Analysis I
1. Mengen, Logik, Funktionen
1. Eigenschaften von Relationen
2. Funktionstyp erkennen
3. Gleichmächtigkeit von Einheitsquadrat und -strecke
4. Ungleichung von Bernoulli
2. Zahlen
1. Pascalsches Dreieck
2. Polarkoordinaten
3. Gleichmächtigkeit von ℕ und ℤ
4. Algebraische Form und Polarkoordiantendarstellung für komplexe Zahlen
5. Rechnen mit komplexen Zahlen
6. Potenzen von komplexen Zahlen
3. Folgen
1. Folgen in expliziter und rekursiver Darstellung
2. Monotonie und Schranken einer Folge
3. Heron'sches (babylonisches) Wurzelziehen (Liste)
4. Grenzwert einer Folge
5. Grenzwert einer komplexen Folge
6. Konvergenz einer Folge in C
7. Supremum und Infimum einer Folge
8. Supremum und Infimum: Charakterisierung mit ε
9. Teilfolge
10. Häufungswerte einer Folge
11. Limes superior und inferior
12. Cauchy-Folgen
4. Reihen
1. Eine Reihe als Folge von Teilsummen
2. Reihe
3. Achill und die Schildkröte
4. Summe der natürlichen Zahlen
5. Stapel von Hölzern
6. Konvergenzkriterien
5. Stetige Funktionen
1. Stetigkeit einer Funktion
2. Gleichmäßige Stetigkeit
3. Folgenkriterium
4. Lipschitz-Stetigkeit
5. Zwischenwertsatz
6. Die Exponentialfunktion
7. Exponentialfunktion und Umkehrfunktion
8. Die trigonometrischen Funktionen
9. Winkelfunktionen und hyperbolische Funktionen
10. Gebrochen rationale Funktionen: Verhalten bei Polstellen
11. Verkettung von Funktionen
6. Differentialrechnung
1. Grenzwert einer Funktion
2. Differenzen- und Differentialquotient
3. Links- und rechtsseitiger Grenzwert für den Differentialquotient
4. Andere Definitionen der Differenzierbarkeit
5. Lupe und Tangente
6. Grafisches Ableiten
7. Satz von Rolle
8. Mittelwertsatz der Differentialrechnung
9. Das Newtonsche Näherungsverfahren
10. Taylorpolynome
11. Richtungsfeld für y' = k·y
12. Konvexe und konkave Funktionen
7. Integralrechnung
1. Integral und Treppenfunktion
2. Riemannsumme 1
3. Riemannsumme 2
4. Riemannsumme 3
5. Unter- und Obersumme
6. Grenzwert von Ober- und Untersummen
7. Mittelwertsatz der Integralrechnung
8. Flächeninhalt zwischen zwei Funktionsgraphen
9. Uneigentliche Integrale
10. Numerische Integration
11. Berechnung des Rotationsvolumens
12. Rotationskörper
13. Cavalieri-Prinzip
14. Volumen eines Kegels
15. Gewölbte Staumauer mit Quadern
16. Volumen eines Körpers
17. Integralfunktion
18. Mantelfläche
19. Volumen einer Pyramide
20. Volumen einer Pyramide
21. Zur Begründung des Integralkriteriums
22. Integral einer Treppenfunktion

0

This activity is also part of one or more other Books. Modifications will be visible in all these Books. Do you want to modify the original activity or create your own copy for this Book instead?

This activity was created by '{$1}'. Do you want to modify the original activity or create your own copy instead?

This activity was created by '{$1}' and you lack the permission to edit it. Do you want to create your own copy instead and add it to the book?

Analysis I

Andreas Lindner, Jan 10, 2016

Begleitmaterial zur Vorlesung Analysis I

Mengen, Logik, Funktionen
1. Eigenschaften von Relationen
2. Funktionstyp erkennen
3. Gleichmächtigkeit von Einheitsquadrat und -strecke
4. Ungleichung von Bernoulli
Zahlen
1. Pascalsches Dreieck
2. Polarkoordinaten
3. Gleichmächtigkeit von ℕ und ℤ
4. Algebraische Form und Polarkoordiantendarstellung für komplexe Zahlen
5. Rechnen mit komplexen Zahlen
6. Potenzen von komplexen Zahlen
Folgen
1. Folgen in expliziter und rekursiver Darstellung
2. Monotonie und Schranken einer Folge
3. Heron'sches (babylonisches) Wurzelziehen (Liste)
4. Grenzwert einer Folge
5. Grenzwert einer komplexen Folge
6. Konvergenz einer Folge in C
7. Supremum und Infimum einer Folge
8. Supremum und Infimum: Charakterisierung mit ε
9. Teilfolge
10. Häufungswerte einer Folge
11. Limes superior und inferior
12. Cauchy-Folgen
Reihen
1. Eine Reihe als Folge von Teilsummen
2. Reihe
3. Achill und die Schildkröte
4. Summe der natürlichen Zahlen
5. Stapel von Hölzern
6. Konvergenzkriterien
Stetige Funktionen
1. Stetigkeit einer Funktion
2. Gleichmäßige Stetigkeit
3. Folgenkriterium
4. Lipschitz-Stetigkeit
5. Zwischenwertsatz
6. Die Exponentialfunktion
7. Exponentialfunktion und Umkehrfunktion
8. Die trigonometrischen Funktionen
9. Winkelfunktionen und hyperbolische Funktionen
10. Gebrochen rationale Funktionen: Verhalten bei Polstellen
11. Verkettung von Funktionen
Differentialrechnung
1. Grenzwert einer Funktion
2. Differenzen- und Differentialquotient
3. Links- und rechtsseitiger Grenzwert für den Differentialquotient
4. Andere Definitionen der Differenzierbarkeit
5. Lupe und Tangente
6. Grafisches Ableiten
7. Satz von Rolle
8. Mittelwertsatz der Differentialrechnung
9. Das Newtonsche Näherungsverfahren
10. Taylorpolynome
11. Richtungsfeld für y' = k·y
12. Konvexe und konkave Funktionen
Integralrechnung
1. Integral und Treppenfunktion
2. Riemannsumme 1
3. Riemannsumme 2
4. Riemannsumme 3
5. Unter- und Obersumme
6. Grenzwert von Ober- und Untersummen
7. Mittelwertsatz der Integralrechnung
8. Flächeninhalt zwischen zwei Funktionsgraphen
9. Uneigentliche Integrale
10. Numerische Integration
11. Berechnung des Rotationsvolumens
12. Rotationskörper
13. Cavalieri-Prinzip
14. Volumen eines Kegels
15. Gewölbte Staumauer mit Quadern
16. Volumen eines Körpers
17. Integralfunktion
18. Mantelfläche
19. Volumen einer Pyramide
20. Volumen einer Pyramide
21. Zur Begründung des Integralkriteriums
22. Integral einer Treppenfunktion

Information

Mengen, Logik, Funktionen

1. Eigenschaften von Relationen
2. Funktionstyp erkennen
3. Gleichmächtigkeit von Einheitsquadrat und -strecke
4. Ungleichung von Bernoulli

Eigenschaften von Relationen

Eine Relation

heißt

A. Hinrichs: Analysis für Lehramt. Vorlesungsnotizen - 2016/17. Johannes Kepler Universität Linz

Eine Funktion ist eine linkstotale und rechtseindeutige Relation, d. h. zu jedem

gibt es genau ein

mit

. Aufgabe Verändere die Pfeile, die die Relation R darstellen, und beobachte, wie sich die Eigenschaften der Relation ändern.

– Andreas Lindner

Zahlen

1. Pascalsches Dreieck
2. Polarkoordinaten
3. Gleichmächtigkeit von ℕ und ℤ
4. Algebraische Form und Polarkoordiantendarstellung für komplexe Zahlen
5. Rechnen mit komplexen Zahlen
6. Potenzen von komplexen Zahlen

Pascalsches Dreieck

Binomialkoeffizienten und Pascalsches Dreieck

Zum Berechnen und Einprägen der Binomialkoeffizienten eignet sich das Pascalsche Dreieck besonders gut. Aufgabe Verändere mit den Schiebereglern die Werte für n und k. Blende im rechten Fenster die Berechnung ein, die zeigt, wie aus zwei Binomialkoeffizienten in der oberen Zeile ein Binomialkoeffizient in der darunterliegenden Zeile entsteht. Zoome bei Bedarf im linken Fenster, um die Binomialkoeffizienten für größere Werte von n zu berechnen.

Welche Binomialkoeffizienten sind richtig berechnet?

– Andreas Lindner

2.2.

–

2.3.

–

2.4.

–

2.5.

–

2.6.

–

3.

Folgen

1. Folgen in expliziter und rekursiver Darstellung
2. Monotonie und Schranken einer Folge
3. Heron'sches (babylonisches) Wurzelziehen (Liste)
4. Grenzwert einer Folge
5. Grenzwert einer komplexen Folge
6. Konvergenz einer Folge in C
7. Supremum und Infimum einer Folge
8. Supremum und Infimum: Charakterisierung mit ε
9. Teilfolge
10. Häufungswerte einer Folge
11. Limes superior und inferior
12. Cauchy-Folgen

3.1.

Folgen in expliziter und rekursiver Darstellung

– Andreas Lindner

3.2.

–

3.3.

–

3.4.

–

3.5.

–

3.6.

–

3.7.

–

3.8.

–

3.9.

–

3.10.

–

3.11.

–

3.12.

–

4.

Reihen

1. Eine Reihe als Folge von Teilsummen
2. Reihe
3. Achill und die Schildkröte
4. Summe der natürlichen Zahlen
5. Stapel von Hölzern
6. Konvergenzkriterien

4.1.

Eine Reihe als Folge von Teilsummen

– Andreas Lindner

4.2.

–

4.3.

–

4.4.

–

4.5.

–

4.6.

–

5.

Stetige Funktionen

1. Stetigkeit einer Funktion
2. Gleichmäßige Stetigkeit
3. Folgenkriterium
4. Lipschitz-Stetigkeit
5. Zwischenwertsatz
6. Die Exponentialfunktion
7. Exponentialfunktion und Umkehrfunktion
8. Die trigonometrischen Funktionen
9. Winkelfunktionen und hyperbolische Funktionen
10. Gebrochen rationale Funktionen: Verhalten bei Polstellen
11. Verkettung von Funktionen

5.1.

Stetigkeit einer Funktion

Definition: Stetigkeit einer Funktion

Sei f eine Funktion

. f heißt stetig an der Stelle

In Worten: Eine Funktion ist stetig an der Stelle x₀, wenn es für alle

, und seien diese ε noch so klein, ein

gibt, sodass für alle

, die von x₀ höchstens einen Abstand von δ haben (d.h.

), gilt, sodass der Abstand des Funktionswertes f(x) an der Stelle x vom Funktionswert f(x₀) an der Stelle x₀ kleiner als ε ist (d. h.

). Aufgabe

Verkleinere die ε-Umgebung um .
Verändere die Position der Stelle .
Verändere die Position von x in der δ-Umgebung von .
Untersuche die Stetigkeit von anderen Funktionen, die du im Dropdown -Feld wählen kannst.

Hinweis: Eine Funktion ist nicht stetig (unstetig), wenn es ein

gibt, sodass es für alle

ein

mit

gibt, für das

ist. f ist nicht stetig an der Stelle

Welche der folgenden Funktionen sind stetig?

Gebrochen rationale Funktionen auf ihrer jeweiligen Definitionsmenge. Die Funktion

mit

Treppenfunktionen Die Tangensfunktion auf ihrer Definitionsmenge Potenzfunktionen der Form

mit

– Andreas Lindner

Differentialrechnung

1. Grenzwert einer Funktion
2. Differenzen- und Differentialquotient
3. Links- und rechtsseitiger Grenzwert für den Differentialquotient
4. Andere Definitionen der Differenzierbarkeit
5. Lupe und Tangente
6. Grafisches Ableiten
7. Satz von Rolle
8. Mittelwertsatz der Differentialrechnung
9. Das Newtonsche Näherungsverfahren
10. Taylorpolynome
11. Richtungsfeld für y' = k·y
12. Konvexe und konkave Funktionen

6.1.

Grenzwert einer Funktion

(vgl. Hinrichs, A.: Analysis 1, Vorlesungsnotizen, Wintersemester 2015/2016, Johannes Kepler Universität Linz)

Aufgabe

Blende eine der Folgen (a_n), (b_n) oder (c_n) ein.
Erhöhe den Index n und beobachte das Verhalten der Folge und der Folge der Funktionswerte.
Blende wahlweise die anderen Folgen ein.
Verändere die Stelle x₀ und untersuche weitere Funktionen und ihren Grenzwert an der Stelle x₀.

Beispiele: f(x) = e^-x² und x₀ = 0 f(x) = sin(x) und x₀ = π (pi) f(x) = Wenn[x<= 3, 2, x] ...

– Andreas Lindner

Integralrechnung

1. Integral und Treppenfunktion
2. Riemannsumme 1
3. Riemannsumme 2
4. Riemannsumme 3
5. Unter- und Obersumme
6. Grenzwert von Ober- und Untersummen
7. Mittelwertsatz der Integralrechnung
8. Flächeninhalt zwischen zwei Funktionsgraphen
9. Uneigentliche Integrale
10. Numerische Integration
11. Berechnung des Rotationsvolumens
12. Rotationskörper
13. Cavalieri-Prinzip
14. Volumen eines Kegels
15. Gewölbte Staumauer mit Quadern
16. Volumen eines Körpers
17. Integralfunktion
18. Mantelfläche
19. Volumen einer Pyramide
20. Volumen einer Pyramide
21. Zur Begründung des Integralkriteriums
22. Integral einer Treppenfunktion

7.1.

Integral und Treppenfunktion

– Andreas Lindner

All changes saved

Error

A timeout occurred. Trying to re-save …

Sorry, but the server is not responding. Please wait a few minutes and then try to save again.

0

Analysis I

Table of Contents

Information

Mengen, Logik, Funktionen

Eigenschaften von Relationen

Zahlen

Pascalsches Dreieck

Binomialkoeffizienten und Pascalsches Dreieck

Folgen

Folgen in expliziter und rekursiver Darstellung

Reihen

Eine Reihe als Folge von Teilsummen

Stetige Funktionen

Stetigkeit einer Funktion

Definition: Stetigkeit einer Funktion

Differentialrechnung

Grenzwert einer Funktion

Integralrechnung

Integral und Treppenfunktion