Konvergenz & Divergenz von Folgen und Reihen
جدول محتویات
- Einführung
- Einführung: Der Konvergenzbegriff
- Einführung Divergenz
- Konvergenz und Divergenz von Folgen
- Definiton: Konvergenz und Grenzwert
- Aufgabe: Konvergenz
- Beweis der Konvergenz mit dem Epsilon-Kriterium
- Konvergenz besonderer Folgen
- Anwendung: Unendliche Geometrische Reihe
- Ein Besonderer Grenzwert: die n-te Wurzel aus n
- Bestimmte Divergenz
- Definiton Divergenz
- Aufgabe Divergenz
- Sätze über konvergente Folgen
- Sätze über konvergente Folgen
- Grenzwertsätze für Summen, Differenzen, Produkten und Quotienten konvergenter Folgen
- Monotoniekriterium
- Der Einschnürungssatz (Satz vom Sandwich)
Einführung: Der Konvergenzbegriff
Sprechen wir über [b]Grenzwerte[/b], wird häufig die umgangssprachliche Formulierung [i]"gegen ... streben"[/i] genutzt. Doch was genau ist damit eigentlich gemeint? [br]Zunächst wollen wir uns mit diesem verbalen Ansatz des Grenzwertes auseinandersetzten, um der mathematisch korrekten Definition etwas näher zu kommen. [br]Dafür betrachten wir als erstes eine uns bereits bekannte Folge: Die [b]harmonische Folge[/b] ([math]\frac{1}{n}[/math])[math]_{n\in\mathbb{N}}[/math].
Frage 1
Gegen welche Zahl a[math]\in\mathbb{R}[/math] strebt die Folge ([math]\frac{1}{n}[/math])[math]_{n\in\mathbb{N}}[/math] für immer größer werdende n?
App-Darstellung von Folgen
Aufgabe 2: Wahr oder Falsch - Bewerte folgende Aussagen
Für wachsende n wird der Abstand von [math]\frac{1}{n}[/math] und 0 immer kleiner.
Aufgabe 3
Für wachsende n wird der Abstand von [math]\frac{1}{n}[/math] und -37 immer kleiner.
Aufgabe 4
Die harmonische Folge strebt gegen 0.
Aufgabe 5
ie harmonische Folge strebt gegen -37
Aufgabe 6
Der Abstand der Folgenglieder zu 0 wird unendlich klein, wenn n unendlich groß wird.
Aufgabe 7
Es existiert ein Folgenglied der harmonischen Reihe, sodass für ein genügend großes n folgende Aussage gilt:[math]\frac{1}{n}=0[/math] .
Aufgabe 8
Gegen welche Zahl streben die Folgeglieder der Folge [math]a_n=\frac{3}{n^2}[/math]
Sicherlich ist dir die Beantwortung der Fragen erstmal leicht vorgekommen. Vielleicht bist du aber auch über einige gestolpert oder hast sie nicht richtig beantwortet. Wie du merkst, ist es nicht so einfach, eine mathematisch exakte Definition für den verbalen Ausdruck "strebt gegen ..." aufzustellen, auch wenn man eigentlich eine (genaue) Vorstellung hat, was der Ausdruck bedeutet.[br]Im nächsten Kapitel wird die Definition für Konvergenz und Divergenz von Folgen, welche von von A. L. Cauchy aufgestellt wurde, eingeführt und im weiteren Verlauf des Kapitels veranschaulicht.
Definiton: Konvergenz und Grenzwert
Definition der Konvergenz
Gegeben sei eine Folge [math]\left(a_n\right)_{n\ge1}[/math] und eine reelle Zahl [math]a[/math]. Man sagt, dass die Folge [b]gegen [/b][math]a[/math][b] konvergiert[/b] (symbolisch: [math]lim_{n\longrightarrow\infty}a_n=a[/math]), wenn es zu jedem [math]\varepsilon>0[/math] ein [math]n_0\in\mathbb{N}[/math] gibt, so dass[br] [math]\mid a_n-a\mid<\varepsilon[/math] für alle [math]n>n_0[/math].[br](Hierbei ist [math]n_0[/math] abhängig von [math]\varepsilon[/math]; dies drückt man manchmal durch die Schreibweise [math]n_0=n_0\left(\varepsilon\right)[/math] aus.)[br]Wenn dies der Fall ist, nennt man [math]a[/math] auch [b]Grenzwert[/b] oder [b]Limes[/b] der Folge [math]\left(a_n\right)_{n\ge1}[/math]. Ist die Folge nicht konvergent, so nennt man sie [b]divergent[/b].
Video
Definiton Divergenz
Aus der Definition für Konvergenz und Divergenz von Folgen wissen wir, dass eine Folge dann divergiert, wenn sie nicht konvergiert.[br]Allerdings gibt es auch sogenannte [b]bestimmte Divergenz[/b]. Diese wird durch den verbalen Ausdruck "strebt gegen Unendlich" bzw. "strebt gegen Minus Unendlich" beschrieben. Nun soll dieser Ausdruck ebenfalls mathematisch präzise definiert werden.
Gegeben sei eine Folge [math]\left(a_n\right)_{n\ge1}[/math]. Man sagt, dass die Folge bestimmt gegen [math]\infty[/math] divergiert (symbolisch: [math]lim_{n\longrightarrow\infty}a_n=\infty[/math]), wenn es zu jedem [math]M>0[/math] ein [math]n_0\in\mathbb{N}[/math] gibt, so dass [br] [math]a_n>M[/math] für alle [math]n>n_0[/math][br][br]Man sagt, dass die Folge bestimmt gegen [math]-\infty[/math] divergiert (symbolisch: [math]lim_{n\longrightarrow\infty}a_n=-\infty[/math]), wenn es zu jedem [math]M>0[/math] ein [math]n_0\in\mathbb{N}[/math] gibt, so dass[br] [math]a_n<-M[/math] für alle [math]n>n_0[/math].[br][br]Hierbei ist [math]n_0[/math] abhängig von [math]M[/math]; dies drückt man manchmal durch die Schreibweise [math]n_0=n_0\left(M\right)[/math] aus.
Sätze über konvergente Folgen
Es gibt mehrere wichtige mathematische Sätze über konvergente Folgen. Verschaffe dir zunächst einmal einen Überblick über die Sätze anhand der Karte.
Im Folgenden lernst du die Aussagen einiger wichtiger Sätze kennen und ihre Bedeutung anhand von Beispielen.