[justify][/justify]Ya vimos en el apartado anterior que al animar el número complejo alrededor de la circunferencia unidad salen multitud de “figuras”. Una de ellas son los denominados polígonos cruzados. Perteneciente a esa categoría están los polígonos regulares estrellados. Por lo visto anteriormente una forma de construir polígonos regulares es tomar un número complejo [math]z=1_{\alpha}[/math] con [math]\alpha = \dfrac{ 2 \pi}{n}[/math] , un número natural mayor 2, entonces los puntos [math] \{ z,z^2, z^3 \cdots z^{n-1} \}[/math] serán los vértices de un polígono regular de lados.[br][br]Pero podemos extender la idea tomando como argumento del número complejo [math]z [/math] el valor [math]\alpha = \dfrac{ 2 \pi}{m}[/math] con un número racional mayor que 2. Supongamos que con [math]n[/math] y [math]d[/math] números naturales primos entre sí. Entonces los vértices del polígono se obtienen como potencias sucesivas del número complejo [math]z[/math] de módulo 1 y argumento [math]\dfrac{2 \pi d}{n}[/math] . En este caso los lados del polígono así formado encierran veces al centro de la circunferencia unidad, es decir, el conjunto [math]\{ z,z^2, z^3 ,..., z^{n-1} \}[/math] dará [math]d[/math] vueltas alrededor el (0,0).[br]Cuando [math]d=1[/math] resulta que [math]n=m[/math] y obtenemos un polígono regular de [math]m[/math] lados, pero cuando [math]d>1[/math] los lados se cortan unos con otros y los puntos de corte no cuentan como vértices. Como [math]d[/math] puede ser cualquier número natural positivo primo con respecto a [math]n[/math] y menor que [math]\dfrac{1}{2}n[/math] , hay un polígono regular que corresponde a cada racional [math]m>2[/math] .[br]Cuando [math]m[/math] es 5, obtenemos el pentágono regular si [math]d=1[/math] y el pentágono regular estrellado si [math]d=2[/math] .[br]El estudio matemático más antiguo sobre éstas figuras se debe a Thomas Bradwardine (1290-1349). Kepler (1571-1630) también los estudió y el matemático suizo L. Schläfli (1814-1895) fue el que introdujo la notación [math]\left \{ \frac{n}{d} \right \} [/math] .