Géométrie dans l'espace - TS
Exemples illustrant le cours de géométrie dans l'espace en terminale S.
Table of Contents
- Définitions d'une droite
- Comment définir une droite
- Exemple de définition d'une droite sur un cube
- Définitions d'un plan
- Plusieurs définitions d'un plan
- Exemple de définitions d'un plan sur un cube
- Positions relatives de droites et de plans
- Cours : positions relatives de droites et de plans
- Droites parallèles dans un cube
- Droites sécantes dans un cube
- Droites non coplanaires dans un cube
- Plans parallèles dans un cube
- Plans sécants dans un cube
- Droite sécante à un plan dans un cube
- Droite parallèle à un plan dans un cube
- Section d'un cube par un plan
- Orthogonalité de droites, d'une droite et d'un plan
- Droites orthogonales : définition et exemple interactif
- Droite orthogonale à un plan : définition et propriété
- Vecteurs de l'espace
- Vecteurs de l'espace : définitions et propriétés
- Relation de Chasles
- Règle du parallélogramme
- Repérage dans l'espace
- Coordonnées d'un point
- Caractérisation d'une droite
- Droite définie par un point et un vecteur directeur
- Produit scalaire et distance
- Orthogonalité de vecteurs
- Caractérisation d'un plan
Comment définir une droite
Une droite est définie par deux points. Cela signifie que, par deux points différents A et B, passe une unique droite, appelée (AB).[br][br]Cela signifie aussi que deux points sont toujours alignés.[br][br]Une droite peut aussi être définie par un point et une direction : étant donnés un point A et une droite (d), il existe une unique droite passant par A et parallèle à (d). Il existe aussi une unique droite passant par A et perpendiculaire à (d).
Exemple fixe
Plusieurs définitions d'un plan
Il faut s'imaginer un plan comme une planche infiniment fine et qui se prolonge infiniment dans tous les sens.[br][br]Un plan peut être défini par :[br][list][*]Trois points non alignés : par trois points non alignés passe un unique plan. Essayez : sur trois de vos doigts vous pouvez poser une fiche cartonnée (rigide).[/*][*]Ou par deux droites parallèles. Concrètement, c'est comme des tréteaux : si ils sont bien parallèles on peut poser une planche dessus pour faire une table.[/*][*]Ou par deux droites sécantes.[/*][*]Ou par un point et une droite ne passant pas par ce point.[/*][/list]
Exemple fixe
Dans le cube ci-dessous, la face de devant est contenue dans un plan qui peut être défini par[br][list][*]trois points : (ABF) ou (AEB)...[/*][*]deux droites parallèles : (AB) et (EF);[/*][*]deux droites sécantes : (AF) et (EB);[/*][*]un point et une droite : A et (BF).[br][/*][/list][b]Attention[/b] Ne pas confondre le carré ABFE avec le plan qui, lui, peut être prolongé dans tous les sens.
Cours : positions relatives de droites et de plans
La [b]position relative[/b] de deux figures géométriques, c'est connaître la position de l'une par rapport à l'autre.[br]En géométrie du plan, on s'intéresse aux propriétés relatives de deux droites. Deux droites dans le plan sont :[br][list][*]soit sécantes (elles ont 1 point d'intersection) ;[/*][*]soit parallèles ; dans ce cas, deux possibilités : [/*][*]strictement parallèles (aucun point d'intersection) ;[/*][*]confondues (une infinité de points d'intersection).[br][/*][/list]Dans l'espace, c'est différent : on étudie les positions de deux droites, mais aussi de deux plans ou d'une droite et d'un plan.[br]Le détail est expliqué page 260 du manuel et sur la vidéo suivante de jaicompris.com
Explication de jaicompris.com
Droites orthogonales : définition et exemple interactif
Définition
Deux droites de l'espace sont dites [b]orthogonales[/b] lorsqu'il existe une droite qui est parallèle à l'une et perpendiculaire à l'autre.[br][br]Deux droites qui sont à la fois orthogonales et coplanaires sont dites [b]perpendiculaires[/b].
Exemple interactif
Dans le cube ABCDEFGH, les droites (AB) et (BC) sont perpendiculaires car ce sont deux côtés consécutifs d'un carré (le carré ABCD).[br][br]La droite (FG) est parallèle à (BC) car (FG) et (BC) sont deux côtés opposés d'un carré (le carré BCGF).[br][br](FG) est parallèle à une droite perpendiculaire à (AB), donc (FG) et (AB) sont orthogonales.
Vecteurs de l'espace : définitions et propriétés
Les vecteurs sont définis dans l'espace comme dans le plan, avec les mêmes propriétés. Cette section est juste un rappel de ce que vous avez vu en seconde et première.
Définition
Un vecteur est défini par sa direction, son sens et sa norme (ou longueur).
Propriété (Relation de Chasles)
Pour tous points [math]A[/math], [math]B[/math] et [math]C[/math] de l'espace, [math]\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}[/math]
Propriété (Règle du parallélogramme)
Pour tous points [math]A[/math], [math]B[/math], [math]C[/math] et [math]D[/math] de l'espace, [math]\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}[/math] si et seulement si [math]ABDC[/math] est un parallélogramme.
Définition (Produit par un nombre)
Soit [math]k[/math] un réel et [math]\overrightarrow{u}[/math] un vecteur de l'espace. On définit le vecteur [math]k \overrightarrow u[/math] tel que :[br][br][list][*][math]k \overrightarrow u[/math] a la même direction que [math]\overrightarrow{u}[/math] ;[/*][*][math]k \overrightarrow u[/math] a le même sens que [math]\overrightarrow{u}[/math] si [math]k>0[/math] et est de sens opposé si [math]k<0[/math] ;[/*][*]la norme de [math]k\overrightarrow{u}[/math] est égale à [math]|k|[/math] fois la norme de [math]\overrightarrow{u}[/math].[/*][/list][br]
Coordonnées d'un point
Déplacez le point A, vous verrez apparaître ses coordonnées (x ; y ; z).[br][br]Les droites en pointillés sont perpendiculaires aux axes et passent par A. Elles permettent de voir les points de coordonnées (x ; 0 ; 0) (0 ; y ; 0) et (0 ; 0 ; z), où (x ; y ; z) sont les coordonnées de A.
Droite définie par un point et un vecteur directeur
Vous pouvez déplacer les points A et B et modifier le curseur t.[br][br]Le point M vérifie [math]\text{\overrightarrow{AM} = t \overrightarrow{AB}}[/math]