中点多角形と垂足多角形

Bunryu Kamimura, Apr 22, 2016

今まで、三角形で逆中点三角形や傍心三角形を調べた。 それを多角形に拡張するとどうなるのだろうか。 中点をとって新しい多角形を作るとそこにどんな法則が見つかるのだろうか。 垂足多角形はできるのだろうか。

Table of Contents

  1. 中点多角形
    1. 中点多角形
    2. 中点多角形その２
    3. 中点多角形（六角形）
    4. 中点七角形
    5. 五角形の重心
    6. 五角形の重心と中点五角形
    7. 中点多角形の重心は収束する
    8. 中点多角形の頂点の平均
    9. 平行五角形と平行七角形
    10. 平行六角形
    11. 平行六角形（完成版）
    12. 平行五角形は楕円に内接する
    13. 楕円正七角形（平行七角形）
    14. アフィン変換
    15. 対垂四角形の面積
  2. 逆中点多角形
    1. 四角形の逆中点四角形
    2. 平行四辺形の座標
    3. 逆中点５角形が作図できる五角形
    4. 逆中点多角形の始点
    5. 逆中点多角形　六角形
  3. 垂足多角形
    1. 垂足三角形の垂足三角形
    2. 垂足三角形と傍心三角形
    3. 傍心三角形と垂足三角形の関係
    4. 傍心四角形その１
    5. 傍心四角形　その２
  4. 傍心多角形
    1. 外接四角形
    2. 外接五角形
    3. 外接六角形
    4. 外接六角形その２
    5. 内接四角形と外接四角形

1.

中点多角形

中点三角形を拡張して、中点多角形を作ってみる。 作図は簡単で、無限に作図することができる。 その中点多角形はどんな多角形になるのだろうか。

  • 1. 中点多角形
  • 2. 中点多角形その２
  • 3. 中点多角形（六角形）
  • 4. 中点七角形
  • 5. 五角形の重心
  • 6. 五角形の重心と中点五角形
  • 7. 中点多角形の重心は収束する
  • 8. 中点多角形の頂点の平均
  • 9. 平行五角形と平行七角形
  • 10. 平行六角形
  • 11. 平行六角形（完成版）
  • 12. 平行五角形は楕円に内接する
  • 13. 楕円正七角形（平行七角形）
  • 14. アフィン変換
  • 15. 対垂四角形の面積

1.1.

中点多角形

中点多角形[br]各辺の中点を結んでできる多角形[br]これはどんな多角形になるのだろうか？[br]この続きを作図してみる。[br]どうやら対応する辺がだんだんと平行になってゆくのがわかる。
– Bunryu Kamimura

1.2.

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1.3.

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1.4.

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1.5.

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1.6.

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1.7.

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1.8.

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1.9.

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1.10.

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1.11.

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1.12.

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1.13.

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1.14.

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1.15.

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2.

逆中点多角形

多角形から中点多角形は簡単に作図できる。 では、その多角形が中点多角形になるには、どんな条件が必要なのだろうか。 逆中点三角形から類推してみる。

  • 1. 四角形の逆中点四角形
  • 2. 平行四辺形の座標
  • 3. 逆中点５角形が作図できる五角形
  • 4. 逆中点多角形の始点
  • 5. 逆中点多角形　六角形

2.1.

四角形の逆中点四角形

四角形の逆中点四角形を作る。[br]平行四辺形の場合だけ逆中点四角形があるようだ。
– Bunryu Kamimura

2.2.

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2.3.

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2.4.

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2.5.

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3.

垂足多角形

傍心三角形を拡張して、傍心多角形を作ってみる。 その為に、垂足三角形と傍心三角形のつながりから考察し、 垂心よりも内心に注目し、内心で多角形を作成する。 「内心多角形＝外接多角形（円に外接する多角形）」の場合に傍心多角形ができる。

  • 1. 垂足三角形の垂足三角形
  • 2. 垂足三角形と傍心三角形
  • 3. 傍心三角形と垂足三角形の関係
  • 4. 傍心四角形その１
  • 5. 傍心四角形　その２

3.1.

垂足三角形の垂足三角形

垂足三角形の垂足三角形の垂足三角形と作っていくと・・・
– Bunryu Kamimura

3.2.

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3.3.

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3.4.

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3.5.

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4.

傍心多角形

傍心多角形は作ることができるか。 内接四角形⇔垂足四角形 外接四角形⇔傍心四角形 ではないか

  • 1. 外接四角形
  • 2. 外接五角形
  • 3. 外接六角形
  • 4. 外接六角形その２
  • 5. 内接四角形と外接四角形

4.1.

外接四角形

三角形の内心で四角形を作ると、４つ目の頂点でも内心になる。[br]傍心四角形を作ろうと思ってやってみた。[br]この四角形のポイントは三角形の内心。[br]その内心で四角形を作ると、新しく出きた頂点でも二等分線が内心を通る。[br]したがって、垂足四角形にあたる□ABDFは外接四角形となる。[br]そして、傍心四角形GHIJは内接四角形となる。
– Bunryu Kamimura

4.2.

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4.3.

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4.4.

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4.5.

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