このワークシートは[url=https://www.geogebra.org/m/twxxx3yq]Math by Code[/url]の一部です。[br][br]前回は、ｎ等分点のガロア群をガロア表現にすることで、しくみがクリアにわかりました。[br]x^3-2=0の解は１の3乗根の１つω＝-1/2+1/√3 i と2の3乗根s=cbrt(2)をとして、[br]Ｅ：y^2=x^3-２の2等分点はO∞、A=(s,0), B=(sω,0), C=(sω^2,0)の4点で、[br]ガロア群S3={e, r:(1 2 3), w:(1 3 2), u:(1 2) , v:(1 3) ,t :(2 3)}の６つの置換に対応する[br]Ａ，Ｂを基底として格子点の動きを行列にしてみると、[br]ガロア表現はe;{{1,0},{0,1}} ,r:{{0,1},{1,1}} ,w:{{1,1},{1,0}},{u:{0,1},{1,0}}, v:{{1,1},{0,1}},t:{{1,0},{1,1}}[br]と1対１に決まってしまうことを学びました。[br][br]今回は有限体上の点の個数をガロア表現を使って、その秘密をさぐっていきましょう。

今まで、5以上の素数ｐを法として合同な整数が作る体Fp上の楕円曲線Eの解の個数をNpと名付けるとき、[br]ap=(p+1)-Npという、Npがp+1より下回るズレを表した。[br]ガウスの定理があったね。[br]pがガウス整数Ｚ[i]の素数（4で割って３余る数）ap=0ピッタで、[br]pがガウス整数Ｚ[i]での合成数（5=(1+2i)(1-2i)のようにｐが４で割って１余る）ならap=2q[br]（p=q^2+r^2と平方数の和に分解したときに、q+r-1が４の倍数になる）[br][br]前回と同じ楕円曲線Ｅを使って探ってみます。[br][br][b][size=150]＜F5で調べる＞[br][br][/size][/b]p=5の有限体F5でさぐっていきましょう。[br]N5 = 8だったので、ap=(5+1)-8=-1です。[br]これをガロア表現とつなげられたらいいですね。[br][br]類体論のキーワードで「フロベニウス変換」を以前学びましたね。くわしくはこちら、[url=https://www.geogebra.org/m/twxxx3yq#material/cr8tqsmq]https://www.geogebra.org/m/twxxx3yq#material/cr8tqsmq[/url][br][br]１の原始ｎ乗根をζnとするとき、有理数体Qのアーベル拡大Q(ζn)/Qのフロベニウス変換φpは[br]ｎを割り切らない素数pで、ζn→（ζn)^pのp乗変換でした。[br]「クロネッカー・ウェーバーの定理」から、[b]アーベル拡大K/Qは必ずQ[ζn]に含まれる[/b]のでした。[br]Gal(K/Q）でのφpはGal（Q(ζn)/Q)でのφpの制限になるという結論がでてました。[br]つまり、[b]フロベニウス変換はアーベル的なガロア拡大Gal(K/Q）の親玉[/b]なのですね。[br][br]さっそく、この[b]フロベニウスφ5で、有限体Ｆ5の点をかきまぜ[/b]ましょう。[br]有限体の要素をｘとすると、φ5(x)=x^5ですね。[br]F5はZ5を体にしたものでした。だから、mod5です。そうなんです。[br]フェルマーの小定理からx^5≡5(mod 5)ですから。[br]F5の点にφ5をしても[b]何も変化がない[/b]のです。[br][br]その代わり、F5にE[2]の4点を追加して拡大してみよう。[br]拡大体F5(E[2])でフロベニウスφ5でかき混ぜるとどうなるでしょうか？[br]F5の中でのx^3ー2の根としての拡大でしたから、「複素数の中での2の3乗根」ではありません。[br]F5の中での２の3乗根です。{1^3,2^3,3^3,4^3(mod5)}≡{1,8,27,64}(mod 5)≡{1,3,2,4}です。[br]だから、x^3≡2(mod5)の解はx＝３です。[br]ということは、A,B,Cはみな(3,0)の1点になり、x^5=3^5=3^3*3^2=2*9=18≡3(mod 5)です。[br]つまり、E[2]も動かなりです。なにも新しい情報が生まれません。

[b][size=150]＜F7で調べる＞[/size][/b][br][br]p=7の有限体F7でさぐっていきましょう。[br]N7 = 9だったので、ap=(7+1) - 9=-1です。[br]あとで種明かししますが、[b]ap=-1≡1(mod 2), p=7≡1(mod2)[/b]なので、[br]ガロア表現から１と１を出したいのです。[br][br]この[b]フロベニウスφ7で、有限体Ｆ7の点をかきまぜ[/b]ましょう。[br][br]F7の点にφ7をしても[b]何も変化がないので、ここは調べません。[/b][br][br]F７にE[2]の4点を追加して拡大してみよう。[br]拡大体F７(E[2])でフロベニウスφ7でかき混ぜるとどうなるでしょうか？[br][br]F7の中でのx^3ー2の根としての拡大でしたから、[br]F7の中での２の3乗根です。{1^3,2^3,3^3,4^3,5^3,6^3(mod7)}[br]≡{1,8,27,64,125, (-1)^3}(mod 7)≡{1,1,6,1,6}です。[br]sは2の3乗根でしたから、s^3=2[br]2^3≡1, 4=2^2(mod 7)なので、ω=2、ω^2=4 としましょう。[br]だから、A(s,0),B(2s,0),C(4s,0）とおけますね。[br]A(s,0)のφ7(s)=s^7=s^3*s^3*s=2*2*s=4sです。A(s,0)→(4s,0)＝Cです。[br]B(2s,0)のφ7(2s)=2^7*s^7=(2^3)^2*2*4s=8s=s (mod 7)です。B(2s,0)→A(s,0)[br]C(4s,0)のφ7(4s)=4^7*s^7=2^14*4s=(2^3)^4*2^2*4s=16s=2s(mod 7)です。C(4s.0)→B(2s,0)[br]A+B=Cとして、A、Bを基本として行列を作りましょう。[br]φ7はS3のw:(1 3 2)と同じですから。ガロア表現は{{1,1},{1,0}}です。[br]この行列式ad-bc=1*0-1*1=-1≡1≡7=p(mod2)[br]トレース（主対角成分の和）=1+0=1≡-1=ap(mod2)[br][br]2等分点E[2]で調べた都合上mod2でしかないので、まだかすかな感じですが、[br]法ｐを変えたりと2等分点をｌ等分にとすると、[br][size=150][color=#0000ff][size=200][b]フロベニウス変換φpのガロア表現ρtについて[br]det(ρt)=p　(mod l), [br]Tr([size=150][color=#0000ff][size=200]ρt[/size][/color][/size])=ap　(mod l )[br][/b][/size][/color][/size][br]という法則に合っていることがわかりますね。[br]この法則はどこからやってきたのでしょう？

さっきまではmod5でF5、mod 7でF7と網を細かく刻んできました。[br]法lを上げて網目を細かくすると解像度が上がり、無限にｌを大きくしたら？[br]きれいな画像が見えるでしょう。[br][br]画像には「[b]大きな象[/b]」が映るでしょう。[br][br]だったら、最初から、ｌを具体的な数値にすることは忘れて象を見たいですよね。[br][br]それができるのです。[br][br]一寸、Fpのことは忘れて、φpを複素数C全体で考えて、行列 Mの固有値を求めるための式[br]det(T・IーM)=0をφpのフロベニウス行列 ρlで作ってみましょう。[br]det(T・IーM)=T^2-Tr(ρl) T+det(ρl)[br]ここで、Tr(ρl)=ap, det(ρl)=pとおきましょう。[br]複素数T上の固有2次方程式T^2-apT+p=0ができます。[br]固有方程式なので、代数方程式のように因数分解します。[br]２つの解をα,β（共役複素数）とすると、解と係数の関係から、[br][color=#0000ff][size=200][b]ap=α+β, [br]p=[color=#0000ff][size=200]α[/size][/color]*[color=#0000ff][size=200]β[/size][/color][br][/b][/size][/color]となりますね。[br]つまり、行列ρtで[br]Tr(ρl)＝ap=α＋β[br]det(ρl)=p=α*β[br]解の和がズレapで、行列のトレースになり、解の積がFpのｐで行列式になるのです。[br][br][b][size=200]＜ガウス定理とつながる＞[br][/size][/b]固有値の和と積につながることがで、ガウスの定理とのつながりもわかります。[br]α,βは共役複素数なので、[br]α=q+ri, β=q-riとおきましょう。[br][br][size=150][color=#0000ff][size=200][b]ap=[b]α+β[/b]=(q+ri)+(q-ri)=2q[br]p=[b][color=#0000ff][size=200]α[/size][/color]*[color=#0000ff][size=200]β[/size][/color][/b]=[/b][b](q+ri)*(q-ri)=q^2+r^2[br][/b][/size][/color][/size][br]これって、ガウスの定理そのまんまつながります。[br][br][br]mod lのlを3，5，7、......と増やして調べる必要もありません。[br]T^2-apT+pのTを1/Tにした式[br]１-apT+pT^2は「局所ゼータ関数」という[br]どこかで見たことのあるゼータ関数という名前がついてます。[br][br][br][b][size=150]＜振り返り＞[br][br][/size][/b]ゼータ関数というと切れ味がいいけど、人類に問を投げかけてきた張本人です。[br]その親戚だと思ってください。[br]バーゼル問題、オイラー定数、リーマン予想、。。。。[br]そうです。この局所ゼータ関数も「謎の象」だったのです。[br][br]そのため、地道にｌを増やしていくという方法よりましで、[br]局所ゼータ関数よりは「根拠の明確な方法」が探られました。[br]それが「[b]ｐ進テイト加群[/b]」です。[br]舌を噛みそうですね。これは次回、ドローンでさくっと見物してみよう。[br][br][b][color=#9900ff][size=150][u]課題：４で割って１余る素数ｐの平方数和分解と[br]T^2-apT+p=0の2解をgeogebraでつなごう。[br][/u][/size][/color][/b][br]タイトルは「有限体Fp上の楕円曲線の解の個数のズレとガウスの定理と固有方程式」[br][br]#ap＝2qになる素数pをガウス整数環の素数α、βの積で表すとき[br]#p=αβ=(q+r i)(q-r i)で、qが奇数とする。[br]#解と係数の関係から固有2次方程式がかける。[br]#固有2次方程式の2解を解いて表示することもできる。[br][br]array= Sequence(1+4k, k,1,20)[br]ps=KeepIf(IsPrime(k),k,array)[br]n=slider(1,Length(ps))[br]p=Element(ps,n) #p[br]qs=Sequence(k,k,1,sqrt(p),2) #qの候補[br]rs=Zip(sqrt(p-k^2),k,qs) # sqrt(p- q^2)のリスト[br]rsN=Zip(ceil(k),k,rs) #rsを切り捨てた整数のリスト[br]res=Zip(k-s,k,rs,s,rsN) #差が０なら合格[br]idx=IndexOf(0,res)[br]q=Element(qs,idx)[br]r=Element(rs,idx)[br]ap=2 q[br]α=q+ri[br]β=q-ri[br]f(x)=x^2- ap x + p[br]ftxt=Formulatext(f)[br]text1="素数"+p+"のap="+ap+"固有方程式は"+ftxt+""[br][br]#これで、有限体Fp上の楕円曲線の解の個数Npとp+1のズレapと[br]#ガウスの定理、ガウス整数環、行列の固有値としての２つの複素数がつながったね。[br][br]スライダーを動かして、次々に姿を変える固有方程式の美しさを、ぜひ手元で実感してみてください！[br][br][color=#0000ff][b][size=150]＜お得な情報＞[br][/size]geogebraアプレット作成に興味のある人は、中ほどの数行のqsのあとのZip３連発とIndexOfコマンドに[br]注目してください。[br]これはふつうの言語の「for文をまわして、見つけたらそこでq,rとして取り出す」[br]という定型パターンのgeogebra版で、筆者Zenが独自に見つけたロジックですが、[br]ぜひ流用してみてください。[/b][/color]