Propriedades de Potenciação
Este livro, desenvolvido por Alexandre Ferreira da Silva, é um produto educacional elaborado como um dos três requisitos (um livro online, um jogo virtual e um aplicativo para celular) para a avaliação na disciplina "Tecnologias da Informática no ensino da Matemática", do Programa de Mestrado Profissional em Ensino da Matemática da Universidade do Estado do Pará (PMPEM-UEPA), cujos professores foram Cinthia Cunha Maradei Pereira Campos e Fábio José da Costa Alves, em julho de 2020, com o apoio do orientador Prof. Dr. Pedro Franco de Sá. O tema deveria ter relação com o objeto de pesquisa da dissertação do mestrado de cada discente. O objetivo ao elaborar este livro foi o de tornar a operação e as propriedades de Potenciação mais visuais, além de relacioná-las entre si, e que pudessem ajudar os alunos a assimilá-las melhor, a partir da leitura e manuseio do livro, sob a supervisão de seu professor, a partir de uma metodologia ativa. O livro ainda dispõe de 50 exercícios propostos, fora os disponíveis nos vídeos gravados pelo próprio autor e disponíveis na plataforma Youtube, sendo todos com gabarito. Para contatos, enviar e-mail para: alexandre.fdsilva@escola.seduc.pa.gov.br Autor: Alexandre Ferreira da Silva Título do Livro: Propriedades de Potenciação Autores do Livro: Alexandre Ferreira da Silva Fábio José da Costa Alves Cinthia Cunha Maradei Pereira Pedro Franco de Sá
Table of Contents
- Revisão de Potenciação
- Potenciação de Números Naturais
- Propriedades de Potenciação
- Multiplicação e Divisão de potências com bases iguais
- Potência de Potência; Base Fracionária; Expoente Negativo
- Potenciação e Radiciação
- Expoente Fracionário e Radiciação
Potenciação de Números Naturais
Atividade de Revisão de Potenciação
Neste tópico iremos fazer uma revisão sobre os conceitos iniciais de Potenciação, iniciando pelo [b]números Naturais[/b].[br][br]Em resumo, a [b]Potenciação[/b] é uma forma diferente de escrever uma [b]multiplicação de fatores iguais[/b], na qual aparecem os conceitos de [b]base[/b] e [b]expoente[/b], bem como o da [b]potência[/b].[br][br]Abaixo você irá encontrar um vídeo explicativo sobre o tema, além de um applet em que você pode manipular a base e o expoente mostrados e verificar o valor da potência correspondente. Por fim há algumas questões a serem respondidas, visando avaliar o aprendizado obtido nesta atividade.[br][br]Seja bem vindo ao mundo da Potenciação!
Revisão de Potenciação
Potenciação de números Naturais
Manipulando o applet "Potenciação de números Naturais"
Logo a seguir há algumas perguntas sobre o assunto de potenciação. Para respondê-las vocês deverá manipular o applet "Potenciação de números Naturais", disponível aí em cima. [b]Mexa os parâmetros para um lado e para o outro e note o que vai acontecendo com as operações, a cada mexida[/b].[br][br]Para responder as perguntas abaixo, manipule o applet conforme é solicitado em cada questão.
Questão 01
Ao manipular o applet "Potenciação de números Naturais", [b]o que acontece com o valor da potência[/b] se você [b]mantiver fixo o valor da base[/b], mas [b]aumentar o valor do expoente[/b]?
Questão 02
Ao manipular o applet "Potenciação de números Naturais", [b]o que acontece com o valor da potência[/b] se você [b]mantiver fixo o valor da base[/b], mas [b]diminuir o valor do expoente[/b]?
Questão 03
Ao manipular o applet "Potenciação de números Naturais", [b]o que acontece com o valor da potência[/b] se você [b]mantiver fixo o valor do expoente[/b], mas [b]diminuir o valor da base[/b]?
Questão 04
Ao manipular o applet "Potenciação de números Naturais", [b]o que acontece com o valor da potência[/b] se você [b]mantiver fixo o valor do expoente[/b], mas [b]aumentar o valor da base[/b]?
Questão 05
Ao manipular o applet "Potenciação de números Naturais", [b]o que acontece com o valor da potência[/b] se você [b]mantiver fixo o valor do expoente em zero[/b], mas [b]modificar o valor da base aleatoriamente[/b]?
Questão 06
Ao manipular o applet "Potenciação de números Naturais", [b]o que acontece com o valor da potência[/b] se você [b]mantiver fixo o valor do expoente em 1[/b], mas [b]modificar o valor da base aleatoriamente[/b]?
Questão 07
Ao manipular o applet "Potenciação de números Naturais", [b]o que acontece com o valor da potência[/b] se você [b]mantiver fixo o valor da base em 1[/b], mas [b]modificar o valor do expoente aleatoriamente[/b]?
Questão 08
Ao manipular o applet "Potenciação de números Naturais", [b]o que acontece com o valor da potência[/b] se você [b]mantiver fixo o valor da base em zero[/b], mas [b]modificar o valor do expoente aleatoriamente[/b]?
Questão 09
Ao manipular o applet "Potenciação de números Naturais", [b]o que acontece com o valor da potência[/b] se você [b]mantiver fixo o valor da base em 10[/b], mas [b]modificar o valor do expoente aleatoriamente[/b]?
Questão 10
No primeiro vídeo há alguns exercícios no final do mesmo, com a ajuda do applet "Potenciação de números Naturais" no que for possível, [b]responda qual os valores da potências das expressões [math]8^2[/math][/b], [math]5^4[/math], [math]1^8[/math], [math]1^{25}[/math] e [math]0^8[/math], respectivamente?
Questão 11
No primeiro vídeo há alguns exercícios no final do mesmo. Com a ajuda do applet "Potenciação de números Naturais" no que for possível, [b]responda qual os valores da potências das expressões [math]6^3[/math][/b], [math]10^3[/math], [math]10^1[/math], [math]10^6[/math] e [math]10^0[/math], respectivamente?
Questão 12
Qual a vantagem de usar a Potenciação, ao invés da Multiplicação simples?
Agora verifique as explicações das respostas corretas das questões acima no vídeo abaixo:
Multiplicação e Divisão de potências com bases iguais
Propriedades de Potenciação - Parte 1
Agora que já revisamos as definições e propriedades mais básicas da potenciação, vamos ver algumas das mais utilizadas com relação a este assunto.[br][br]Abaixo há dois applets, o primeiro sobre multiplicação e o segundo sobre divisão, ambos relacionados a potências que tem as bases iguais entre si. Vejamos:
Multiplicação de potências com bases iguais
Primeiro Applet
Observe que, ao manipular os controles deslizantes da Base e do 1º e do 2º expoentes, os valores das potências vão se alterando nos dois exemplos, porém nunca ficam diferentes entre si. Isso significa que as operações estão sendo resolvidas de duas formas diferentes, porém, o resultado é sempre o mesmo.[br][br][b]Pra você, qual a forma mais prática de resolver essas operações de multiplicação, da primeira ou da segunda forma?[/b]
Divisão de potências com bases iguais
Segundo Applet
Mais uma vez observe que, ao manipular os controles deslizantes da Base e do 1º e do 2º expoentes, os valores das potências vão se alterando nos dois exemplos, porém também nunca ficam diferentes entre si. Da mesma forma que no applet anterior, Isso significa que as operações estão sendo resolvidas de duas formas diferentes, porém o resultado é sempre o mesmo.[br][br][b]Pra você, qual a forma mais prática de resolver essas operações de divisão, da primeira ou da segunda forma?[/b]
Manipulando os applets de Multiplicação e Divisão de potências de bases iguais
Logo a seguir há algumas perguntas sobre as propriedades de multiplicação e divisão de potências de bases iguais. Para respondê-las vocês deverá manipular os dois applets vistos nessa atividade, disponíveis aí em cima. [b]Mexa os parâmetros para um lado e para o outro e note o que vai acontecendo com as operações, a cada mexida[/b].[br][br]Para responder as perguntas abaixo, manipule os applets conforme é solicitado em cada questão.
Questão 01
No applet "Multiplicação de Potências de Bases Iguais" há dois métodos de resolver o problema, o qual se chega no mesmo resultado. Em que consiste o [b]primeiro[/b] método?
Questão 02
No applet "Multiplicação de Potências de Bases Iguais" há dois métodos de resolver o problema, o qual se chega no mesmo resultado. Em que consiste o [b]segundo[/b] método?
Questão 03
No applet "Multiplicação de Potências de Bases Iguais", qual das opções abaixo define melhor a propriedade mostrada no segundo método?
Questão 04
Manipule o applet "Multiplicação de Potências de Bases Iguais" e responda: qual o valor de [math]3^8[/math]?
Questão 05
Manipule o applet "Multiplicação de Potências de Bases Iguais" e responda: qual o valor de [math]5^9[/math]?
Questão 06
No applet "Divisão de Potências de Bases Iguais" há dois métodos de resolver o problema, o qual se chega no mesmo resultado. Em que consiste o [b]primeiro[/b] método?
Questão 07
No applet "Divisão de Potências de Bases Iguais" há dois métodos de resolver o problema, o qual se chega no mesmo resultado. Em que consiste o [b]segundo[/b] método?
Questão 08
No applet "Divisão de Potências de Bases Iguais", qual das opções abaixo define melhor a propriedade mostrada no segundo método?
Questão 09
Manipule o applet "Divisão de Potências de Bases Iguais" e responda: qual o valor de [math]9^7[/math]?
Questão 10
Manipule o applet "Divisão de Potências de Bases Iguais" e responda: qual o valor de [math]8^8[/math]?
Questão 11
Responda a questão feita no texto do primeiro applet visto acima.
Questão 12
Responda a questão feita no texto do segundo applet visto acima.
Agora verifique as explicações das respostas corretas das questões acima no vídeo abaixo sobre o Produto e a Divisão de potências com bases iguais
Expoente Fracionário e Radiciação
A relação entre a Potenciação e a Radiciação
Nesta última seção falamos sobre a relação entre as operações de Potenciação e Radiciação, a partir de dois applets que contém exemplos com expoentes fracionários, conforme veremos a seguir:
Expoente Fracionário com Raiz Exata
Primeiro applet
Neste primeiro applet trazemos exclusivamente exemplos de raízes cujos resultados são números inteiros, conhecidas como "raízes exatas". Para tanto, observe que em ambos os exemplos o expoente de dentro dos parênteses é igual ao denominador do expoente fracionário de fora dos parênteses.[br][br]Neste applet, assim como em vários applets anteriores já vistos neste livro digital, há dois métodos de resolução que chegam na mesma resposta final, mas no final há uma compilação dos dois métodos, o que faz justamente ficar clara a propriedade em questão. Observe que há simplificações de uma passagem para outra.[br][br][b]Que propriedades já anteriormente vistas embasam as passagens desta para chegarmos a um resultado?[/b]
Potência de Expoente Fracionário
Segundo applet
Neste segundo applet, diferente do primeiro, não nos prendemos a apenas raízes exatas. Podemos manipular os controles deslizantes em 4 parâmetros agora: a base, o expoente interno, além do numerador e denominador do expoente fracionário. Observe que há simplificações de uma passagem para outra.[br][br][b]Que propriedades já anteriormente vistas embasam as passagens desta para chegarmos a um resultado?[/b]
Manipulando os applets sobre expoentes fracionários
Logo a seguir há algumas perguntas sobre as propriedades vistas acima. Para respondê-las vocês deverá manipular os dois applets vistos nessa atividade, disponíveis aí em cima. [b]Mexa os parâmetros para um lado e para o outro e note o que vai acontecendo com as operações, a cada mexida[/b].[br][br]Para responder as perguntas abaixo, manipule os applets conforme é solicitado em cada questão.
Questão 01
Responda a questão feita no texto do primeiro applet visto acima.[br]
Questão 02
Responda a questão feita no texto do segundo applet visto acima.[br]
Questão 03
No applet "Expoente Fracionário com Raiz Exata" por qual motivo a raiz sempre dá como resultado um número inteiro?
Questão 04
No applet "Expoente Fracionário com Raiz Exata" há dois métodos de resolver o problema, o qual se chega no mesmo resultado. Em que consiste o [b]primeiro[/b] método?
Questão 05
No applet "Expoente Fracionário com Raiz Exata" há dois métodos de resolver o problema, o qual se chega no mesmo resultado. Em que consiste o [b]segundo[/b] método?
Questão 06
No applet "Expoente Fracionário com Raiz Exata" o primeiro método funcionaria da mesma forma caso o expoente interno não fosse sempre igual ao denominador do expoente fracionário externo?
Questão 07
No applet "Expoente Fracionário com Raiz Exata" o que acontece quando você altera os valores do expoente do denominador e deixa fixo os demais parâmetros?
Questão 08
No applet "Expoente Fracionário com Raiz Exata" mexa nos parâmetros e informe: qual o valor da expressão [math]\left(5^3\right)^{\frac{2}{3}}[/math]?
Questão 09
No applet "Potência de Expoente Fracionário" a raiz sempre dá como resultado um número inteiro?
Questão 10
No applet "Potência de Expoente Fracionário" qual das opções abaixo define melhor a propriedade mostrada nele?
Questão 11
No applet "Potência de Expoente Fracionário" mexa nos parâmetros e informe: qual o valor da expressão [math]\left(7^2\right)^{\frac{2}{4}}[/math]?
Questão 12
No applet "Potência de Expoente Fracionário" mexa nos parâmetros e informe: qual o valor da expressão [math]\left(8^3\right)^{\frac{2}{2}}[/math]?