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Analysis I

Andreas Lindner, Jan 10, 2016

Begleitmaterial zur Vorlesung Analysis I

Mengen, Logik, Funktionen

1. Eigenschaften von Relationen
2. Funktionstyp erkennen
3. Gleichmächtigkeit von Einheitsquadrat und -strecke
4. Ungleichung von Bernoulli

Eigenschaften von Relationen

Eine [b]Relation [/b][math]R\sqsubseteq M\times N[/math]heißt

A. Hinrichs: Analysis für Lehramt. Vorlesungsnotizen - 2016/17. Johannes Kepler Universität Linz

Eine [b]Funktion [/b]ist eine [i]linkstotale[/i] und [i]rechtseindeutige[/i] Relation, d. h. zu jedem [math]x\in M[/math] gibt es genau ein [math]y\in N[/math] mit [math]\left(x,y\right)\in R[/math].[b][br][br]Aufgabe[/b][br]Verändere die Pfeile, die die Relation R darstellen, und beobachte, wie sich die Eigenschaften der Relation ändern.

1.2.

1.3.

1.4.

2.

Zahlen

1. Pascalsches Dreieck
2. Polarkoordinaten
3. Gleichmächtigkeit von ℕ und ℤ
4. Algebraische Form und Polarkoordiantendarstellung für komplexe Zahlen
5. Rechnen mit komplexen Zahlen
6. Potenzen von komplexen Zahlen

2.1.

Pascalsches Dreieck

Binomialkoeffizienten und Pascalsches Dreieck

Zum Berechnen und Einprägen der Binomialkoeffizienten eignet sich das Pascalsche Dreieck besonders gut.[br][br][b]Aufgabe[/b][br]Verändere mit den Schiebereglern die Werte für [b][color=#0000ff]n[/color][/b] und [b][color=#45818e]k[/color][/b].[br]Blende im rechten Fenster die Berechnung ein, die zeigt, wie aus zwei Binomialkoeffizienten in der oberen Zeile ein Binomialkoeffizient in der darunterliegenden Zeile entsteht.[br]Zoome bei Bedarf im linken Fenster, um die Binomialkoeffizienten für größere Werte von n zu berechnen.

Welche Binomialkoeffizienten sind richtig berechnet?

[math]\binom{5}{5}=0[/math] [math]\binom{7}{5}= 32[/math] [math]\binom{6}{5}=6[/math] [math]\binom{7}{4}=35[/math] [math]\binom{10}{3}=120[/math]

2.2.

2.3.

2.4.

2.5.

2.6.

3.

Folgen

1. Folgen in expliziter und rekursiver Darstellung
2. Monotonie und Schranken einer Folge
3. Heron'sches (babylonisches) Wurzelziehen (Liste)
4. Grenzwert einer Folge
5. Grenzwert einer komplexen Folge
6. Konvergenz einer Folge in C
7. Supremum und Infimum einer Folge
8. Supremum und Infimum: Charakterisierung mit ε
9. Teilfolge
10. Häufungswerte einer Folge
11. Limes superior und inferior
12. Cauchy-Folgen

3.1.

Folgen in expliziter und rekursiver Darstellung

3.2.

3.3.

3.4.

3.5.

3.6.

3.7.

3.8.

3.9.

3.10.

3.11.

3.12.

4.

Reihen

4.1.

Eine Reihe als Folge von Teilsummen

4.2.

4.3.

4.4.

4.5.

4.6.

5.

Stetige Funktionen

1. Stetigkeit einer Funktion
2. Gleichmäßige Stetigkeit
3. Folgenkriterium
4. Lipschitz-Stetigkeit
5. Zwischenwertsatz
6. Die Exponentialfunktion
7. Exponentialfunktion und Umkehrfunktion
8. Die trigonometrischen Funktionen
9. Winkelfunktionen und hyperbolische Funktionen
10. Gebrochen rationale Funktionen: Verhalten bei Polstellen
11. Verkettung von Funktionen

5.1.

Stetigkeit einer Funktion

Definition: Stetigkeit einer Funktion

Sei f eine Funktion [math]f: D(\subset \mathbb{R}) \to \mathbb{R}[/math] .[br]f heißt [b]stetig [/b]an der Stelle [math]x_0 \quad \Leftrightarrow[/math] [math] \forall \epsilon \in \mathbb{R}^+ \, \exists \delta \in \mathbb{R}^+ \, \forall x \in D, |x-x_0|< \delta : \quad |f(x)-f(x_0)| < \epsilon[/math][br][br][i]In Worten:[br]Eine Funktion ist [b]stetig[/b] an der Stelle x[sub]0[/sub], wenn es für alle [/i][math]\epsilon\in\mathbb{R}^+[/math][i] , und seien diese ε noch so klein, ein [/i][math]\delta\in\mathbb{R}^+[/math][i] gibt, sodass für alle [/i][math]x\in D[/math][i], die von x[sub]0[/sub] höchstens einen Abstand von δ haben (d.h. [/i][math]\left|x-x_o\right|<\delta[/math][i]), gilt, sodass der Abstand des Funktionswertes f(x) an der Stelle x vom Funktionswert f(x[sub]0[/sub]) an der Stelle x[sub]0[/sub] kleiner als ε ist (d. h. [/i][math]\left|f\left(x\right)-f\left(x_0\right)\right| < \epsilon[/math][i] ).[/i][br][br][b]Aufgabe[/b] [list][*]Verkleinere die ε-Umgebung um [math]f(x_0)[/math].[/*][*]Verändere die Position der Stelle [math]x_0[/math].[/*][*]Verändere die Position von x in der δ-Umgebung von [math]x_0[/math].[/*][*]Untersuche die Stetigkeit von anderen Funktionen, die du im Dropdown -Feld wählen kannst.[/*][/list][br][i]Hinweis:[br]Eine Funktion ist [b]nicht stetig[/b] (unstetig), wenn es ein [/i][math]\epsilon\in\mathbb{R}^+[/math][i] gibt, sodass es für alle [/i][math]\delta\in\mathbb{R}^+[/math][i] ein [/i][math]x\in D[/math][i] mit [/i][math]\left|x-x_o\right|<\delta[/math][i] gibt, für das [/i][math]\left|f\left(x\right)-f\left(x_0\right)\right| \geq \epsilon[/math][i] ist.[br]f ist [b]nicht stetig [/b]an der Stelle [/i][math]x_0 \quad \Leftrightarrow[/math] [math]\exists \epsilon \in \mathbb{R}^+ \, \forall \delta \in \mathbb{R}^+ \, \exists x \in D, |x-x_0|< \delta : \quad |f(x)-f(x_0)| \geq \epsilon[/math]

Welche der folgenden Funktionen sind stetig?

Gebrochen rationale Funktionen auf ihrer jeweiligen Definitionsmenge. Potenzfunktionen der Form [math]f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R};f\left(x\right)=x^n[/math] mit [math]n\in\mathbb{N}[/math] Treppenfunktionen Die Tangensfunktion auf ihrer Definitionsmenge Die Funktion [math]f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}[/math] mit[br] [math]f(x) = \begin{cases}[br] e^{x}, & \text{wenn } x > 0,\\[br] 0, & \text{wenn } x \leq 0[br] \end{cases}[br][/math]

5.2.

5.3.

5.4.

5.5.

5.6.

5.7.

5.8.

5.9.

5.10.

5.11.

6.

Differentialrechnung

1. Grenzwert einer Funktion
2. Differenzen- und Differentialquotient
3. Links- und rechtsseitiger Grenzwert für den Differentialquotient
4. Andere Definitionen der Differenzierbarkeit
5. Lupe und Tangente
6. Grafisches Ableiten
7. Satz von Rolle
8. Mittelwertsatz der Differentialrechnung
9. Das Newtonsche Näherungsverfahren
10. Taylorpolynome
11. Richtungsfeld für y' = k·y
12. Konvexe und konkave Funktionen

6.1.

Grenzwert einer Funktion

[size=85](vgl. Hinrichs, A.: Analysis 1, Vorlesungsnotizen, Wintersemester 2015/2016, Johannes Kepler Universität Linz)[/size]

[b]Aufgabe[/b][br][list][*]Blende eine der Folgen (a[sub]n[/sub]), (b[sub]n[/sub]) oder (c[sub]n[/sub]) ein.[br][/*][*]Erhöhe den Index n und beobachte das Verhalten der Folge und der Folge der Funktionswerte. [br][/*][*]Blende wahlweise die anderen Folgen ein.[br][/*][*]Verändere die Stelle x[sub]0[/sub] und untersuche weitere Funktionen und ihren Grenzwert an der Stelle x[sub]0[/sub].[br][/*][/list]Beispiele: [br]f(x) = e[sup]-x²[/sup] und x[sub]0[/sub] = 0[br]f(x) = sin(x) und x[sub]0[/sub] = π (pi)[br]f(x) = Wenn[x<= 3, 2, x] [br]...

Integralrechnung

1. Integral und Treppenfunktion
2. Riemannsumme 1
3. Riemannsumme 2
4. Riemannsumme 3
5. Unter- und Obersumme
6. Grenzwert von Ober- und Untersummen
7. Mittelwertsatz der Integralrechnung
8. Flächeninhalt zwischen zwei Funktionsgraphen
9. Uneigentliche Integrale
10. Numerische Integration
11. Berechnung des Rotationsvolumens
12. Rotationskörper
13. Cavalieri-Prinzip
14. Volumen eines Kegels
15. Gewölbte Staumauer mit Quadern
16. Volumen eines Körpers
17. Integralfunktion
18. Mantelfläche
19. Volumen einer Pyramide
20. Volumen einer Pyramide
21. Zur Begründung des Integralkriteriums
22. Integral einer Treppenfunktion

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