[size=50][right]Diese Seite ist Teil des [color=#980000][i][b]GeoGebra-Books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url].([color=#cc0000]Juli 2019[/color])[/right][size=85]Der Satz von [b]GRAF[/b] und [b]SAUER[/b] ([b]1925[/b]), siehe [math]\hookrightarrow[/math] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/kBuDGYqv]Literaturverzeichnis[/url] [[b]GRA_SA[/b]], besagt:[br][/size][/size][list][*][size=50][size=85]"[color=#0000ff][i][b]Jede geradlinige Sechseckwabe besteht aus den Tangenten einer ebenen Kurve dritter Klasse[/b][/i][/color]" [/size][/size][/*][/list][size=50][size=85]Dem Applet oben liegt als [color=#0000ff][i][b]Kurve 3. Klasse[/b][/i][/color] eine [color=#f1c232][i][b]Parabel[/b][/i][/color] zusammen mit einem weiteren [color=#00ff00][i][b]Punkt[/b][/i][/color] zugrunde. Der [color=#00ff00][i][b]Punkt[/b][/i][/color] ist hier konkret der [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color], es könnte aber auch fast jeder andere sein![br]Und an Stelle der [color=#f1c232][i][b]Parabel[/b][/i][/color] kann man sich jeden Typ von [color=#ff7700][i][b]Kegelschnitt[/b][/i][/color] denken, sogar einen solchen, der in 2 weitere Punkte zerfällt! Denn: 3 Geradenbüschel erzeugen stets ein [color=#ff0000][i][b]Sechs-Eck-Netz[/b][/i][/color].[br][br]Was ist eine [color=#0000ff][i][b]Kurve 3. Klasse[/b][/i][/color]? [br]Die Anzahl der Tangenten, die sich „in der Regel“ von einem nicht auf der Kurve liegenden Punkt aus an eine Kurve [i]d[/i]-ter Ordnung legen lassen, heißt die [b]Klasse[/b] [math]d\,^{*}[/math] der Kurve. ([/size][i][size=50]wikipedia [/size][/i][url=https://de.wikipedia.org/wiki/Algebraische_Kurve][i]Algebraische Kurven[/i][/url])[/size][size=85].[br]Es gilt die [url=https://de.wikipedia.org/wiki/Pl%C3%BCckersche_Formeln]PLÜCKERsche Formel[/url]: [math]d\,^{*}=d\cdot\left(d-1\right)+2\delta +3\kappa [/math]; [br]dabei ist [math]d[/math] die Ordnung der Kurve, [math]\delta[/math] die Anzahl der Doppelpunkte und [math]\kappa[/math] die Anzahl der Spitzen.[br][br][color=#980000][u][i][b]Beispiele[/b][/i][/u][/color]: ([size=50]siehe auch die nächsten [color=#980000][i][b]book[/b][/i][/color]-Seiten[/size])[br][list][*]Die [color=#9900ff][i][b]Normalen[/b][/i][/color] einer [color=#ff7700][i][b]Parabel [/b][/i][/color]sind [color=#0000ff][i][b]Tangenten[/b][/i][/color] einer [b]NEIL[/b]schen Parabel, das ist eine Kurve 3. Ordnung mit einer Spitze![/*][*]Eine [color=#ff7700][i][b]kubische Funktion[/b][/i][/color] [math]y=a\cdot x^3+b\cdot x^2+c\cdot x+d[/math] ist eine Kurve 3. Ordnung mit einer Spitze in [math]\infty[/math].[/*][*]Alle Kurven 3. Ordnung mit einer Spitze ohne Doppelpunkt: [list][*]Versiera der AGNESI [math]\left(x^2+a^2\right)\cdot y-a^3=0[/math];[/*][*] Visiera-Kurve [math]x\cdot\left(x^2+y^2\right)=a\cdot\left(x^2+2y^2\right)[/math];[/*][*] Zissoide von FERMAT: [math]y^2\cdot\left(a-x\right)=x^3[/math][/*][/list][/*][/list]Viel Spaß beim Ausprobieren und beim Suchen anderer geeigneten Kurven![/size]