林業の数学

Bunryu Kamimura, Jun 22, 2015

伐木の研修を受けました。切った木がどのように倒れるのか、重心はどの高さにあるのか、いろいろ疑問を持ちました。 そこで「林業の研究」です。まずは木のことを調べましょう。 『木の年輪を調べよう（年輪の数学）』 [url]http://hamaguri.sakura.ne.jp/nenrin1.html[/url]

Table of Contents

  1. 三角錐の重心
    1. 三角錐の重心　The center of gravity of the triangular pyramid
    2. 三角錐台の重心
  2. 円錐の重心
    1. 円錐の重心
  3. 木の重心
    1. 木の重心
    2. パイプモデル
  4. 木の倒れ方
    1. 棒の倒れ方 How to fall down a stick
    2. 棒の倒れ方長さ変更可 How to fall down a stick
    3. 振り子運動
  5. ロープワークと結び目の数学
    1. 力の平行四辺形の角度の求め方
    2. ベクトルとシュタイナー点

1.

三角錐の重心

木の重心を求めるために、まず三角錐の重心を求めます。 三角形の重心は中線を２：１に分ける点です。 そのことを利用して、錐の重心を求めてみましょう。

  • 1. 三角錐の重心　The center of gravity of the triangular pyramid
  • 2. 三角錐台の重心

1.1.

三角錐の重心　The center of gravity of the triangular pyramid

三角錐の重心は３：１の所にある。[br]証明[br]三角錐の重心は、各面の重心と頂点を結んだ線上にあるはず。[br]それをＧとする。[br]△ＡＬＤ：△ＤＬＥ＝２：１＝△ＡＤＧ：△ＤＧＥ[br]△ＤＧＥ：△ＤＧＫ＝３：２[br]よって[br]△ＡＤＧ：△ＤＧＫ＝６：２＝３：１＝ＡＧ：ＧＫ
円錐だとどうなるだろうか？
– Bunryu Kamimura

1.2.

–

2.

円錐の重心

三角錐の重心がわかれば、円錐の重心がわかります。 円錐を中心で切ってみましょう。

  • 1. 円錐の重心

2.1.

円錐の重心

三角錐の重心から円錐の重心へ[br]三角錐の重心は底面から高さ４分の１の所にあります。[br]円錐は無数の三角錐に分割することができます。[br]それらの三角錐の重心の重心はどこにあるのでしょうか？
– Bunryu Kamimura

3.

木の重心

これで、木を円錐と考えると、重心がどこにあるのかわかります。 でも、木には枝や葉があります。 そうすると、重心は１／２から１／４の所にあると考えられます。

  • 1. 木の重心
  • 2. パイプモデル

3.1.

木の重心

木の重心[br]枝や葉は無視します。
– Bunryu Kamimura

3.2.

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4.

木の倒れ方

木を伐採したときに、どのように倒れるのでしょうか。 木の高さと倒れる時間の関係は？ それは、振り子と関係があるのでは？

  • 1. 棒の倒れ方 How to fall down a stick
  • 2. 棒の倒れ方長さ変更可 How to fall down a stick
  • 3. 振り子運動

4.1.

棒の倒れ方 How to fall down a stick

棒の倒れ方のシュミレーション
– Bunryu Kamimura

4.2.

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4.3.

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5.

ロープワークと結び目の数学

伐採で大事な仕事の一つにロープ結びがあります。 もやい結び、万力など重要な結び方があります。 ここで「結び目」の数学について学びます。 手始めに滑車の問題。 倒れる木を引っ張る時、向きを変えるために滑車を使います。この時、三方向の力を均等にするためには、それぞれの角度を何度にしたらいいでしょうか？

  • 1. 力の平行四辺形の角度の求め方
  • 2. ベクトルとシュタイナー点

5.1.

力の平行四辺形の角度の求め方

ＡＢは滑車で、ｖｗｕにそれぞれ３：４：５の重りが付けてある。この時、∠ＡＣＢは９０度になる。これはピタゴラスの定理の自然による証明になっている。ただしひもの長さは無視した。Ｃをアポロニウスの円（ｏ：ｑ）に持っていくと、直角になるのが不思議。[asin]はsinの逆関数であることに注意。
– Bunryu Kamimura

5.2.

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