Sia y=f(x) una funzione e l'intervallo [a,b][math]\subset[/math]D(f), tale che[br][list=1][*]f è [b]continua [/b]nell'intervallo chiuso [a,b][/*][*]f è [b]derivabile [/b]nell'intervallo aperto ]a,b[[/*][*][b]f(a)=f(b)[/b][/*][/list]allora esiste almeno un punto [b]x[sub]0[/sub][/b][math]\in[/math][b]]a,b[[/b] tale che [b]f'(x[sub]0[/sub])=0[/b]

La validità del Teorema di Rolle garantisce l'esistenza di almeno una retta tangente alla curva parallela all'asse X.

La dimostrazione si divide in due casi:[br]1) Supponiamo che la funzione sia costante in [a,b], ovvero [math]f\left(x\right)=k=f\left(a\right)=f\left(b\right)[/math]. In questo caso si ha che [math]f'\left(x\right)=0\; \forall x\in]a,b[[/math], quindi il teorema è verificato.[br]2) Se la funzione non è costante esisteranno degli [math] x\in]a,b[[/math] tale che [math]f(x)\neq f(a)=f(b)[/math].[br]Per ipotesi la funzione è [b]continua[/b] nell'intervallo chiuso [math]\left[a,b\right][/math], quindi valgono le ipotesi del [b]Teorema di Weierstrass[/b], ovvero la funzione ammette massimo e minimo assoluti in [math]\left[a,b\right][/math].[br]In particolare, nel caso in cui il massimo sia agli estremi, che per ipotesi assumono lo stesso valore della funzione, il minimo dovrà essere un altro valore interno all'intervallo, e viceversa.[br]Pertanto [math]\exists x_0\in]a,b[[/math] in cui la funzione assume un massimo o un minimo assoluto.[br]Ma, visto che per ipotesi nell'intervallo aperto la funzione è [b]derivabile, [/b]per il [b]Lemma di Fermat[/b] in quel punto estremale la derivata si annulla, ovvero ricapitolando[br][br][center][math]\large\exists x_0\in]a,b[/ f'(x_0)=0[/math][/center][br]che è la tesi del Teorema.[br]

Variando [b]n[/b] verifica la tesi del Teorema di Rolle con differenti grafici