het getal phi en mythe rond de gulden snede

chris cambré, Sep 12, 2024

De webpagina's met rechthoeken en spiralen op tempels, schilderijen of schelpen zijn niet te tellen. Het moet gezegd: de gulden snede is populair. Voor Chris Impens, gepensioneerd professor wiskunde, is [math]\varphi[/math] een getal. Hij blogt al jaren over het onderwerp en bundelde recent deze blogvlijt in de tekst [url=https://www.blogger.com/profile/08053866714451812324]Golden Maths & Myths[/url] die je vrij kunt downloaden. Toen ik die tekst ontdekte, contacteerde ik Chris meteen met het voornemen de wiskunde en de mythes uit die tekst in een GeoGebraboek te verwerken. De tekst biedt een schat aan materiaal. Als een professor onderwijst hij over spiralen, als een chirurg filleert hij foute gulde snede claims. Waar komt de term 'gulden snede' vandaan? Waar ligt de navel in de beroemde tekening van Leonardo da Vinci en hoe gulden zijn het Parthenon en de schelp van de Nautilus pompilius? Vanuit de tekst van Chris Impens, aanvullende info uit zijn blogs en andere teksten die ik online kon vinden, probeer ik u mee te nemen op een boeiende verkenningstocht. Blijft u hier en daar nog met een wiskundig hongertje zitten? Geen nood, lees dan zeker Golden Maths en Myths na. Hebben de achtergronden van het gulden snede verhaal u dan pas echt te pakken, dan kan ik u [i]De ontstelling van Pythagoras[/i] aanbevelen van Albert van der Schoot. Het is de neerslag van zijn doctoraatsscriptie in een boek van 400 pagina's, dat ik pas zelf tweedehands op de kop kon tikken. Het was mij een genot heel wat nieuwe dingen te leren via de nuchtere en tegelijk geëngageerde aanpak van Chris. Ik hoop dat ik u op mijn beurt kan meenemen in het verhaal van de gulden snede waarin eens te meer blijkt dat de 'Maths' niet eens saaier zijn dan de 'Myths'. Note for interested English speakers: there's an English translation of this GeoGebrabook: [url=https://www.geogebra.org/m/cz8ggxgt]Golden Maths and Myths[/url]

Table of Contents

  1. misconcepties en disclaimers
    1. de esthetische voldoening van een gouden rechthoek
    2. De gulden snede is al eeuwenlang gekend
    3. basisconcept doorheen de architectuurgeschiedenis
    4. phi is alomtegenwoordig in de wiskunde
    5. phi in de natuur
  2. het getal phi
    1. definitie
    2. constructie van wortels
    3. constructie van phi
    4. constructie van PHI
  3. phi en meetkunde
    1. een vleugje goniometrie
    2. PHI in een regelmatige vijfhoek
    3. phi als de zijde van een regelmatige tienhoek
    4. phi in een regelmatig twintigvlak
    5. twintigvlak en twaalfvlak
  4. Phi en de rij van Fibonacci
    1. Fibonacci - konijnen
    2. exacte en benaderende Fibonacci-formule
    3. de rij van Fibonacci anders bekeken
    4. gulden rechthoek en fibonacci rechthoek
  5. de Vitruviaanse man
    1. de Vitruviaanse man - afmetingen
    2. constructie gulden snede
    3. cirkel met straal phi
    4. Waar ligt de navel? - constructie
    5. Waar ligt de navel? - berekening
    6. ken je klassiekers
    7. andere onzin
    8. nog meer da Vinci onzin
  6. Pacioli en de 'divina proportione'
    1. 'goddelijke verhouding'
    2. Trattato dell'architettura
    3. Diuina Proportio
  7. spiralen en zonnebloemen
    1. parabolische spiralen
    2. DIPAS
    3. efficiëntie
    4. 2 reeksen spiralen
    5. de groei van zonnebloemen
  8. spiralen en schelpen
    1. Fibonacci spiraal
    2. spiraal in een gulden rechthoek
    3. gulden rechthoek en gulden spiraal
    4. Nautilus pompilius
  9. Parthenon en renaissance
    1. het Parthenon in afbeeldingen
    2. het Parthenon in cijfers
    3. Renaissance
  10. de 'gulden snede' als esthetisch ideaal
    1. Hoe een constructie een esthetisch ideaal werd
    2. Vitruvius versus Zeising
    3. Zeising - Ghyka - Le Corbusier
    4. Le Corbusier
  11. wat met Mondriaan?
    1. Waar was Mondriaan echt mee bezig?
  12. muziek en de gulden snede
    1. Pythagoras
    2. harmonische boventonen
    3. gulden ontsporingen
    4. tellen van maten
    5. microtonaliteit

1.

misconcepties en disclaimers

In dit eerste hoofdstukje starten we meteen met enkele misconcepties en disclaimers. In de volgende hoofdstukken gaan we apart in op deelaspecten. Boeiende lectuur in dit verband is ook het laatste deel van 'Golden Math & Myths' met een opsomming van 'silly', 'very silly', 'absurd' tot 'very absurd statements'.

  • 1. de esthetische voldoening van een gouden rechthoek
  • 2. De gulden snede is al eeuwenlang gekend
  • 3. basisconcept doorheen de architectuurgeschiedenis
  • 4. phi is alomtegenwoordig in de wiskunde
  • 5. phi in de natuur

1.1.

–

1.2.

–

1.3.

–

1.4.

–

1.5.

–

2.

het getal phi

Hoewel [math]\varphi[/math] meestal genoemd en geduid wordt als een verhouding in een lijnstuk of een rechthoek, is het eigenlijk gewoon een irrationaal getal. Net zoals andere wortelvormen kan je het voorstellen door gebruik te maken van de stelling van Pythagoras.

  • 1. definitie
  • 2. constructie van wortels
  • 3. constructie van phi
  • 4. constructie van PHI

2.1.

–

2.2.

–

2.3.

–

2.4.

–

3.

phi en meetkunde

Bij het rekenen in vijf- en tienhoeken of in veelvlakken kom je al snel het getal [math]\varphi[/math]tegen. In dit hoofdstukje ontdek je waarom één gelijkheid er voor zorgt dat dit eigenlijk voor de hand ligt.

  • 1. een vleugje goniometrie
  • 2. PHI in een regelmatige vijfhoek
  • 3. phi als de zijde van een regelmatige tienhoek
  • 4. phi in een regelmatig twintigvlak
  • 5. twintigvlak en twaalfvlak

3.1.

–

3.2.

–

3.3.

–

3.4.

–

3.5.

–

4.

Phi en de rij van Fibonacci

Vaak wordt de rij van Fibonacci gekoppeld aan de gulden snede. Hoe verder je gaat in de rij, hoe dichter het quotiënt van opeenvolgende termen het getal [math]\Phi[/math]= 1.618... benaderen. Ontdek in dit hoofdstuk waarom.

  • 1. Fibonacci - konijnen
  • 2. exacte en benaderende Fibonacci-formule
  • 3. de rij van Fibonacci anders bekeken
  • 4. gulden rechthoek en fibonacci rechthoek

4.1.

–

4.2.

–

4.3.

–

4.4.

–

5.

de Vitruviaanse man

Wanneer het begrip [i]de gulden snede[/i] valt, volgt vaak in één adem [i]de Vitruviaanse man[/i], een tekening van Leonardo da Vinci, als een link tussen kunst en wiskunde die teruggaat tot de renaissance en de Klassieke Oudheid. Da Vinci noteert zelf tal van afmetingen bij zijn tekening en daarmee gaan we aan de slag om te onderzoeken waar die beruchte navel nu exact ligt. Een vraag die je bij dit alles kan stellen is waar men het eigenlijk over heeft. Je hoeft maar in het rond te kijken om te zien dat er dunne, dikke, atletische, slanke en fors gespierde mensen zijn, mensen met lange en korte armen. Klopt 'de natuur' dan enkel bij die ideale man? En wat met de vrouw?

  • 1. de Vitruviaanse man - afmetingen
  • 2. constructie gulden snede
  • 3. cirkel met straal phi
  • 4. Waar ligt de navel? - constructie
  • 5. Waar ligt de navel? - berekening
  • 6. ken je klassiekers
  • 7. andere onzin
  • 8. nog meer da Vinci onzin

5.1.

–

5.2.

–

5.3.

–

5.4.

–

5.5.

–

5.6.

–

5.7.

–

5.8.

–

6.

Pacioli en de 'divina proportione'

  • 1. 'goddelijke verhouding'
  • 2. Trattato dell'architettura
  • 3. Diuina Proportio

6.1.

–

6.2.

–

6.3.

–

7.

spiralen en zonnebloemen

De zaadjes in zonnebloemen zijn allesbehalve willekeurig geplaatst. Je herkent spiralen. In dit hoofdstuk vind je er meer over.

  • 1. parabolische spiralen
  • 2. DIPAS
  • 3. efficiëntie
  • 4. 2 reeksen spiralen
  • 5. de groei van zonnebloemen

7.1.

–

7.2.

–

7.3.

–

7.4.

–

7.5.

–

8.

spiralen en schelpen

Een spiraal is een kromme die rond een bepaald punt draait en steeds dichter dit punt nadert of zich er steeds verder van verwijdert. Een spiraal kan eenvoudig getekend worden door een spijker in de ondergrond te steken en met een touw aan een potlood te verbinden. Als het potlood de ondergrond raakt en het vervolgens naar links of naar rechts wordt bewogen (met gespannen touw), dan verschijnt een spiraalvormige streep op de ondergrond, doordat het touw om de spijker wordt gewonden en daardoor steeds korter wordt. (Wikipedia). Er zijn verschillende types van spiralen, zie het GeoGebraboek krommen met het hoofdstuk [url=https://www.geogebra.org/m/MZmnkUTP#chapter/139897]spiralen[/url]

  • 1. Fibonacci spiraal
  • 2. spiraal in een gulden rechthoek
  • 3. gulden rechthoek en gulden spiraal
  • 4. Nautilus pompilius

8.1.

–

8.2.

–

8.3.

–

8.4.

–

9.

Parthenon en renaissance

Zoek naar 'gulden snede', selecteer 'Afbeeldingen' en je vindt Leonardo da Vinci, schelpen en het Parthenon. Op een foto van het Parthenon de gulden snede illustreren is meteen al moeilijk, want door de afmetingen van het gebouw krijg je gigantische perspectiefvervormingen en het gebouw in zijn volledige lengte trekken is al helemaal onmogelijk. Laten we eens kijken naar die foto's en daarna ook eens naar de reële afmetingen. Een doctoraalstudie werpt een heel ander licht op de verhoudingen in het Parthenon.

  • 1. het Parthenon in afbeeldingen
  • 2. het Parthenon in cijfers
  • 3. Renaissance

9.1.

–

9.2.

–

9.3.

–

10.

de 'gulden snede' als esthetisch ideaal

  • 1. Hoe een constructie een esthetisch ideaal werd
  • 2. Vitruvius versus Zeising
  • 3. Zeising - Ghyka - Le Corbusier
  • 4. Le Corbusier

10.1.

–

10.2.

–

10.3.

–

10.4.

–

11.

wat met Mondriaan?

  • 1. Waar was Mondriaan echt mee bezig?

11.1.

–

12.

muziek en de gulden snede

Muziek is dé kunst bij uitstek waar verhoudingen een belangrijke rol spelen. Voor de oorsprong van ons westers toonstelsel zijn we weer bij Pythagoras. Veel meer over de geschiedenis van ons westers toonstelsel, samenklanken, boventonen, middentoonstemming, barokstemmingen tot de gelijkzwevende stemming vind je op [url=https://wiskunde-interactief.be/0fu_5gon_sinusgeluid.htm]van sinusfuncties tot een toonsysteem[/url] en volgende pagina's

  • 1. Pythagoras
  • 2. harmonische boventonen
  • 3. gulden ontsporingen
  • 4. tellen van maten
  • 5. microtonaliteit

12.1.

–

12.2.

–

12.3.

–

12.4.

–

12.5.

–

Information