종이접기 속 수학 (Mathematics in Paper Folding(Origami))

이대영, Feb 12, 2019

종이접기의 원리 및 종이접기 속 수학 원리를 탐구하고 정리하는 자료들입니다. 종이접기 수학은 7가지 공리를 정하여 두고 시작합니다. 각각의 공리들은 유클리드 기하의 5개의 공리와 비슷하지만 종이접기 만의 특성을 가지는 공리들이 추가됨으로써 더 자유로운 활동을 할 수 있습니다. 이 자료는 그렇게 해서 구성하는 활동을 소개하고자 합니다. -참고자료 :  1. 하가 카즈오의 오리가믹스 시리즈     - オリガミクス 1, 2 (오리가믹스)     - オリガミクスによる数学授業 (오리가믹스를 활용한 수학수업)     - Origamics (오리가믹스를 활용한 수학수업의 영문판)     - 수학종이접기(오리가믹스를 활용한 수학수업의 한글판) 2. 로베르트 게레트슈레거의 Geometric Origami 3. 종이접기 속 수학 - 조에쓰 교육대학 공개강좌 원고 (번역본 : https://drive.google.com/file/d/1YpVjbvui6TfKjjBqKD6GM0EOJddJXhdM/view?usp=sharing) 4. 종이접기의 재발견 - 남호영 선생님의 수학동아 원고 5. 스탠포드 수학 학습법 - 조 볼러 6. 후지타 하토리 공리 : https://en.wikipedia.org/wiki/Huzita%E2%80%93Hatori_axioms 7. 종이접기의 수학 위키 페이지 : https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematics_of_paper_folding

Table of Contents

  1. 후지타-하토리 공리(Huzita–Hatori axioms)
    1. 종이접기의 공리 1번 (Axiom 1)
    2. 종이접기의 공리 2번 (Axiom 2)
    3. 종이접기의 공리 3번 (Axiom 3)
    4. 종이접기의 공리 4번 (Axiom 4)
    5. 종이접기의 공리 5번 (Axiom 5)
    6. 종이접기의 공리 6번 (Axiom 6)
    7. 종이접기의 공리 7번 (Axiom 7)
  2. 한 번 접기
    1. 종이접기의 기본 : 컴퍼스 접기
    2. 컴퍼스 접기 : 컴퍼스 접기와 무리수 길이
    3. 1/3을 접는 방법 (2)
    4. 종이접기를 접어서 이차곡선을 접어보자. ①
    5. 하가의 정리 1
    6. 접혀진 도형 모양에 따른 접은 점의 분표
    7. n/m의 위치에 정삼각형 한번 접기
  3. A4 용지와 색종이
    1. A4로 정사각형을 만드는 2가지 방법
    2. 색종이로 께끗한 1:√2 직사각형을 만드는 법 (How to fold a 1:√2 rectangle with square)
    3. A4용지로 √n의 길이 접기
  4. 교과서 속 종이접기
    1. 중1 교과서 속 종이접기
    2. 종이띠로 정다각형 접기 (정오각형, 정칠각형)
    3. 중학교 교과서 속 원으로 접는 정다각형 (3,4,6)
    4. 중2 - 이등변삼각형, 마름모 종이접기
    5. 중2 - 삼각형의 내심, 외심 종이 접기
    6. 중2 - 삼각형의 무게중심 종이접기
    7. 중2 - 2장의 종이를 이용한 종이의 n등분
    8. 중2 - 종이 1장으로 길이 3등분 접기
    9. 중2 - 닮음 : 닮음과 닮음비를 활용한 종이접기
    10. 중3 - 무리수의 도입 : 넓이가 1/2인 정사각형
    11. 중3 - 무리수 - A4용지의 길이비
    12. 중3 - 무리수 : A4용지의 길이비 2
    13. 중3 - 인수분해 공식 : a²-b²=(a-b)(a+b)
    14. 중3 - 삼각비의 활용 : A4로 삼각형 접기
    15. 중3 - 원의 현의 성질 종이접기
    16. 중3 - 원과 현 : 길이가 같은 현에서 중심까지 거리
    17. 중3 - 원과 현 : 원으로 새로운 원 접기
    18. 중3 - 원의 접선의 성질
    19. 중3 - 원주각과 중심각 그리고 종이접기
    20. 중3 - 원주각의 성질 (원주각과 호의 길이)
    21. 중3 - 원주각의 성질 (원에 내접하는 사각형)
    22. 중3 - 원주각의 활용 : 원 위에 있는 네 점의 조건
  5. 이차곡선 접기
    1. 이차곡선 접기 : 포물선 (Folding a Parabola)
    2. 이차곡선 접기 : 타원접기 (Folding a Ellipse)
    3. 이차곡선 접기 : 쌍곡선 접기 (Folding Hyperbola)
  6. 1/n 길이를 접으려면
    1. 작도로 하는 선분의 n등분
    2. 중2 - 종이 1장으로 길이 3등분 접기
    3. 1/3길이를 만든 뒤 1/9 길이를 접는 법
    4. 1/5의 길이를 접으려면?
    5. 1/5의 길이를 접으려면 (2)
    6. 1/7의 길이를 접는 법 (1)
    7. 1/7의 길이를 접으려면 (2)
  7. 1/n 넓이 갖는 정사각형 접기
    1. 1/√n 을 작도하는 법 (예 : 1/√5)
    2. 넓이 1/2 정사각형 접기 (1)
    3. 넓이 1/2 정사각형 접기 (2)
    4. 넓이 1/3 정사각형 접기
    5. 넓이 1/5인 정사각형 접기
    6. 넓이 1/5인 정사각형 접기 (2)
    7. 넓이가 1/7인 정사각형 접기
    8. 넓이가 1/7인 정사각형 접기 (2)
  8. 다양한 길이와 모양 접기
    1. √a 를 접는 방법 (2)
    2. √a 를 접는 방법 (3) - Folding √a
    3. 황금비를 작도하는 두 가지 방법
    4. 황금비를 접는 법 (1)
    5. 황금비를 접는 법 (2)
    6. 황금비 직사각형 접기 (1) (Folding a golden ratio rectangle)
    7. 황금 직사각형 접기 (2) (Folding a Golden ratio Rectangle) (2)
    8. 작도로 하는 사칙연산 : 덧셈과 뺄셈
    9. 작도로 하는 사칙연산 : 곱셈과 나눗셈
    10. 임의의 선분을 정사각형 네 변으로 접어서 옮기면
    11. 종이접기의 사칙연산 - 1. 뺄셈
    12. 종이접기의 사칙연산 - 2. 덧셈의 원리
    13. 종이접기의 사칙연산 - 2. 덧셈
    14. 종이접기의 사칙연산 - 3. 곱셈
    15. 종이접기의 사칙연산 - 4. 나눗셈
    16. 종이접기의 사칙연산 - 5. 무리수 접기
    17. 종이접기의 사칙연산 - 5. 무리수 접기 (다른 방법)
  9. 정다각형 접기
    1. 컴퍼스 접기를 이용한 정삼각형 접기
    2. 종이접기 책 속 정다각형 접기 : 1. 정삼각형 접기
    3. 정사각형 속 최대 넓이 정삼각형 접기
    4. 종이접기 책 속 정삼각형 접기 : 2. 중심이 보이 정삼각형
    5. 종이접기 책 속 정다각형 접기 : 3. 정육각형 접기
    6. 각을 정확히 지킨 정육각형접기
    7. 정육각형 종이접기 2
    8. 최대넓이 정육각형 접기
    9. 종이접기 책 속 정다각형 접기 : 4. 정팔각형 접기
    10. 최대넓이 정팔각형 접기
    11. 최대넓이 정팔각형 접기 (2)
    12. 종이접기 책 속 정다각형 접기 : 5 정오각형 접기 (1)
    13. 종이접기 책 속 정다각형 접기 : 6. 정오각형 접기 (2)
    14. 정오각형 접기 (Folding Pentagon)
    15. 색종이와 밑변을 공유한 정오각형을 접는 순서도
    16. 최대넓이를 갖는 정오각형 접기 (Folding Maximum Pentagon)
    17. 최대 넓이 정오각형 접기 (2)와 탐구 과정 (Folding maximum Pentagon (2) )
    18. 정칠각형 접기 핵심 아이디어
    19. 정칠각형 접기 ( Folding Heptagon)
    20. 정칠각형 접기 순서도
    21. 최대 넓이를 갖는 정9각형 접기 (Folding a Maximal nonagon)
    22. 정십삼각형을 접기 이론(2cos(2pi/13) 구하기)
  10. 원모양 종이 접기
    1. 원으로 접는 정다각형 (3,4,6)
    2. 원에 내접하는 삼각형을 접으면
    3. 원에 내접하는 삼각형을 접으면 (2) - 직접 접어보기
    4. 원을 접어 정오각형 만들기 (Folding Pentagon by using Circle Paper)
    5. 원을 접어 정오각형 만들기 2 (Folding Pentagon by using Circle Paper)
    6. 원을 접어 정칠각형 만들기 (Folding Heptagon by using Circle Paper)
    7. 원을 접어 정칠각형 만들기 (2) (Folding Heptagon by using Circle paper) - (2)
  11. 작도불능 문제를 종이접기로
    1. 세제곱근을 접는 벨로치의 방법
    2. 세제곱근 2를 접는 법
    3. 종이접기로 해결하는 각의 3등분
    4. 종이접기로 해결하는 각의 3등분
    5. 각의 3등분과 두 포물선의 공통접선
    6. 각의 삼등분 접기 속 공통접선의 성질
  12. 한번에 잘라라 : 한글 자음 만들기
    1. 한번에 잘라라 : 한글자음 - 1. ㄱ, ㄴ
    2. 한번에 잘라라 : 한글자음 - 2. ㄷ (두번 접기)
    3. 한번에 잘라라 : 한글자음 - 2. ㄷ (한번에 접기)
    4. 한번에 잘라라 : 한글자음 - 3. ㄹ (차근차근 접기)
    5. 한번에 잘라라 : 한글자음 - 3. ㄹ (ㄷ 접기 응용)
    6. 한번에 잘라라 : 한글자음 - 4. ㅁ
    7. 한번에 잘라라 : 한글자음 - 5. ㅂ
    8. 한번에 잘라라 : 한글자음 - 6. ㅅ
    9. 한번에 잘라라 : 한글자음 - 7. ㅇ
    10. 한번에 잘라라 : 한글자음 - 8. ㅈ
    11. 한번에 잘라라 : 한글자음 - 9. ㅊ
    12. 한번에 잘라라 : 한글자음 - 10. ㅋ
    13. 한번에 잘라라 : 한글자음 - 11. ㅌ
    14. 한번에 잘라라 : 한글자음 - 12. ㅍ
    15. 한번에 잘라라 : 한글자음 - 13. ㅎ
  13. 한 번에 자르기 : 일반적인 도형
    1. 한 번에 잘라라 : 원리 설명
    2. 한 번의 잘라라 : 원리를 활용한 눈꽃만들기
    3. 한 번에 잘라라 : 원리를 이용한 정오각형 자르기
    4. 정오각별 자르기
    5. 일반적인 삼각형 자르기
    6. 한번에 잘라라 ~ 시어핀스키 삼각형
  14. 기타
    1. 정사각형을 가로세로 모두 n등분하여 접고 싶다면? (The way to divide the square horizontally and vertically into n equal parts.)
    2. 학을 접는 다면.. (Part.1)
    3. 30도, 60도가 있는 직각삼각형 접기

1.

후지타-하토리 공리(Huzita–Hatori axioms)

후지타-하토리의 공리는 종이접기를 하는 과정에서 이루어지는 현상을 설명하기 위한 수학적인 공리입니다. 1번 공리부터 6번 공리까지는 일본계 이탈리아 수학자 후지타 후미아키가 1991년 교육과 치료를 위한 종이접기 국제회의에서 발표하였고, 7번 공리는 1986년 프랑스의 수학자 Jacques Justin가 찾아냈습니다. 각각의 공리들은 유클리드 기하의 공리들과 비슷하면서도 다른 모습을 보입니다. 종이를 접는 다는 행동이 갖는 고유의 특성 때문에 종이접기의 공리들은 그 접는 선이 4차방정식의 해가 됨을 후지타-하토리의 공리가 나타내고 있습니다.

  • 1. 종이접기의 공리 1번 (Axiom 1)
  • 2. 종이접기의 공리 2번 (Axiom 2)
  • 3. 종이접기의 공리 3번 (Axiom 3)
  • 4. 종이접기의 공리 4번 (Axiom 4)
  • 5. 종이접기의 공리 5번 (Axiom 5)
  • 6. 종이접기의 공리 6번 (Axiom 6)
  • 7. 종이접기의 공리 7번 (Axiom 7)

1.1.

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1.2.

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1.3.

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1.4.

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1.5.

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1.6.

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1.7.

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2.

한 번 접기

  • 1. 종이접기의 기본 : 컴퍼스 접기
  • 2. 컴퍼스 접기 : 컴퍼스 접기와 무리수 길이
  • 3. 1/3을 접는 방법 (2)
  • 4. 종이접기를 접어서 이차곡선을 접어보자. ①
  • 5. 하가의 정리 1
  • 6. 접혀진 도형 모양에 따른 접은 점의 분표
  • 7. n/m의 위치에 정삼각형 한번 접기

2.1.

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2.2.

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2.3.

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2.4.

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2.5.

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2.6.

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2.7.

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3.

A4 용지와 색종이

  • 1. A4로 정사각형을 만드는 2가지 방법
  • 2. 색종이로 께끗한 1:√2 직사각형을 만드는 법 (How to fold a 1:√2 rectangle with square)
  • 3. A4용지로 √n의 길이 접기

3.1.

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3.2.

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3.3.

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4.

교과서 속 종이접기

  • 1. 중1 교과서 속 종이접기
  • 2. 종이띠로 정다각형 접기 (정오각형, 정칠각형)
  • 3. 중학교 교과서 속 원으로 접는 정다각형 (3,4,6)
  • 4. 중2 - 이등변삼각형, 마름모 종이접기
  • 5. 중2 - 삼각형의 내심, 외심 종이 접기
  • 6. 중2 - 삼각형의 무게중심 종이접기
  • 7. 중2 - 2장의 종이를 이용한 종이의 n등분
  • 8. 중2 - 종이 1장으로 길이 3등분 접기
  • 9. 중2 - 닮음 : 닮음과 닮음비를 활용한 종이접기
  • 10. 중3 - 무리수의 도입 : 넓이가 1/2인 정사각형
  • 11. 중3 - 무리수 - A4용지의 길이비
  • 12. 중3 - 무리수 : A4용지의 길이비 2
  • 13. 중3 - 인수분해 공식 : a²-b²=(a-b)(a+b)
  • 14. 중3 - 삼각비의 활용 : A4로 삼각형 접기
  • 15. 중3 - 원의 현의 성질 종이접기
  • 16. 중3 - 원과 현 : 길이가 같은 현에서 중심까지 거리
  • 17. 중3 - 원과 현 : 원으로 새로운 원 접기
  • 18. 중3 - 원의 접선의 성질
  • 19. 중3 - 원주각과 중심각 그리고 종이접기
  • 20. 중3 - 원주각의 성질 (원주각과 호의 길이)
  • 21. 중3 - 원주각의 성질 (원에 내접하는 사각형)
  • 22. 중3 - 원주각의 활용 : 원 위에 있는 네 점의 조건

4.1.

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4.2.

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4.3.

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4.4.

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4.5.

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4.6.

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4.7.

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4.8.

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4.9.

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4.10.

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4.14.

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4.15.

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4.17.

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4.18.

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4.19.

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4.20.

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4.21.

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4.22.

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5.

이차곡선 접기

  • 1. 이차곡선 접기 : 포물선 (Folding a Parabola)
  • 2. 이차곡선 접기 : 타원접기 (Folding a Ellipse)
  • 3. 이차곡선 접기 : 쌍곡선 접기 (Folding Hyperbola)

5.1.

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5.2.

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5.3.

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6.

1/n 길이를 접으려면

  • 1. 작도로 하는 선분의 n등분
  • 2. 중2 - 종이 1장으로 길이 3등분 접기
  • 3. 1/3길이를 만든 뒤 1/9 길이를 접는 법
  • 4. 1/5의 길이를 접으려면?
  • 5. 1/5의 길이를 접으려면 (2)
  • 6. 1/7의 길이를 접는 법 (1)
  • 7. 1/7의 길이를 접으려면 (2)

6.1.

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6.2.

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6.3.

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6.4.

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6.5.

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6.6.

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6.7.

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7.

1/n 넓이 갖는 정사각형 접기

한 변의 길이가 1인 정사각형을 접어 그 넓이가 1/n이 되는 정사각형을 만들려면 어떻게 접어야 할까?

  • 1. 1/√n 을 작도하는 법 (예 : 1/√5)
  • 2. 넓이 1/2 정사각형 접기 (1)
  • 3. 넓이 1/2 정사각형 접기 (2)
  • 4. 넓이 1/3 정사각형 접기
  • 5. 넓이 1/5인 정사각형 접기
  • 6. 넓이 1/5인 정사각형 접기 (2)
  • 7. 넓이가 1/7인 정사각형 접기
  • 8. 넓이가 1/7인 정사각형 접기 (2)

7.1.

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7.2.

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7.3.

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7.4.

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7.5.

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7.6.

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7.7.

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7.8.

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8.

다양한 길이와 모양 접기

  • 1. √a 를 접는 방법 (2)
  • 2. √a 를 접는 방법 (3) - Folding √a
  • 3. 황금비를 작도하는 두 가지 방법
  • 4. 황금비를 접는 법 (1)
  • 5. 황금비를 접는 법 (2)
  • 6. 황금비 직사각형 접기 (1) (Folding a golden ratio rectangle)
  • 7. 황금 직사각형 접기 (2) (Folding a Golden ratio Rectangle) (2)
  • 8. 작도로 하는 사칙연산 : 덧셈과 뺄셈
  • 9. 작도로 하는 사칙연산 : 곱셈과 나눗셈
  • 10. 임의의 선분을 정사각형 네 변으로 접어서 옮기면
  • 11. 종이접기의 사칙연산 - 1. 뺄셈
  • 12. 종이접기의 사칙연산 - 2. 덧셈의 원리
  • 13. 종이접기의 사칙연산 - 2. 덧셈
  • 14. 종이접기의 사칙연산 - 3. 곱셈
  • 15. 종이접기의 사칙연산 - 4. 나눗셈
  • 16. 종이접기의 사칙연산 - 5. 무리수 접기
  • 17. 종이접기의 사칙연산 - 5. 무리수 접기 (다른 방법)

8.1.

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8.2.

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8.3.

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8.4.

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8.5.

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8.6.

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8.7.

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8.8.

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8.13.

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8.14.

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8.15.

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8.16.

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8.17.

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9.

정다각형 접기

  • 1. 컴퍼스 접기를 이용한 정삼각형 접기
  • 2. 종이접기 책 속 정다각형 접기 : 1. 정삼각형 접기
  • 3. 정사각형 속 최대 넓이 정삼각형 접기
  • 4. 종이접기 책 속 정삼각형 접기 : 2. 중심이 보이 정삼각형
  • 5. 종이접기 책 속 정다각형 접기 : 3. 정육각형 접기
  • 6. 각을 정확히 지킨 정육각형접기
  • 7. 정육각형 종이접기 2
  • 8. 최대넓이 정육각형 접기
  • 9. 종이접기 책 속 정다각형 접기 : 4. 정팔각형 접기
  • 10. 최대넓이 정팔각형 접기
  • 11. 최대넓이 정팔각형 접기 (2)
  • 12. 종이접기 책 속 정다각형 접기 : 5 정오각형 접기 (1)
  • 13. 종이접기 책 속 정다각형 접기 : 6. 정오각형 접기 (2)
  • 14. 정오각형 접기 (Folding Pentagon)
  • 15. 색종이와 밑변을 공유한 정오각형을 접는 순서도
  • 16. 최대넓이를 갖는 정오각형 접기 (Folding Maximum Pentagon)
  • 17. 최대 넓이 정오각형 접기 (2)와 탐구 과정 (Folding maximum Pentagon (2) )
  • 18. 정칠각형 접기 핵심 아이디어
  • 19. 정칠각형 접기 ( Folding Heptagon)
  • 20. 정칠각형 접기 순서도
  • 21. 최대 넓이를 갖는 정9각형 접기 (Folding a Maximal nonagon)
  • 22. 정십삼각형을 접기 이론(2cos(2pi/13) 구하기)

9.1.

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9.2.

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9.3.

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9.4.

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9.20.

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9.21.

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9.22.

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10.

원모양 종이 접기

  • 1. 원으로 접는 정다각형 (3,4,6)
  • 2. 원에 내접하는 삼각형을 접으면
  • 3. 원에 내접하는 삼각형을 접으면 (2) - 직접 접어보기
  • 4. 원을 접어 정오각형 만들기 (Folding Pentagon by using Circle Paper)
  • 5. 원을 접어 정오각형 만들기 2 (Folding Pentagon by using Circle Paper)
  • 6. 원을 접어 정칠각형 만들기 (Folding Heptagon by using Circle Paper)
  • 7. 원을 접어 정칠각형 만들기 (2) (Folding Heptagon by using Circle paper) - (2)

10.1.

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10.2.

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10.3.

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10.4.

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10.5.

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10.6.

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10.7.

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11.

작도불능 문제를 종이접기로

종이접기의 공리 6번은 이 종이접기가 3차 방정식의 해를 구할 수 있음을 보장한다. 이에 따라 작도 불능 문제 중 임의의 각의 3등분 문제와 입방배적 문제를 종이접기 공리계에서는 해결할 수 있다.

  • 1. 세제곱근을 접는 벨로치의 방법
  • 2. 세제곱근 2를 접는 법
  • 3. 종이접기로 해결하는 각의 3등분
  • 4. 종이접기로 해결하는 각의 3등분
  • 5. 각의 3등분과 두 포물선의 공통접선
  • 6. 각의 삼등분 접기 속 공통접선의 성질

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한번에 잘라라 : 한글 자음 만들기

한번에 잘라라 활동을 이용하여 한글 자음 만들기 자료입니다. 활동지 : 1. 한글 화일 : https://drive.google.com/file/d/1GxTaxdkmoEr1rZnViIDIkYdzuhMHnD5i/view?usp=sharing 2. PDF화일 : https://drive.google.com/file/d/1279QqQdyI9NY8I1k0ULIfFK8FPRFRp7k/view?usp=sharing

  • 1. 한번에 잘라라 : 한글자음 - 1. ㄱ, ㄴ
  • 2. 한번에 잘라라 : 한글자음 - 2. ㄷ (두번 접기)
  • 3. 한번에 잘라라 : 한글자음 - 2. ㄷ (한번에 접기)
  • 4. 한번에 잘라라 : 한글자음 - 3. ㄹ (차근차근 접기)
  • 5. 한번에 잘라라 : 한글자음 - 3. ㄹ (ㄷ 접기 응용)
  • 6. 한번에 잘라라 : 한글자음 - 4. ㅁ
  • 7. 한번에 잘라라 : 한글자음 - 5. ㅂ
  • 8. 한번에 잘라라 : 한글자음 - 6. ㅅ
  • 9. 한번에 잘라라 : 한글자음 - 7. ㅇ
  • 10. 한번에 잘라라 : 한글자음 - 8. ㅈ
  • 11. 한번에 잘라라 : 한글자음 - 9. ㅊ
  • 12. 한번에 잘라라 : 한글자음 - 10. ㅋ
  • 13. 한번에 잘라라 : 한글자음 - 11. ㅌ
  • 14. 한번에 잘라라 : 한글자음 - 12. ㅍ
  • 15. 한번에 잘라라 : 한글자음 - 13. ㅎ

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한 번에 자르기 : 일반적인 도형

  • 1. 한 번에 잘라라 : 원리 설명
  • 2. 한 번의 잘라라 : 원리를 활용한 눈꽃만들기
  • 3. 한 번에 잘라라 : 원리를 이용한 정오각형 자르기
  • 4. 정오각별 자르기
  • 5. 일반적인 삼각형 자르기
  • 6. 한번에 잘라라 ~ 시어핀스키 삼각형

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기타

  • 1. 정사각형을 가로세로 모두 n등분하여 접고 싶다면? (The way to divide the square horizontally and vertically into n equal parts.)
  • 2. 학을 접는 다면.. (Part.1)
  • 3. 30도, 60도가 있는 직각삼각형 접기

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Information