Flächeninhalt von Dreieck, Parallelogramm und Trapez
Table of Contents
- Wiederholung
- Wiederholung Rechteck & Quadrat
- Das Parallelogramm
- Das Parallelogramm
- Flächeninhalt des Parallelogramms
- Hefteintrag Parallelogramm
- Das Dreieck
- Das Dreieck
- Flächeninhalt von rechtwinkligen Dreiecken
- Flächeninhalt des Dreiecks
- Hefteintrag Dreieck
- Das Trapez
- Das Trapez
- Flächeninhalt des Trapezes
- Hefteintrag Trapez
- Das Prinzip von Cavalieri
- Das Prinzip von Cavalieri
Wiederholung Rechteck & Quadrat
Wiederholung: Flächeninhalt von Rechteck und Quadrat
[justify]Du kennst bereits die Formel, mit der man den Flächeninhalt eines Rechtecks und eines Quadrats berechnen kann. [/justify]Hier nur ein kleiner Check, ob du noch alles drauf hast.
Für den Flächeninhalt eines Rechtecks gilt:
[justify]A[sub]Rechteck[/sub] = l[math]\cdot[/math]b ("Länge mal Breite")[/justify]
Für den Flächeninhalt eines Quadrats gilt:
[justify]A[sub]Rechteck[/sub] = a[math]\cdot[/math]a = a[sup]2[/sup] (Länge = Breite)[/justify]
Das Parallelogramm
[justify]In diesem Kapitel lernst du einige Eigenschaften des Parallelogramms kennen (vielleicht kennst du sie auch schon) und wirst schrittweise die Formel für den Flächeninhalt entdecken.[/justify]
Aufgabe 1 - Parallelogramme finden
Unten sind unterschiedliche Vierecke abgebildet, doch welche dieser Viereck sind Parallelogramme?
Aufgabe 2 - Eigenschaften des Parallelogramms
Ein Parallelogramm ist eine Viereck dessen gegenüberliegende Seiten ... sind.
Die Gegenüberliegenden Seiten sind zudem ... .
Gegenüberliegende Winkel sind ... .
Das Dreieck
Das Dreieck ist die wichtigste Figur in der Mathematik und wird die bis zum Abitur begleiten. In diesem Kapitel lernst du einige Eigenschaften des Dreiecks kennen (vielleicht kennst du sie auch schon) und wirst schrittweise die Formel für den Flächeninhalt entdecken.
Aufgabe 1 - Höhe des Dreiecks
Der Abstand einer Ecke zur gegenüberliegenden Seite heißt Höhe.
Jedes Dreieck hat ... Höhen.
Jede Höhe steht ... auf ihrer Grundseite.
Aufgabe 2 - Das rechtwinklige Dreieck
Ein Dreieck mit einem rechten Winkel heißt rechtwinkliges Dreieck.
Hat ein rechtwinkliges Dreieck ebenfalls drei Höhen?
Eine Höhe kann man genau so einzeichnen, wie bei den Dreiecken oben. [br]Gibt es noch weitere Höhen, und wenn ja, wo sind sie versteck?
Das Trapez
In diesem Kapitel lernst du einige Eigenschaften des Trapezes kennen (vielleicht kennst du sie auch schon) und wirst schrittweise die Formel für den Flächeninhalt entdecken.
Aufgabe 1 - Trapeze finden
Unten sind unterschiedliche Vierecke abgebildet, doch welche dieser Viereck sind ausschließlich Trapeze?
Aufgabe 2 - Eigenschaften des Trapez
Jedes Trapez ist ein Viereck mit ... Seiten.
Ein Parallelogramm ist ... Trapez.
Das Prinzip von Cavalieri
[justify]Bonaventura Cavalieri (1598 – 1647), ein Italiener, war einer der fähigsten Mathematiker seiner Zeit. Er war ein Schüler von Galileo Galilei, von dem Du vielleicht auch schon gehört hast. Schon mit 31 Jahren wurde er Professor für Mathematik an der Universität von Pisa.[br]Cavalieri überlegte sich ein Prinzip, mit dem man den Flächeninhalt vieler Figuren und sogar den Rauminhalt (Volumen) vieler Körper leicht berechnen kann. Dieses Prinzip ist so wichtig und genial, dass es seinen Namen trägt: das [b]Cavalieri'sche Prinzip[/b]. Jeder Mathematiker kennt es (und ab heute auch du!).[/justify]
Aufgabe
[justify]Auf dem Tisch liegt ein Stapel Karten. Wenn Du sie sauber und ordentlich stapelst, dann sieht der Stapel von vorne ungefähr so aus wie rechts. Du kannst die Karten aber auch schief aufstapeln. Das sieht dann von vorne in etwa so aus wie links.[br]Bewege die roten Punkte um den linken Stapel zu verändern.[/justify]
[justify]Hat sich der Flächeninhalt der vorderen Fläche dadurch verändert?[br]Offenbar hängt der Flächeninhalt nur von der Länge und der Höhe des Stapels ab, nicht aber von seiner Form.[br][b]Das ist das Prinzip von Cavalieri![/b][/justify]
[justify]Genauso kann man sich das z.B. an einem Dreieck überlegen, wenn man es sich in dünne Scheiben zerschnitten vorstellt:[/justify]
[justify]Scheiben in gleicher Höhe haben jeweils den gleichen Flächeninhalt, sie sind nur horizontal verschoben worden. Also müssen auch die 3 Dreiecksflächen gleich groß sein.[/justify]
Am Kartenstapel kannst du dir leicht überlegen, dass das Prinzip von Cavalieri nicht nur für Flächen, sondern auch für Körper gilt:[br]Der Kartenstapel hat immer den gleichen Rauminhalt – egal, er gerade oder schief ist.
Das Cavalieri'sche Prinzip macht es oft viel einfacher, Flächen- und Rauminhalte zu berechnen.