Triangle center X(47) is the X(110)-beth conjugate of X(34).[br]Triangle center X(34) is the X(4) beth-conjugate of X(4).[br]X(4) (O in the applet ) is the triangle center where the altitudes cross.[br]A beth- conjugate is defined as follows:[br]Let P = p : q : r and U = u : v : w be points, neither lying on a sideline of ABC. [br]The P beth conjugate of U is the point h(a,b,c,p,q,r,u,v,w) : h(b,c,a,q,r,p,v,w,u) : h(c,a,b,r,p,q,w,u,v),[br]where[br]h(a,b,c,p,q,r,u,v,w) = 2abcp(cos B + cos C)(ua'/p + vb'/q + wc'/r) - (a+b+c)a'b'c'u,[br]where a', b', c' are - a + b + c, a - b + c, a + b - c.[br]X(110) is the focus of the [url=http://mathworld.wolfram.com/KiepertParabola.html]Kiepert parabola[/url].[br]Now, where X(34) already is a beth conjugate, triangle center X(47) is the X(110)-beth conjugate of X(34).[br]The isogonal conjugate of X[sub]47[/sub], triangle center X(47) can be constructed as follows:[br][list][*]Reflect the lines AX[sub]47[/sub], BX[sub]47[/sub], CX[sub]47[/sub] about the bisectors of the triangle ABC (=blue lines)[/*][*]These blue lines cross at the triangle center X(91).[br]The barycentric coordinates of this point depend on the angles of the triangle.[/*][/list]

Driehoekscentrum X(47) is de X(110)-beth toegevoegde van X(34).[br]Driehoekscentrum X(34) is de X(4) beth toegevoegde van X(4).[br]X(4) (O in het applet) is het driehoekscentrum waar de hoogtelijnen elkaar snijden.[br]Een beth- toegevoegde wordt gedefinieerd al volgt:[br]P = p : q : r en U = u : v : w zijn punten die niet op een zijde van de driehoek liggen.[br]De P-beth toegevoegde van U is het punt h(a,b,c,p,q,r,u,v,w) : h(b,c,a,q,r,p,v,w,u) : h(c,a,b,r,p,q,w,u,v),[br]met[br]h(a,b,c,p,q,r,u,v,w) = 2abcp(cos B + cos C)(ua'/p + vb'/q + wc'/r) - (a+b+c)a'b'c'u,[br]waarin a', b', c' gelijk zijn aan - a + b + c, a - b + c, a + b - c[br]X(110) is het brandpunt van de [url=http://mathworld.wolfram.com/KiepertParabola.html]Kiepert parabool[/url]. [br]Deze parabool heeft als richtlijn de Eulerlijn (rechte door het snijpunt van de hoogtelijnen, het zwaartepunt en het middelpunt van de omgeschreven cirkel.[br]Het isogonale toegevoegde punt van X[sub]47[/sub], het driehoekscentrum X(47) construeer je als volgt:[br][list][*]Spiegel de rechten AX[sub]47[/sub], BX[sub]47[/sub], CX[sub]47[/sub] t.o.v. de bissectrices van ABC (=blauwe lijnen).[/*][*]Deze blauwe lijnen snijden elkaar in het driehoekscentrum X(91).[/*][/list]De barycentrische coördinaten van dit punt worden bepaald door de hoeken van de driehoek.