Dans le plan, on considère un carré ABCD de côté 1 cm. Soit E un point du segment [DA]. [br][br]On place le point F sur la demi-droite [Bx) tel que BF = DE . [br][br]On note I le point d’intersection des droites (EF) et (BC).

[u][b]Énoncé possible pour les élèves[/b][/u][br]On note [u]x la longueur DE[/u] et [u]y la longueur BI[/u]. [br][br]1. A l’aide d’un logiciel de dessin dynamique :[br]a. Reproduire la configuration ci-dessus en plaçant le point E libre sur le segment [AD]. [br]b. Afficher la courbe composée des points M de coordonnées (x ; y) lorsque x décrit l’intervalle ” [0;1][br]c. Conjecturer une valeur approchée de la longueur DE pour laquelle la longueur BI est maximale. [br][br]2. a. Dans le repère €( A; B ; D )Š orthonormal, exprimer la longueur IB en fonction de x. [br]b. On considère la fonction f définie sur” [0 ; 1] par : [math]f\left(x\right)=\frac{x-x^2}{1+x}[/math] [br]Déterminer les extrémums de la fonction f sur l’intervalle ” [0 ; 1][br]c. Établir la conjecture faite à la question 1. c.

[u][b]Indication pour tracer la figure :[/b][/u][br][u][i]1ère partie : dans la partie gauche[/i][/u][br]1 – Tracer en premier ce qui est fixe : ici le carré ABCD et la demi-droite [AB)[br]2 – Placer ce qui est mobile : ici le point E mais il sera « lié » au segment [AD][br]3 – Construire le point F en reportant la distance DE. Le plus simple est de créé un cercle de centre B et de rayon DE (outil Cercle (centre ; rayon))[br]3 – Construire le reste de la figure en conservant les propriétés de celle-ci. [br][br][u][i]2ème partie (point M) : dans la partie gauche[/i][/u][br]4 – Pour le point M, le plus simple est de créer un point puis de modifier ses paramètres en choisissant comme coordonnées (DE,BI)