figyeljük meg, hogy a fordított sorrendben beírt adatok ellenkező körüljárású négyzeteket adnak eredményül. [br][br]Így tehát - általános esetben - valóban van hat megoldás, de mindig van ennyi? Ennél kevesebb is lehet, ha az adott egyenesek között vannak párhuzamosok. [br][br]Vajon az is kevesebb megoldást jelent, ha pl. három egyenes egy pontban metszi egymást? Van olyan eset, amikor egy sincs? Vagy olyan, amikor végtelen sok ilyen négyzet van?[br][br]A kísérletezés örömét meghagyva, a fenti kérdések megválaszolását olvasóinkra bízzuk.