Das Behandeln von über- oder unterbestimmten Gleichungssystemen erfolgt analog dem Arbeitsblatt "[url=https://www.geogebra.org/m/BpqJ28eP#material/GM9JpNm3]Gauss n x n Algorithmus Script[/url]" . Das Ergebins muss unter Berücksichtigung einer ggf. unbestimmten Unbekannten interpretiert werden. [br]Das GLS muss evtl. umsortiert werden -Gleichungen (Zeilen) tauschen, Spalten (Unbekannte) tauschen damit eine Stufenform entsteht. Die Diagonalelement A(i,i)<>0 müssen ungleich Null sein und die rausfallenden Gleichungen (0 Zeilen) müssen nach unten gebracht werden. [br][br][table][tr][td]{x1 + x2 + 2 x3 = 1, [br]-3 x1 + 2 x2 + x4 = 5, [br]8 x1 - 2 x2 - 2 x3 + 2 x4 = 0}[br]A1:= {{1, 1, 2, 0, 1}, {-3, 2, 0, 1, 5}, {8, -2, -2, 2, 0}} [/td][td]{2 x1 - 3 x2 = 11, [br]-5 x1 + x2 = 8,[br] x1 - 5 x2 = 16}[br]A1:={{2, -3, 11}, {-5, 1, -8}, {1, -5, 16}}[/td][/tr][/table]

Ich übertrage das Gleichungssystem[br]GLS:=[size=100][size=85]{(-x1)+ (2*x2)+x3-x4+ (5*x5)=20,x1-x3+x4- (3*x5)=0,x1+ (10*x2)-x3+ (12*x5)=100,x1+ (12*x2)-x3+ (14*x5)=120}[/size][/size][br]mit X:={x1,x2,[color=#ff0000]x3[/color],x4[color=#ff0000],x5[/color]} in eine Matrix und generiere die erweitere Matrix Ae des GLS. [br][math]\left(\begin{array}{rrrrrr}-1&2&\textcolor{red}{1}&-1&5&20\\0&2&\textcolor{red}{0}&0&2&20\\0&12&\textcolor{red}{0}&-1&17&120\\0&14&\textcolor{red}{0}&-1&19&140\\\end{array}\right)[/math] ... [math]\left(\begin{array}{rrrrrr}-1&2&5&-1&\textcolor{red}{1}&20\\0&2&2&0&\textcolor{red}{0}&20\\0&12&17&-1&\textcolor{red}{0}&120\\0&14&19&-1&\textcolor{red}{0}&140\\\end{array}\right)[/math][br]Es entstehen in der Spalte x3 im 2. Schritt A2 Null-Werte, was im nächsten Schritt eine Division durch Null zur Folge haben würde. Ich verschiebe deshalb die Spalte x3 auf die letzte Spalte durch die Änderung von X:={x1,x2,[color=#ff0000]x4[/color],x5,[color=#ff0000]x3[/color]}. [br]Der MatrixRang(Ae)=3 sagt, dass das GLS drei unabhängige Gleichungen aufweist - also x1, x2, x4 bestimmt werden können und x3, x5 unbestimmt bleiben - x3 = t, x5 = r - notiert in [math]X_L[/math]. Den Tausch x3->x5 stelle ich auch in der Tauschmatrix L dar: Spalte 3 rückt nach Spalte 5.[br]A1=Ae überträgt die Matrix aus dem CAS ins Algebrafenster, wo das Skript die Zeilenoperationen zur Einheitsmatrix(3) durchführt. [br]Das Ergebnis aus E1 übertrage ich ins CAS. An [math]X_L[/math] (Join) hänge ich eine -1 an [math]X_L=\left\{x1,x2,x4,r,t,-1\right\}[/math], um die rechte Seite der Gleichung auf die linke Seite zu holen und bestimme dann (Solve) x1, x2, x4.[br]Mit der Tauschmatrix L mache ich die Vertauschung auf X und [math]X_L[/math] rückgängig und stelle die Gesamt-Lösung in der richtigen Reihenfolge dar. Zum Schluß erfolgt die Probe durch Einsetzen der Lösung in das GLS. Passt - wahre Aussage![br][br][b][size=150]Anpassungen an andere GLS[/size][/b][list][*]Reihenfolge [b]GLS [/b]anpassen, [b]X [/b]einstellen, [b]L[/b] Einheitsmatrix oder Tausch vergeben [br][/*][*]Zeilen 1 und 2 definieren [b]L[/b] - eine Tauschmatrix, die die Reihenfolge der Unbekannten in X einstellt:[br]{1,2,3,4) = Einheitsmatrix(4), keine Tauschaktion in [b]X[/b][br]{1,2,4,5,3} = Tausche x4 nach Postion 3, x5 nach Position 4, x3 nach Position 5 [br][/*][*]Neben [b]GLS [/b](nimmt das Gleichungssystem auf) muß [b]X[/b] an die verwendeten Variablen der Unbekannten angepasst werden. [br][/*][*]Überprüfen der Rechenschritte im Algebrafenster und ggf. Spalten- oder Zeilentausch durchführen bis E1 für die zu bestimmenden Unbekannten eine Einheitsmatrix bildet. [br]Ggf. die Skripte drüberlaufen lassen: Start - Triag - Diag - BackSubst[br][/*][*][math]X_L[/math] übernimmt die zu bestimmenden Unbekannten aus X - ggf. anzupassen/festzulegen sind die Variablen der unbestimmten Unbekannten. [br][/*][*]Bei Unverträglichkeiten werden löscht ggb evtl. die Formeln im Algebrafenster - für die Skripte müssen n=Length(A1), m=Length(Element(A1,1) korrekte Ergebnisse bereitstellen! [br]Wenn E1 gelöscht wird gehen die Zeilen im CAS verloren, die sich auf E1 beziehen![br][/*][/list]

Überführen eines GLS in Matrixform[br][br]Das Umstellen von Spalten (x3 getauscht mit x4) kann durch X:={x1,x2,[color=#980000]x3,x4[/color]} erfolgen. [br]Die Reihenfolge der Gleichungen muss an GLS eingestellt werden.[br][br][code](1) X:={x1,x2,x4,x3}[br](2) GLS:={2x1-3x2+6x3+2x4-5x5=3,x2-4x3+x4=1,x4-3x5=2}[br](3) nx:=Length(X)[br](4) A:=Substitute(LeftSide(GLS),X = Identity(nx))[br](5) Ae:=Transpose[Join(Transpose[A],{RightSide(GLS)})][br](6) MatrixRank(A)[br][br][br][/code]Ae kann nun im Algebrafenster A1=Ae zugewiesen werden.[br]Darstellung der Lösung mit x4=t unbestimmt und Probe.[br][code](7) Solve(E1*{x1,x2,x3,t,-1},{x1,x2,x3})[br](8) Transpose(X) = Transpose(Substitute({x1, x2, x3, t},$7))[br](9) Substitute(GLS,X = Substitute({x1, x2, x3, t},$7))[br][/code]